Quelle condition doit satisfaire le reste R dans la division euclidienne de polynômes ?
Le degré de R est strictement inférieur au degré de B.
Que représente Q dans la division euclidienne A = BQ + R ?
Le quotient de la division de A par B.
Comment commence-t-on la division euclidienne de A par B en termes de Q et R ?
On initialise Q à 0 et R à A.
Quelle condition déclenche la répétition dans l'algorithme de division euclidienne ?
Tant que le degré de R est supérieur ou égal au degré de B.
Comment calcule-t-on l'exposant m dans l'algorithme de division euclidienne ?
m est égal à deg(R) moins deg(B).
Quelle opération modifie le reste R à chaque étape de la division euclidienne ?
On remplace R par R moins cX^m multiplié par B.
Quelle condition définit la divisibilité d'un polynôme B par A ?
Il existe Q∈R[X] tel qu'A = BQ.
Quelle condition caractérise la divisibilité de A par B non nul ?
Le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
Qu'est-ce qu'un zéro d'un polynôme A ?
Un réel λ tel qu'A(λ)=0.
Combien de zéros a un polynôme de degré 1 ?
Un unique zéro.
Quel est le zéro du polynôme aX+b ?
−b/a.
Quand un réel λ est-il un zéro de A selon la divisibilité ?
Si X−λ divise A.
Quelle forme a A si λ est un zéro de A ?
A=(X−λ)Q avec deg(Q)=deg(A)−1.
Qu'est-ce que factoriser un polynôme dans R[X] ?
L'écrire comme produit de facteurs de degré 1 ou 2 à discriminant négatif sans facteur extractible.
Quelles méthodes utilise-t-on pour factoriser un polynôme de degré supérieur à 3 ?
Identités remarquables, racines évidentes, division euclidienne ou schéma de Horner.
Qu'est-ce que la multiplicité d'un zéro λ de A ?
L'entier q≥1 tel qu'A=(X−λ)^qQ avec Q(λ)≠0.
Que divise le produit (X−λ₁)^r₁⋯(X−λₘ)^rₘ si λᵢ sont zéros distincts de A ?
Le polynôme A.
Combien de racines au maximum a un polynôme de degré n ?
Au plus n racines comptées avec leur multiplicité.
Que vaut un polynôme de degré au plus n avec au moins n+1 zéros ?
Le polynôme nul.
Quelle est la formule de la somme des racines α et β de P=aX²+bX+c ?
La somme est .
Quelle est la formule du produit des racines α et β de P=aX²+bX+c ?
Le produit est .
Quelle équation résout-on pour trouver deux réels α et β de somme S et produit P ?
On résout .
Que représentent les solutions de l’équation ?
Elles sont les réels α et β de somme S et produit P.
Qu'est-ce qu'une équation linéaire dans les inconnues x₁,…,xₙ ?
Une relation avec des coefficients réels non tous nuls.
Qu'est-ce qu'une solution de l'équation linéaire ?
Un n-uplet vérifiant .
Quel polynôme divise 4X²−9 dans l'exemple donné ?
2X+3 divise 4X²−9.
Qu'affirment les théorèmes d'Abel-Rufini et de Galois sur les polynômes de degré ≥5 ?
Il n'existe pas de formules générales pour leurs zéros.
En quelle année Abel-Rufini a-t-il publié son théorème sur les polynômes ?
En 1821.
En quelle année Galois a-t-il publié son théorème sur les polynômes ?
En 1831.
Quelle est la première étape du schéma de Horner pour diviser par X−a ?
Recopier le coefficient dominant.
Que fait-on après avoir multiplié le coefficient par a dans le schéma de Horner ?
On additionne ce résultat au coefficient suivant.
Que montre la factorisation A=(X−1)²(X+2)³ sur les racines 1 et −2 ?
1 est racine de multiplicité 2 et −2 de multiplicité 3.
Comment se factorise le polynôme A=X⁶−4X⁴−6X³+11X²+6X−8 dans R[X] ?
En (X−1)²(X+1)(X−2)(X²+3X+4).
Quelle est la multiplicité de la racine 1 dans le polynôme A donné ?
2.
Quelle est la multiplicité de la racine −1 dans le polynôme A donné ?
1.
Quelle est la multiplicité de la racine 2 dans le polynôme A donné ?
1.
Quelle est l’équation associée si α+β=12 et αβ=33 ?
L’équation est .
Quelles sont les solutions de l’équation ?
Les solutions sont et .
Quels sont les rôles de x₁,…,xₙ, a₁,…,aₙ et b dans une équation linéaire ?
x₁,…,xₙ sont les inconnues, a₁,…,aₙ les coefficients, b le second membre.
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1. Pour avec , quelle propriété caractérise la division euclidienne de par ?
2. Lors de la division de par , avec , comment met-on à jour le quotient et le reste ?
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