Fiche de révision : Outils pour l’étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définitions et opérations sur les fonctions
2. Symétries, variations et bornes
3. Dérivation et tangentes
4. Bijections et fonctions réciproques
5. Puissances, logarithmes et exponentielle
6. Puissances réelles et croissances comparées
7. Fonctions réciproques et hyperboliques

📖 1. Définitions et opérations sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : Le plus grand ensemble de nombres réels x tels que f(x) existe.
• Courbe représentative : L’ensemble des points (x,f(x)) pour x appartenant à D_f, dont l’équation est y=f(x).
• Fonction composée : Si f est définie sur I à valeurs dans J et g est définie sur J, alors la composée g∘f est définie sur I par (g∘f)(x)=g(f(x)).

📝 Points essentiels

📌 Lorsque deux fonctions ne sont pas définies sur le même ensemble, leur somme, leur produit ou leur combinaison linéaire est définie sur l’intersection de leurs ensembles de définition.

📖 2. Symétries, variations et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : Une fonction f est périodique de période T>0 si, pour tout réel x, f(x+T)=f(x).
• Fonction bornée : Une fonction est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire s’il existe m et M tels que m≤f(x)≤M pour tout x de son domaine.
• Asymptote : Une asymptote verticale a une équation x=x₀ lorsque f(x) tend vers l’infini en x₀, tandis qu’une asymptote en ±∞ a une équation y=ax+b lorsque f(x)−(ax+b) tend vers 0.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction paire vérifie f(−x)=f(x) et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis qu’une fonction impaire vérifie f(−x)=−f(x) et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

💡 Astuce mémo

Paire : miroir sur l’axe des ordonnées ; impaire : miroir autour de l’origine.

📖 3. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : Une fonction f est dérivable en a si le taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie lorsque h tend vers 0, appelée nombre dérivé f′(a).

★ À maîtriser

📐 Formule — La tangente à la courbe de f au point (a,f(a)) a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Toute fonction obtenue par somme, produit, quotient à dénominateur non nul ou composition de fonctions dérivables est dérivable lorsque les conditions de définition sont respectées.

Compléments

• La fonction x↦e^{x²−1} est dérivable sur R et sa dérivée est x↦2xe^{x²−1}.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement limite → nombre dérivé → pente de la tangente.

📖 4. Bijections et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Une fonction f:I→J telle que chaque y de J possède un unique antécédent x de I tel que f(x)=y.

★ À maîtriser

📌 La courbe représentative d’une fonction réciproque est la symétrique de celle de la fonction initiale par rapport à la droite y=x.

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur [a,b] réalise une bijection sur l’intervalle compris entre f(a) et f(b), et sa réciproque possède la même monotonie.

Compléments

• 🔄 Pour inverser une fonction: Écrire y=f(x), Résoudre l’équation par rapport à x, Exprimer x en fonction de y

💡 Astuce mémo

La courbe et sa réciproque se reflètent dans le miroir y = x.

📖 5. Puissances, logarithmes et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : L’unique primitive de x↦1/x sur R⁺* qui s’annule en 1.
• Exponentielle : La fonction réciproque du logarithme népérien, définie de R vers R⁺*.

📝 Points essentiels

📌 Pour x,y>0 et r∈Q, ln(xy)=ln(x)+ln(y), ln(1/x)=−ln(x), ln(x/y)=ln(x)−ln(y) et ln(x^r)=rln(x).

• Pour tous réels x et y, exp(x+y)=exp(x)exp(y), et la dérivée de exp est exp elle-même.

💡 Astuce mémo

Le logarithme transforme les produits en sommes ; l’exponentielle fait l’opération inverse.

📖 6. Puissances réelles et croissances comparées

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance réelle : Pour a réel et x>0, la puissance réelle x^a est définie par x^a=e^{a ln(x)}.

★ À maîtriser

• Dans tous les cas où elle est définie, la dérivée de x↦x^a est $ax^{a-1}$.

📌 Si a>0, x↦x^a est strictement croissante sur R⁺* et tend vers 0 en 0+ et vers +∞ en +∞, tandis que si a<0 elle est strictement décroissante et présente les limites inverses.

Compléments

• À l’infini, toute puissance positive de x est négligeable devant toute exponentielle e^{γx} avec γ>0, car $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^β}{e^{γx}}=0$.

💡 Astuce mémo

Logarithme ≪ puissance ≪ exponentielle.

📖 7. Fonctions réciproques et hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Arcsinus : La fonction réciproque de sin restreint à [−π/2,π/2], définie de [−1,1] vers [−π/2,π/2].
• Fonctions hyperboliques : Les fonctions hyperboliques sont définies par ch(x)=(e^x+e^{-x})/2 et sh(x)=(e^x−e^{-x})/2.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Sur ]−1,1[, les dérivées vérifient $\operatorname{arcsin}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et $\operatorname{arccos}'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule — Les fonctions hyperboliques vérifient ch′(x)=sh(x), sh′(x)=ch(x) et $ch^2(x)-sh^2(x)=1$.

💡 Astuce mémo

Arcsin et arccos s’opposent par leurs variations ; ch et sh vérifient ch² − sh² = 1.

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions réciproques usuelles