Fiche de révision : Optique géométrique

📋 Plan du Cours

1. Propagation et réflexion totale
2. Optique paraxiale et Gauss
3. Lentilles minces et foyers
4. Lunette, œil et loupe
5. Méthodes de focométrie

📖 1. Propagation et réflexion totale

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice de réfraction : L’indice de réfraction d’un milieu vérifie $n = \frac{c}{v} \ge 1$, avec $c \approx 3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$, et plus n est grand, plus le milieu est réfringent.

★ À maîtriser

• Selon le principe de Fermat, la lumière suit un chemin d’optique extrémal, qui correspond en pratique au trajet de plus court temps.

📐 Formule — Les lois de Snell-Descartes imposent que les rayons réfléchi et réfracté appartiennent au plan d’incidence, que $i_1' = -i_1$ pour la réflexion et que $n_1\sin(i_1)=n_2\sin(i_2)$ pour la réfraction.

📐 Formule — Lorsque $n_1>n_2$, l’angle limite vérifie $i_c=\arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$, et la réflexion totale se produit si $i_1>i_c$ : aucun rayon n’est transmis et 100 % de l’énergie est réfléchie.

Compléments

📐 Formule — Pour qu’un rayon reste piégé dans le cœur d’une fibre à saut d’indice, l’ouverture numérique vérifie $\mathrm{ON}=\sin(\theta_{e,\max})=\sqrt{n_c^2-n_g^2}$, avec un cœur d’indice $n_c$ entouré d’une gaine d’indice $n_g$ et un milieu extérieur d’indice $n_0=1$.

💡 Astuce mémo

Indice élevé → déviation plus forte → réflexion totale si l’incidence dépasse l’angle limite

📖 2. Optique paraxiale et Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Stigmatisme rigoureux : la propriété selon laquelle tout rayon issu d’un point objet A converge exactement en un point image A′ ; seul le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tout point.

★ À maîtriser

📌 Les conditions de Gauss imposent d’utiliser des rayons paraxiaux, c’est-à-dire peu inclinés par rapport à l’axe optique et proches de celui-ci.

Compléments

📐 Formule — Dans les conditions de Gauss, les approximations des petits angles sont $\sin(\theta)\approx\theta$, $\tan(\theta)\approx\theta$ et $\cos(\theta)\approx1$.

💡 Astuce mémo

Rayons proches de l’axe et peu inclinés, contrairement aux rayons quelconques

📖 3. Lentilles minces et foyers

🔑 Notions clés & Définitions

• Vergence : La vergence d’une lentille vérifie $V=\frac{1}{f'}$ et s’exprime en dioptries, notées δ ou m⁻¹ ; $f'>0$ pour une lentille convergente et $f'<0$ pour une lentille divergente.

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec l’origine au centre optique O, la relation de conjugaison de Descartes est $\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}=V$ et le grandissement vaut $\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.

📐 Formule — Avec l’origine aux foyers F et F′, la relation de conjugaison de Newton est $\overline{FA}\cdot\overline{F'A'}=-f'^2$ et le grandissement vaut $\gamma=-\frac{f'}{\overline{FA}}=-\frac{\overline{F'A'}}{f'}$.

Compléments

• Un faisceau incident parallèle mais incliné d’un angle θ converge dans le plan focal image en un foyer secondaire image F′ᵢ tel que $\overline{F'F'_i}=f'\tan(\theta)\approx f'\theta$.

💡 Astuce mémo

Centre O pour Descartes, foyers F et F′ pour Newton

📖 4. Lunette, œil et loupe

🔑 Notions clés & Définitions

• Lunette astronomique : Une lunette astronomique afocale associe un objectif convergent de grande focale f′₁ et un oculaire convergent de courte focale f′₂, avec coïncidence du foyer image F′₁ de l’objectif et du foyer objet F₂ de l’oculaire.

★ À maîtriser

📐 Formule — La condition d’afocalité d’une lunette est $\overline{O_1O_2}=f'_1+f'_2$ et son grossissement vaut $G=\frac{\theta'}{\theta}=-\frac{f'_1}{f'_2}$ ; le signe négatif indique que l’image est renversée.

📌 Le punctum remotum est le point le plus éloigné vu sans accommodation, infini pour un œil normal, tandis que le punctum proximum est le point le plus proche vu avec accommodation maximale, situé à environ 25 cm.

📐 Formule — Une loupe est une lentille convergente utilisée avec un objet placé entre F et O, ce qui forme une image virtuelle, droite et agrandie, avec un grossissement commercial $G_c=\frac{d_{PP}}{f'}=\frac{0{,}25}{f'}$.

Compléments

• L’œil réduit est modélisé par une lentille à distance focale variable qui projette l’image sur une rétine fixe située à environ 15 mm.

💡 Astuce mémo

Objectif → foyer commun → oculaire

📖 5. Méthodes de focométrie

📝 Points essentiels

• En autocollimation, on place un miroir plan derrière la lentille, on déplace l’ensemble devant un objet A, puis on repère la position où l’image A′ se forme nettement dans le plan de A ; la distance lentille-objet vaut alors exactement f′, avec $\overline{OA}=-f'$.

📐 Formule — Dans la méthode de Silbermann, lorsque l’image sur l’écran a la même taille que l’objet mais est renversée, $\gamma=-1$, la distance objet-écran vaut $D=4f'$ et les positions vérifient $\overline{OA}=-2f'$ et $\overline{OA'}=+2f'$.

📐 Formule — Dans la méthode de Bessel, pour une distance objet-écran fixée telle que $D>4f'$, deux positions de la lentille donnent une image nette et la focale vaut $f'=\frac{D^2-d^2}{4D}$, où d est la distance entre ces deux positions.

💡 Astuce mémo

Autocollimation → Silbermann → Bessel

📊 Tableaux de synthèse

Formules des lentilles minces