Oscillateurs Amortis et Forcés

1. 📌 L'essentiel

• Équation différentielle du second ordre : a x'' + b x' + c x = 0, basée racines du polynôme caractéristique.
• Solutions : exponentielles complexes z = |z| e^{iθ} ; dérivée : d/dt [z(t)] = c z(t).
• Oscillateur harmonique amorti : m x'' + γ x' + k x = 0 ; solutions oscillatoires ou décroissantes selon discriminant.
• Types de comportements : oscillations amorties faibles, amortissement critique, amortissement fort.
• Racines complexes : z = -ν/2 ± iω ; solution : x(t) = A e^{−νt/2} cos(ω t + ϕ).
• Période pseudo T = 2π/ω, temps d’amortissement τ = 1/ν.
• Résonance : réponse maximale à une fréquence de forçage.
• Classification selon rapport ν/ω₀ : influence sur la nature de l’amortissement.
• Forme exponentielle complexe : facilite la résolution d’équations différentielles.
• Phénomène de résonance : amplification à fréquence de forçage proche de ω₀.