Polynômes et équations linéaires

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne des polynômes
2. Divisibilité et factorisation
3. Zéros et racines d’un polynôme
4. Factorisation et schéma de Horner
5. Multiplicité des racines
6. Racines et degré du polynôme
7. Relations entre racines et coefficients
8. Équations linéaires

📖 1. Division euclidienne des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour A,B∈R[X] avec B≠0, il existe un unique couple (Q,R) tel que A=BQ+R et deg(R)<deg(B), où Q est le quotient et R le reste.

📝 Points essentiels

• Pour diviser A par B, on initialise Q=0 et R=A, puis tant que deg(R)≥deg(B), on pose m=deg(R)−deg(B), c=coefdom(R)/coefdom(B), on ajoute cX^m à Q et on remplace R par R−cX^mB.

💡 Astuce mémo

Diviser : quotient, soustraction, reste

📖 2. Divisibilité et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité des polynômes : Un polynôme B divise A, noté B|A, s’il existe Q∈R[X] tel que A=BQ.

★ À maîtriser

📌 Pour B≠0, B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.

Compléments

• On a 4X²−9=(2X−3)(2X+3), donc 2X+3 divise 4X²−9.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité