Fiche de révision : Polynômes et équations linéaires

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne des polynômes
2. Divisibilité et factorisation
3. Zéros et racines d’un polynôme
4. Factorisation et schéma de Horner
5. Multiplicité des racines
6. Racines et degré du polynôme
7. Relations entre racines et coefficients
8. Équations linéaires

📖 1. Division euclidienne des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour A,B∈R[X] avec B≠0, il existe un unique couple (Q,R) tel que A=BQ+R et deg(R)<deg(B), où Q est le quotient et R le reste.

📝 Points essentiels

• Pour diviser A par B, on initialise Q=0 et R=A, puis tant que deg(R)≥deg(B), on pose m=deg(R)−deg(B), c=coefdom(R)/coefdom(B), on ajoute cX^m à Q et on remplace R par R−cX^mB.

💡 Astuce mémo

Diviser : quotient, soustraction, reste

📖 2. Divisibilité et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité des polynômes : Un polynôme B divise A, noté B|A, s’il existe Q∈R[X] tel que A=BQ.

★ À maîtriser

📌 Pour B≠0, B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.

Compléments

• On a 4X²−9=(2X−3)(2X+3), donc 2X+3 divise 4X²−9.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité

📖 3. Zéros et racines d’un polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Zéro d’un polynôme : Un réel λ est un zéro, ou une racine, d’un polynôme A si A(λ)=0.

★ À maîtriser

• Tout polynôme de degré 1 a un unique zéro, et le zéro de aX+b est −b/a.

📌 Un réel λ est un zéro de A si et seulement si X−λ divise A, c’est-à-dire si A=(X−λ)Q avec deg(Q)=deg(A)−1.

Compléments

• Pour les polynômes de degré supérieur ou égal à 5, il n’existe pas de formules générales permettant de déterminer l’existence et les zéros, d’après les théorèmes d’Abel-Rufini (1821) et de Galois (1831).

💡 Astuce mémo

Zéro de A ↔ facteur X − λ

📖 4. Factorisation et schéma de Horner

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation dans R[X] : Consiste à l’écrire comme un produit de facteurs de degré 1 ou de facteurs de degré 2 à discriminant strictement négatif, sans facteur supplémentaire extractible.

★ À maîtriser

• Pour factoriser un polynôme de degré supérieur à 3, on peut utiliser les identités remarquables, rechercher des racines évidentes, puis effectuer une division euclidienne ou appliquer le schéma de Horner.

Compléments

• Dans le schéma de Horner appliqué à une division par X−a, on recopie le coefficient dominant, on le multiplie par a, on additionne le résultat au coefficient suivant, puis on répète jusqu’au dernier coefficient.

💡 Astuce mémo

Racine, division, quotient, factorisation

📖 5. Multiplicité des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplicité d’un zéro : Si λ est un zéro de A, sa multiplicité est l’entier q≥1 tel que A=(X−λ)^qQ avec Q(λ)≠0.

★ À maîtriser

📌 Si des zéros distincts λ₁,…,λₘ ont respectivement les multiplicités r₁,…,rₘ, alors (X−λ₁)^r₁⋯(X−λₘ)^rₘ divise A.

Compléments

• La factorisation A=(X−1)²(X+2)³ montre que 1 est une racine de multiplicité 2 et −2 une racine de multiplicité 3.

💡 Astuce mémo

Facteur répété → multiplicité accrue

📖 6. Racines et degré du polynôme

★ À maîtriser

📌 Un polynôme de degré n possède au plus n racines comptées avec leur multiplicité.

📌 Un polynôme de degré au plus n ayant au moins n+1 zéros est le polynôme nul.

Compléments

• Le polynôme A=X⁶−4X⁴−6X³+11X²+6X−8 se factorise dans R[X] en (X−1)²(X+1)(X−2)(X²+3X+4), avec 1 de multiplicité 2, −1 de multiplicité 1 et 2 de multiplicité 1.

📖 7. Relations entre racines et coefficients

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour P=aX²+bX+c, de racines réelles α et β, la somme et le produit des racines vérifient $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ et $\alpha\beta=\frac{c}{a}$.

• Pour trouver deux réels α et β de somme S et de produit P, on résout l’équation X²−SX+P=0 ; ses solutions, comptées avec leurs multiplicités, sont α et β.

Compléments

• Si α+β=12 et αβ=33, l’équation associée X²−12X+33=0 a pour solutions 6−√3 et 6+√3.

💡 Astuce mémo

Somme S, produit P

📖 8. Équations linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation linéaire : Une relation a₁x₁+⋯+aₙxₙ=b, où les coefficients réels ne sont pas tous nuls simultanément.
• Solution d’une équation linéaire : Un n-uplet (s₁,…,sₙ)∈Rⁿ tel que a₁s₁+⋯+aₙsₙ=b.

📝 Points essentiels

• Dans une équation linéaire, x₁,…,xₙ sont les inconnues, a₁,…,aₙ sont les coefficients et b est le second membre.