QCM : Polynômes et équations linéaires (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour A,B∈R[X]A,B\in\mathbb{R}[X] avec B≠0B\neq 0, quelle propriété caractérise la division euclidienne de AA par BB ?

Il existe un unique couple Q,RQ,R tel que A=BQ+RA=BQ+R et deg⁡(Q)<deg⁡(B)\deg(Q)<\deg(B).
Il existe un couple Q,RQ,R tel que A=QR+BA=QR+B et deg⁡(R)<deg⁡(B)\deg(R)<\deg(B).
Il existe plusieurs couples Q,RQ,R tels que A=BQ+RA=BQ+R et deg⁡(R)≤deg⁡(B)\deg(R)\leq\deg(B).
Il existe un unique couple Q,RQ,R tel que A=BQ+RA=BQ+R et deg⁡(R)<deg⁡(B)\deg(R)<\deg(B).

Il existe un unique couple $$Q,R$$ tel que $$A=BQ+R$$ et $$\deg(R)<\deg(B)$$.

Explication

La division euclidienne assure l’existence et l’unicité du quotient et du reste, avec une division exacte augmentée d’un reste de degré strictement inférieur à celui du diviseur. La condition portant sur le degré du quotient ne remplace pas celle portant sur le degré du reste.

2. Lors de la division de AA par BB, avec deg⁡(R)≥deg⁡(B)\deg(R)\geq\deg(B), comment met-on à jour le quotient et le reste ?

On pose m=deg⁡(R)+deg⁡(B)m=\deg(R)+\deg(B), on ajoute cXmcX^m au quotient, puis on remplace RR par R+cXmBR+cX^mB.
On pose m=deg⁡(R)−deg⁡(B)m=\deg(R)-\deg(B), on ajoute cXmBcX^mB au quotient, puis on remplace RR par R−cXmR-cX^m.
On pose m=deg⁡(B)−deg⁡(R)m=\deg(B)-\deg(R), on ajoute cXmBcX^mB au quotient, puis on remplace RR par R−cXmR-cX^m.
On pose m=deg⁡(R)−deg⁡(B)m=\deg(R)-\deg(B), on ajoute cXmcX^m au quotient, puis on remplace RR par R−cXmBR-cX^mB.

On pose $$m=\deg(R)-\deg(B)$$, on ajoute $$cX^m$$ au quotient, puis on remplace $$R$$ par $$R-cX^mB$$.

Explication

À chaque étape, mm aligne les termes dominants et cc est le rapport des coefficients dominants, ce qui conduit à ajouter cXmcX^m au quotient et à soustraire cXmBcX^mB du reste. La confusion fréquente consiste à intervertir le terme ajouté au quotient et le terme soustrait au reste.

3. Que signifie la notation B∣AB\mid A dans R[X]\mathbb{R}[X] ?

La division de AA par BB donne un quotient nul.
La division de AA par BB produit un reste non nul.
Le degré de BB est inférieur à celui de AA.
Il existe un polynôme QQ tel que A=BQA=BQ.

Il existe un polynôme $$Q$$ tel que $$A=BQ$$.

Explication

La divisibilité B∣AB\mid A signifie que AA est un multiple polynomial de BB, donc qu’il existe Q∈R[X]Q\in\mathbb{R}[X] vérifiant A=BQA=BQ. Un reste non nul caractérise au contraire l’absence de divisibilité.

4. Pour B≠0B\neq 0, quel critère permet de conclure que BB divise AA ?

Le reste de la division euclidienne de AA par BB a le même degré que BB.
Le quotient de la division euclidienne de AA par BB est de degré nul.
Le reste de la division euclidienne de AA par BB est nul.
Le degré de AA est strictement inférieur à celui de BB.

Le reste de la division euclidienne de $$A$$ par $$B$$ est nul.

Explication

La divisibilité est équivalente à l’annulation du reste dans la division euclidienne. Un quotient constant ou une comparaison particulière des degrés ne suffit pas à établir cette propriété.

5. Quelle condition caractérise un réel λ\lambda qui est une racine du polynôme AA ?

Le degré de AA vaut λ\lambda.
Le coefficient dominant de AA vaut λ\lambda.
On a A(λ)=0A(\lambda)=0.
On a A(λ)=1A(\lambda)=1.

On a $$A(\lambda)=0$$.

Explication

Un réel est une racine de AA lorsque l’évaluation du polynôme en ce réel donne zéro. Une valeur non nulle de A(λ)A(\lambda) ne permet donc pas de qualifier λ\lambda de racine.

6. Quel est le zéro du polynôme affine aX+baX+b lorsque a≠0a\neq 0 ?

ba\frac{b}{a}
−ab-\frac{a}{b}
−ba-\frac{b}{a}
ab\frac{a}{b}

$$-\frac{b}{a}$$

Explication

Le zéro vérifie aλ+b=0a\lambda+b=0, d’où λ=−ba\lambda=-\frac{b}{a}, et un polynôme de degré 1 possède ainsi un unique zéro. Le polynôme nul constitue un cas différent, car il s’annule pour tout réel.

7. Quelle affirmation relie correctement une racine λ\lambda de AA à une factorisation de AA ?

λ\lambda est une racine de AA si et seulement si AA divise X−λX-\lambda.
λ\lambda est une racine de AA si et seulement si X−λX-\lambda divise AA.
λ\lambda est une racine de AA si et seulement si X−λX-\lambda est le reste de la division de AA.
λ\lambda est une racine de AA si et seulement si X+λX+\lambda divise AA.

$$\lambda$$ est une racine de $$A$$ si et seulement si $$X-\lambda$$ divise $$A$$.

Explication

Le théorème du facteur affirme que A(λ)=0A(\lambda)=0 équivaut à l’existence d’un polynôme QQ tel que A=(X−λ)QA=(X-\lambda)Q. Le facteur associé à la racine est donc X−λX-\lambda, et non X+λX+\lambda en général.

8. Laquelle des écritures constitue une factorisation complète dans R[X]\mathbb{R}[X] ?

(X−2)(X+1)(X2+1)(X-2)(X+1)(X^2+1)
(X2−4)(X+1)(X^2-4)(X+1)
(X2+2X+2)(X−3)(X^2+2X+2)(X-3)
(X−2)(X+1)(X2−1)(X-2)(X+1)(X^2-1)

$$(X-2)(X+1)(X^2+1)$$

Explication

Dans R[X]\mathbb{R}[X], une factorisation complète est formée de facteurs linéaires et de facteurs quadratiques à discriminant négatif. Le facteur X2+1X^2+1 a un discriminant négatif, tandis que X2−1X^2-1 et X2−4X^2-4 sont encore factorisables dans R[X]\mathbb{R}[X].

9. Pour factoriser un polynôme de degré supérieur à 33, quelle démarche est adaptée ?

Rechercher des racines évidentes puis utiliser une division ou le schéma de Horner
Développer les facteurs possibles puis conserver l’expression la plus longue
Remplacer chaque terme par son coefficient dominant avant de regrouper
Calculer directement toutes les dérivées jusqu’à obtenir une constante

Rechercher des racines évidentes puis utiliser une division ou le schéma de Horner

Explication

La recherche de racines évidentes permet d’obtenir un facteur linéaire, puis une division euclidienne ou le schéma de Horner réduit le degré du polynôme. Les autres démarches ne constituent pas une méthode générale de factorisation fondée sur les propriétés indiquées.

10. Si A=(X−λ)qQA=(X-\lambda)^qQ avec Q(λ)≠0Q(\lambda)\neq 0 et q≥1q\geq 1, que représente l’entier qq ?

Le reste de la division de AA par X−λX-\lambda
Le nombre de racines distinctes de AA
Le degré total du polynôme AA
La multiplicité de la racine λ\lambda

La multiplicité de la racine $$\lambda$$

Explication

L’entier qq est le plus grand exposant associé au facteur X−λX-\lambda avant que le facteur restant ne s’annule plus en λ\lambda. Le degré total et le nombre de racines distinctes sont des notions différentes, tandis que le reste d’une division par X−λX-\lambda est un nombre.

11. Dans la factorisation A=(X−1)2(X+2)3A=(X-1)^2(X+2)^3, quelles sont les multiplicités des racines concernées ?

11 est double et −2-2 est triple
11 et −2-2 sont toutes deux triples
11 et −2-2 sont toutes deux doubles
11 est triple et −2-2 est double

$$1$$ est double et $$-2$$ est triple

Explication

L’exposant du facteur associé à une racine donne sa multiplicité : l’exposant de X−1X-1 vaut 22 et celui de X+2X+2 vaut 33. La confusion vient du fait que les deux racines ont des exposants différents.

12. Quel est le nombre maximal de racines comptées avec leur multiplicité pour un polynôme non nul de degré nn ?

2n2n
Un nombre indépendant de nn
n+1n+1
nn

$$n$$

Explication

Un polynôme non nul de degré nn possède au plus nn racines lorsque les multiplicités sont comptabilisées. Le nombre n+1n+1 intervient dans le critère du polynôme nul, mais il ne constitue pas la borne maximale pour un polynôme non nul.

13. Un polynôme de degré au plus nn possède au moins n+1n+1 zéros distincts. Que peut-on en déduire ?

Le polynôme possède une racine de multiplicité n+1n+1
Le polynôme est nul
Le polynôme est de degré exactement nn
Le polynôme est factorisable par un unique facteur quadratique

Le polynôme est nul

Explication

Un polynôme de degré au plus nn qui possède au moins n+1n+1 zéros est nécessairement le polynôme nul. Un polynôme non nul de ce degré ne peut avoir qu’un nombre limité de zéros, comptés avec leur multiplicité.

14. Pour le polynôme P(X)=2X2−10X+12P(X)=2X^2-10X+12, quelles sont la somme et le produit de ses racines réelles α\alpha et β\beta ?

α+β=6\alpha+\beta=6 et αβ=5\alpha\beta=5
α+β=−5\alpha+\beta=-5 et αβ=6\alpha\beta=6
α+β=5\alpha+\beta=5 et αβ=6\alpha\beta=6
α+β=5\alpha+\beta=5 et αβ=−6\alpha\beta=-6

$$\alpha+\beta=5$$ et $$\alpha\beta=6$$

Explication

Les relations de Viète donnent α+β=−ba\alpha+\beta=-\frac{b}{a} et αβ=ca\alpha\beta=\frac{c}{a}, donc ici α+β=5\alpha+\beta=5 et αβ=6\alpha\beta=6. La confusion la plus plausible consiste à intervertir les formules, ce qui conduirait à associer la somme à ca\frac{c}{a} et le produit à −ba-\frac{b}{a}.

15. Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer deux nombres réels de somme SS et de produit PP ?

X2+SX+P=0X^2+SX+P=0
X2−PX+S=0X^2-PX+S=0
X2+PX−S=0X^2+PX-S=0
X2−SX+P=0X^2-SX+P=0

$$X^2-SX+P=0$$

Explication

Les deux nombres recherchés sont les racines de l’équation construite à partir de leur somme et de leur produit, soit X2−SX+P=0X^2-SX+P=0. L’expression X2−PX+S=0X^2-PX+S=0 échange les rôles de la somme et du produit, ce qui ne respecte pas les relations de Viète.

16. Laquelle des relations suivantes est une équation linéaire dans les inconnues xx, yy et zz ?

1x+y+z=4\frac{1}{x}+y+z=4
x2+2y−z=7x^2+2y-z=7
x(y+1)+z=4x(y+1)+z=4
2x−3y+z=72x-3y+z=7

$$2x-3y+z=7$$

Explication

Une équation linéaire s’écrit comme une combinaison des inconnues multipliées par des coefficients réels, égale à un second membre. Le terme x(y+1)x(y+1) de la deuxième relation est un produit impliquant des inconnues, tandis que les autres relations comportent une puissance ou une inconnue au dénominateur.

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Quelle condition doit satisfaire le reste R dans la division euclidienne de polynômes ?

Le degré de R est strictement inférieur au degré de B.

Que représente Q dans la division euclidienne A = BQ + R ?

Le quotient de la division de A par B.

Comment commence-t-on la division euclidienne de A par B en termes de Q et R ?

On initialise Q à 0 et R à A.

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