QCM : Polynômes et géométrie dans l’espace (47 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des propositions distingue correctement une assertion d’un axiome ?

Une assertion est une définition, tandis qu’un axiome est une opération.
Une assertion dépend d’une variable, tandis qu’un axiome ne contient aucune variable.
Une assertion est admise vraie, tandis qu’un axiome est toujours démontré.
Une assertion est vraie ou fausse, tandis qu’un axiome est admis vrai.

Une assertion est vraie ou fausse, tandis qu’un axiome est admis vrai.

Explication

Une assertion possède une valeur de vérité, alors qu’un axiome est admis comme vrai dans le cadre mathématique considéré. L’énoncé 2x=62x=6 ne constitue pas une assertion déterminée tant qu’une valeur de xx n’est pas fixée.

2. Dans quelles conditions la proposition « P et Q » est-elle vraie ?

Lorsque P ou Q est vraie.
Lorsque P et Q sont toutes deux fausses.
Lorsque P est vraie et Q est fausse.
Lorsque P et Q sont toutes deux vraies.

Lorsque P et Q sont toutes deux vraies.

Explication

La conjonction exige que chacune des deux assertions soit vraie. La condition « au moins une est vraie » correspond à la disjonction, et non à la conjonction.

3. Quelle est la négation de « pour tout x appartenant à E, P(x) » ?

Il existe x n’appartenant pas à E tel que P(x).
Pour tout x appartenant à E, P(x) est vraie.
Il existe x appartenant à E tel que non P(x).
Pour tout x appartenant à E, non P(x).

Il existe x appartenant à E tel que non P(x).

Explication

La négation d’une propriété universelle affirme l’existence d’au moins un élément qui la réfute. Dire que tous les éléments vérifient la négation serait une affirmation plus forte et différente.

4. Quelles sont les deux étapes nécessaires pour démontrer une proposition par récurrence ?

Établir la contraposée puis vérifier un contre-exemple.
Construire une réciproque puis vérifier une équivalence.
Établir l’initialisation puis démontrer l’hérédité.
Déterminer une limite puis calculer une dérivée.

Établir l’initialisation puis démontrer l’hérédité.

Explication

Une récurrence commence par vérifier la propriété au rang initial, puis montre que sa validité au rang nn entraîne sa validité au rang n+1n+1. Un contre-exemple sert à réfuter une proposition universelle, pas à établir une récurrence.

5. Que représente le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k} ?

Le nombre de façons de choisir k objets parmi n.
Le nombre de façons d’ordonner n objets dans k positions.
La somme des entiers compris entre k et n.
Le quotient de n par k lorsque les deux nombres sont entiers.

Le nombre de façons de choisir k objets parmi n.

Explication

Le coefficient (nk)\binom{n}{k} compte les choix de kk objets parmi nn, selon la formule (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. Il ne compte pas les arrangements où l’ordre des objets intervient.

6. Quelle expression correspond au développement de (a+b)n (a+b)^n selon le binôme de Newton ?

∑k=0n(nk)an−kbn−k\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{n-k}
∑k=0n(nk)akbn−k\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}
∑k=1n(nk)akbn\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^k b^n
∑k=0nakbk\sum_{k=0}^{n}a^k b^k

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}$$

Explication

Le binôme de Newton associe à chaque terme le coefficient (nk)\binom{n}{k} et les puissances complémentaires aka^k et bn−kb^{n-k}. Une somme utilisant la même puissance pour les deux facteurs ne respecte pas cette structure.

7. Quelle notation exprime qu’un élément a appartient à un ensemble E ?

a∈Ea\in E
E∈aE\in a
E⊆aE\subseteq a
a⊆Ea\subseteq E

$$a\in E$$

Explication

La notation a∈Ea\in E signifie que l’objet aa est un élément de l’ensemble EE. L’inclusion, notée par exemple F⊆EF\subseteq E, compare deux ensembles et non un élément avec un ensemble.

8. Une application est-elle surjective lorsque chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède quelle propriété ?

Il appartient à l’ensemble de départ.
Il possède exactement deux antécédents.
Il possède au plus un antécédent.
Il possède au moins un antécédent.

Il possède au moins un antécédent.

Explication

La surjectivité signifie que tout élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par l’application, donc possède au moins un antécédent. La condition « au plus un antécédent » caractérise l’injectivité.

9. Comment s’écrit la forme algébrique d’un nombre complexe ?

z=a+bz=a+b avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=1i^2=1.
z=a+ibz=a+ib avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1.
z=ab+iz=ab+i avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=0i^2=0.
z=a−biz=a-bi avec a,b∈Ca,b\in\mathbb{C} et i2=1i^2=1.

$$z=a+ib$$ avec $$a,b\in\mathbb{R}$$ et $$i^2=-1$$.

Explication

Un complexe s’écrit z=a+ibz=a+ib avec des coefficients réels et vérifie i2=−1i^2=-1. Dans cette écriture, aa est la partie réelle et bb la partie imaginaire.

10. Quel est le produit de a+iba+ib par c+idc+id ?

(ac−bd)+i(ab+cd)(ac-bd)+i(ab+cd)
(ac+bd)+i(ad−bc)(ac+bd)+i(ad-bc)
(ac−bd)+i(ad+bc)(ac-bd)+i(ad+bc)
(a+c)(b+d)+i(a+c)(b+d)+i

$$(ac-bd)+i(ad+bc)$$

Explication

En développant puis en utilisant i2=−1i^2=-1, on obtient ac+iad+ibc−bd=(ac−bd)+i(ad+bc)ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc). Les autres expressions intervertissent ou combinent incorrectement les termes réels et imaginaires.

11. Que mesure le module du complexe z=a+ibz=a+ib ?

La longueur a2+b2\sqrt{a^2+b^2} du vecteur représentant z.
La différence a−ba-b entre ses deux coordonnées.
La mesure de l’angle orienté du vecteur représentant z.
La somme a+ba+b de sa partie réelle et de sa partie imaginaire.

La longueur $$\sqrt{a^2+b^2}$$ du vecteur représentant z.

Explication

Le module est une longueur positive donnée par ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}. Une mesure d’angle correspond à l’argument du complexe, et non à son module.

12. Comment s’écrivent les racines n-ièmes de l’unité ?

e2ikne^{\frac{2ik}{n}} pour k=1,…,n−1k=1,\ldots,n-1.
e2ikπne^{\frac{2ik\pi}{n}} pour k=0,…,n−1k=0,\ldots,n-1.
e2ikπne^{2ik\pi n} pour k=0,…,n−1k=0,\ldots,n-1.
eikπne^{\frac{ik\pi}{n}} pour k=1,…,nk=1,\ldots,n.

$$e^{\frac{2ik\pi}{n}}$$ pour $$k=0,\ldots,n-1$$.

Explication

Les racines n-ièmes de l’unité sont les complexes e2ikπne^{\frac{2ik\pi}{n}} lorsque kk parcourt les entiers de 00 à n−1n-1. Le facteur 2π2\pi assure la répartition angulaire complète sur le cercle unité.

13. Comment définit-on le degré d’un polynôme non nul ?

Comme la somme de tous les indices des coefficients non nuls
Comme le nombre total de coefficients apparaissant dans l’écriture
Comme le plus petit indice dont le coefficient est non nul
Comme le plus grand indice dont le coefficient est non nul

Comme le plus grand indice dont le coefficient est non nul

Explication

Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand indice associé à un coefficient non nul. Pour le polynôme nul, une convention distincte fixe le degré à −∞-\infty, ce qui ne modifie pas la définition pour un polynôme non nul.

14. Si deg⁡(P)=3\deg(P)=3 et deg⁡(Q)=3\deg(Q)=3, quelle affirmation est nécessairement vraie concernant P+QP+Q et PQPQ, lorsque les polynômes sont non nuls ?

On a deg⁡(P+Q)≤6\deg(P+Q)\leq 6 et deg⁡(PQ)=3\deg(PQ)=3
On a deg⁡(P+Q)=6\deg(P+Q)=6 et deg⁡(PQ)≤3\deg(PQ)\leq 3
On a deg⁡(P+Q)≤3\deg(P+Q)\leq 3 et deg⁡(PQ)=6\deg(PQ)=6
On a deg⁡(P+Q)=3\deg(P+Q)=3 et deg⁡(PQ)=3\deg(PQ)=3

On a $$\deg(P+Q)\leq 3$$ et $$\deg(PQ)=6$$

Explication

La somme vérifie deg⁡(P+Q)≤max⁡(3,3)=3\deg(P+Q)\leq\max(3,3)=3, tandis que le produit a pour degré 3+3=63+3=6. Le degré de la somme peut être inférieur à trois en cas d’annulation du terme dominant.

15. Quelle expression donne le développement de Taylor d’un polynôme PP de degré nn au point aa ?

P=∑k=0nP(k)(a)k!(X−a)kP=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k
P=∑k=0nP(a)k!(X−a)kP=\sum_{k=0}^{n}\frac{P(a)}{k!}(X-a)^k
P=∑k=1nP(k)(a)k(X−a)k−1P=\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k}(X-a)^{k-1}
P=∑k=0nP(k)(X) (X−a)kP=\sum_{k=0}^{n}P^{(k)}(X)\,(X-a)^k

$$P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$$

Explication

La formule utilise les dérivées successives évaluées en aa et les coefficients P(k)(a)k!\frac{P^{(k)}(a)}{k!}. Les autres expressions omettent cette évaluation, modifient les puissances ou remplacent les dérivées successives par une valeur constante.

16. Lors de la division euclidienne d’un polynôme AA par un polynôme non nul BB, quelles propriétés caractérisent le quotient et le reste ?

Il existe un unique couple Q,RQ,R tel que A=BQ−RA=BQ-R et deg⁡(R)=deg⁡(B)\deg(R)=\deg(B)
Il existe un unique couple Q,RQ,R tel que A=BQ+RA=BQ+R et deg⁡(R)<deg⁡(B)\deg(R)<\deg(B)
Il existe un quotient QQ tel que A=BQA=BQ, sans condition portant sur un reste
Il existe un couple Q,RQ,R tel que A=B+Q+RA=B+Q+R et deg⁡(R)>deg⁡(B)\deg(R)>\deg(B)

Il existe un unique couple $$Q,R$$ tel que $$A=BQ+R$$ et $$\deg(R)<\deg(B)$$

Explication

La division euclidienne fournit une écriture A=BQ+RA=BQ+R avec un reste de degré strictement inférieur à celui de BB, et ce couple est unique. Un reste nul est possible, mais il ne constitue pas une absence générale de reste.

17. Quelle condition caractérise deux polynômes AA et BB premiers entre eux ?

Leur pgcd vaut 11, ce qui équivaut à écrire AU+BV=1AU+BV=1 pour certains U,VU,V
Leur ppcm vaut 11, ce qui équivaut à écrire AU+BV=0AU+BV=0 pour certains U,VU,V
Ils possèdent un diviseur commun non constant qui s’écrit AU+BV=1AU+BV=1
Leurs degrés sont égaux et leur combinaison s’écrit AU−BV=1AU-BV=1

Leur pgcd vaut $$1$$, ce qui équivaut à écrire $$AU+BV=1$$ pour certains $$U,V$$

Explication

Deux polynômes sont premiers entre eux lorsque leur pgcd est le polynôme constant unitaire 11; cette propriété équivaut à l’identité de Bézout AU+BV=1AU+BV=1. La présence d’un diviseur commun non constant conduirait à un pgcd différent de 11.

18. Pour quels couples de conditions un polynôme PP est-il premier avec le produit ABAB ?

Lorsque PP divise AA et BB avec des quotients constants
Lorsque AA et BB ont le même degré que PP
Lorsque le pgcd de AA et BB est égal à PP
Lorsque PP est premier avec AA et premier avec BB

Lorsque $$P$$ est premier avec $$A$$ et premier avec $$B$$

Explication

La règle de coprimalité avec un produit affirme que PP est premier avec ABAB si et seulement si il est premier avec chacun des facteurs AA et BB. Le fait que PP divise les facteurs ou coïncide avec leur pgcd indique au contraire une divisibilité commune.

19. Quelle relation relie deux polynômes non nuls AA et BB à leur pgcd et à leur ppcm ?

AB=cd(A)+cd(B)+pgcd(A,B)+ppcm(A,B)AB=cd(A)+cd(B)+pgcd(A,B)+ppcm(A,B)
AB=cd(A)cd(B) [pgcd(A,B)−ppcm(A,B)]AB=cd(A)cd(B)\,[pgcd(A,B)-ppcm(A,B)]
AB=pgcd(A,B) ppcm(A,B)cd(A)cd(B)AB=\frac{pgcd(A,B)\,ppcm(A,B)}{cd(A)cd(B)}
AB=cd(A)cd(B) pgcd(A,B) ppcm(A,B)AB=cd(A)cd(B)\,pgcd(A,B)\,ppcm(A,B)

$$AB=cd(A)cd(B)\,pgcd(A,B)\,ppcm(A,B)$$

Explication

La relation donnée est AB=cd(A)cd(B) pgcd(A,B) ppcm(A,B)AB=cd(A)cd(B)\,pgcd(A,B)\,ppcm(A,B), où les facteurs de normalisation tiennent compte des coefficients dominants. Les autres égalités remplacent le produit par une somme, inversent les facteurs ou changent le signe entre le pgcd et le ppcm.

20. Quelle condition permet d’affirmer qu’un scalaire α\alpha est une racine d’un polynôme PP ?

On a P′(α)=0P'(\alpha)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de P(X)P(X) par X−αX-\alpha
On a P(α)=1P(\alpha)=1, ce qui équivaut à la divisibilité de P(X)P(X) par X+αX+\alpha
On a P(α)≠0P(\alpha)\neq 0, ce qui équivaut à la divisibilité de P(X)P(X) par X−αX-\alpha
On a P(α)=0P(\alpha)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de P(X)P(X) par X−αX-\alpha

On a $$P(\alpha)=0$$, ce qui équivaut à la divisibilité de $$P(X)$$ par $$X-\alpha$$

Explication

Le critère de racine est P(α)=0P(\alpha)=0, et le théorème du facteur l’identifie à la divisibilité par X−αX-\alpha. L’annulation de la dérivée concerne des informations de multiplicité, tandis qu’une valeur non nulle exclut que α\alpha soit une racine.

21. Comment définit-on la multiplicité d’une racine α\alpha d’un polynôme non nul PP ?

Comme le plus grand entier mm tel que (X−α)m(X-\alpha)^m divise P(X)P(X)
Comme le plus petit entier mm tel que (X−α)m(X-\alpha)^m ne divise pas P(X)P(X)
Comme le nombre de coefficients non nuls de PP après substitution de α\alpha
Comme le degré de PP diminué du degré du facteur X−αX-\alpha

Comme le plus grand entier $$m$$ tel que $$(X-\alpha)^m$$ divise $$P(X)$$

Explication

La multiplicité est le plus grand exposant mm pour lequel le facteur (X−α)m(X-\alpha)^m divise le polynôme. Une racine simple correspond au cas m=1m=1, alors qu’une multiplicité supérieure impose plusieurs facteurs identiques.

22. Quelle écriture caractérise le fait qu’une racine α\alpha ait une multiplicité au moins égale à mm ?

Il existe un polynôme QQ tel que P(X)=(X−α)mQ(X)P(X)=(X-\alpha)^mQ(X)
Il existe un polynôme QQ tel que P(X)=m(X−α)Q(X)P(X)=m(X-\alpha)Q(X)
Il existe un polynôme QQ tel que P(X)=(X−α)+mQ(X)P(X)=(X-\alpha)+mQ(X)
Il existe un polynôme QQ tel que P(X)=(X−α)QmP(X)=(X-\alpha)^Qm

Il existe un polynôme $$Q$$ tel que $$P(X)=(X-\alpha)^mQ(X)$$

Explication

Une multiplicité au moins égale à mm signifie que le facteur (X−α)m(X-\alpha)^m apparaît dans la factorisation de PP, d’où P(X)=(X−α)mQ(X)P(X)=(X-\alpha)^mQ(X). Les autres formes ne garantissent pas la présence de la puissance entière requise.

23. Quelle condition caractérise une racine α\alpha de multiplicité exactement égale à mm ?

P(α)=P′(α)=⋯=P(m)(α)=0P(\alpha)=P'(\alpha)=\cdots=P^{(m)}(\alpha)=0 et P(m+1)(α)≠0P^{(m+1)}(\alpha)\neq0
P(m)(α)=0P^{(m)}(\alpha)=0 et toutes les dérivées précédentes sont non nulles
P(α)≠0P(\alpha)\neq0 et P′(α)=⋯=P(m)(α)=0P'(\alpha)=\cdots=P^{(m)}(\alpha)=0
P(α)=P′(α)=⋯=P(m−1)(α)=0P(\alpha)=P'(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0 et P(m)(α)≠0P^{(m)}(\alpha)\neq0

$$P(\alpha)=P'(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0$$ et $$P^{(m)}(\alpha)\neq0$$

Explication

Les dérivées jusqu’à l’ordre m−1m-1 doivent s’annuler, tandis que la dérivée d’ordre mm doit être non nulle; cela empêche la multiplicité de dépasser mm. L’annulation de la dérivée d’ordre mm signalerait au contraire une multiplicité au moins supérieure à mm.

24. Quelle propriété caractérise un polynôme irréductible dans K[X]K[X] ?

Il est nécessairement de degré deux dans K[X]K[X].
Il possède exactement deux diviseurs unitaires dans K[X]K[X].
Il possède au moins trois diviseurs unitaires dans K[X]K[X].
Il admet deux racines distinctes dans KK.

Il possède exactement deux diviseurs unitaires dans $$K[X]$$.

Explication

Un polynôme irréductible possède exactement deux diviseurs unitaires dans K[X]K[X] : les constantes unitaires et lui-même. Un polynôme factorisable admet davantage de diviseurs unitaires, ce qui constitue la confusion courante.

25. Quelle propriété tout polynôme non constant de C[X]\mathbb{C}[X] vérifie-t-il ?

Il possède un discriminant strictement négatif.
Il est factorisable en polynômes de degré deux.
Il admet au moins une racine dans C\mathbb{C}.
Il possède au moins deux racines réelles distinctes.

Il admet au moins une racine dans $$\mathbb{C}$$.

Explication

Le théorème de d’Alembert-Gauss affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Une racine réelle n’est pas garantie pour un polynôme à coefficients complexes.

26. Quels sont les polynômes irréductibles de C[X]\mathbb{C}[X] ?

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif.
Les polynômes de degré 2 à discriminant positif.
Les polynômes de degré 1.
Les polynômes constants non nuls.

Les polynômes de degré 1.

Explication

Dans C[X]\mathbb{C}[X], tout polynôme non constant de degré supérieur à un possède une racine et peut donc être factorisé. Les seuls irréductibles sont ainsi les polynômes de degré 1, tandis que les constantes non nulles sont des unités.

27. Quel polynôme est irréductible dans R[X]\mathbb{R}[X] ?

X2−1X^2-1
X3+XX^3+X
X2+2X+1X^2+2X+1
X2+1X^2+1

$$X^2+1$$

Explication

Le polynôme X2+1X^2+1 est de degré 2 et son discriminant vaut −4-4, donc il est strictement négatif et le polynôme est irréductible dans R[X]\mathbb{R}[X]. Les autres polynômes proposés admettent une factorisation réelle.

28. Dans quelle situation deux vecteurs sont-ils colinéaires ?

Lorsqu’ils ont des coordonnées toutes positives.
Lorsqu’ils engendrent un plan vectoriel.
Lorsque l’un est un multiple réel de l’autre.
Lorsqu’ils appartiennent à un même plan affine.

Lorsque l’un est un multiple réel de l’autre.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires si l’un peut s’écrire comme un multiple réel de l’autre, ce qui signifie qu’ils ont la même direction. Appartenir à un même plan ne suffit pas, car deux vecteurs non colinéaires peuvent aussi engendrer ce plan.

29. Comment caractérise-t-on trois vecteurs coplanaires ?

Ils sont tous contenus dans une même droite.
Ils possèdent tous les trois la même norme.
L’un d’eux est une combinaison linéaire des deux autres.
Chacun d’eux est un multiple réel des deux autres.

L’un d’eux est une combinaison linéaire des deux autres.

Explication

Trois vecteurs sont coplanaires lorsqu’un des trois est une combinaison linéaire des deux autres. Le fait qu’ils soient tous contenus dans une droite décrit une situation plus particulière liée à la colinéarité.

30. Quelle condition décrit la droite affine passant par AA et dirigée par un vecteur non nul uu ?

AM→\overrightarrow{AM} est perpendiculaire à uu.
AM→\overrightarrow{AM} est une combinaison de deux vecteurs non colinéaires.
Le point MM possède les mêmes coordonnées que AA.
AM→\overrightarrow{AM} est un multiple réel de uu.

$$\overrightarrow{AM}$$ est un multiple réel de $$u$$.

Explication

Un point MM appartient à cette droite lorsque AM→=tu\overrightarrow{AM}=t u pour un réel tt. Une combinaison de deux vecteurs non colinéaires décrit plutôt un plan affine, et non une droite.

31. Comment reconnaître qu’un point MM appartient au plan affine passant par AA et dirigé par uu et vv ?

AM→\overrightarrow{AM} est perpendiculaire à uu et vv.
AM→\overrightarrow{AM} est un multiple réel de uu.
AM→\overrightarrow{AM} est une combinaison linéaire de uu et vv.
Le point MM est situé sur la droite dirigée par uu.

$$\overrightarrow{AM}$$ est une combinaison linéaire de $$u$$ et $$v$$.

Explication

Le plan est constitué des points MM tels que AM→=su+tv\overrightarrow{AM}=s u+t v avec s,t∈Rs,t\in\mathbb{R}. Une relation de multiple réel d’un seul vecteur caractérise une droite, pas le plan engendré par deux directions non colinéaires.

32. Quelle condition définit une base de l’espace ?

C’est un triplet de points non alignés.
C’est un quadruplet comprenant un point et trois vecteurs.
C’est un couple de vecteurs non colinéaires.
C’est un triplet de vecteurs non coplanaires.

C’est un triplet de vecteurs non coplanaires.

Explication

Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires, qui fournissent trois directions indépendantes. Un couple de vecteurs non colinéaires engendre un plan, tandis qu’un repère ajoute un point à une base.

33. De quels éléments se compose un repère de l’espace ?

De trois points non alignés et d’une origine.
D’un point OO et de deux vecteurs colinéaires.
D’un point OO et d’une base de l’espace.
De quatre vecteurs formant deux plans.

D’un point $$O$$ et d’une base de l’espace.

Explication

Un repère de l’espace est un quadruplet constitué d’une origine OO et d’une base de l’espace. Une base fournit les directions, tandis que le point OO fixe l’origine nécessaire pour décrire les points.

34. Que peut-on affirmer dans un repère de l’espace concernant les coordonnées ?

Chaque vecteur possède plusieurs triplets, tandis que chaque point en possède un seul.
Chaque vecteur et chaque point possède un unique triplet de coordonnées réelles.
Les coordonnées d’un point et celles d’un vecteur représentent toujours le même objet.
Les points possèdent des coordonnées, mais les vecteurs sont décrits sans coordonnées.

Chaque vecteur et chaque point possède un unique triplet de coordonnées réelles.

Explication

Dans un repère de l’espace, l’indépendance des vecteurs de la base garantit l’existence et l’unicité d’un triplet de coordonnées pour tout vecteur et tout point. Les coordonnées d’un point décrivent sa position depuis l’origine, alors que celles d’un vecteur décrivent le vecteur lui-même.

35. Dans un repère, si A(xA,yA,zA)A(x_A,y_A,z_A) et B(xB,yB,zB)B(x_B,y_B,z_B), quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

AB→=(xB−xA,yB−yA,zB−zA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)
AB→=(xB+xA,yB+yA,zB+zA)\overrightarrow{AB}=(x_B+x_A,y_B+y_A,z_B+z_A)
AB→=(xA−xB,yA−yB,zA−zB)\overrightarrow{AB}=(x_A-x_B,y_A-y_B,z_A-z_B)
AB→=(xA+xB,yA+yB,zA+zB)\overrightarrow{AB}=(x_A+x_B,y_A+y_B,z_A+z_B)

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$$

Explication

Les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} s’obtiennent en soustrayant les coordonnées de AA à celles de BB, coordonnée par coordonnée. L’ordre inverse donne les coordonnées de BA→\overrightarrow{BA}, et une addition ne représente pas un déplacement entre les deux points.

36. Dans une base orthonormée, quelle est la norme du vecteur u=(2,−1,2)u=(2,-1,2) ?

9\sqrt{9}
33
5\sqrt{5}
55

$$3$$

Explication

La norme vaut 22+(−1)2+22=9=3\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3. Une base quelconque ne permettrait pas d’appliquer directement cette expression coordonnée sans tenir compte de la géométrie de la base.

37. Dans une base orthonormée, quel est le produit scalaire de u=(1,2,−1)u=(1,2,-1) et v=(3,−1,2)v=(3,-1,2) ?

11
−3-3
33
−1-1

$$-1$$

Explication

Le produit scalaire est 1×3+2×(−1)+(−1)×2=−11\times3+2\times(-1)+(-1)\times2=-1. Il s’agit d’un réel, contrairement au produit vectoriel qui produit un vecteur.

38. Quelle condition caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs non nuls uu et vv ?

Leurs normes sont égales.
Leurs coordonnées sont toutes positives.
Leur produit scalaire est nul.
Leur produit vectoriel est nul.

Leur produit scalaire est nul.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si u⋅v=0u\cdot v=0. Un produit vectoriel nul caractérise plutôt la colinéarité des vecteurs.

39. Deux vecteurs non colinéaires ont des normes égales à 22 et 33 et forment un angle de 30∘30^\circ ; quelle est l’aire du parallélogramme qu’ils déterminent ?

32\frac{3}{2}
66
33
333\sqrt{3}

$$3$$

Explication

L’aire vaut ∥u∧v∥=∥u∥ ∥v∥sin⁡(30∘)=2×3×12=3\|u\wedge v\|=\|u\|\,\|v\|\sin(30^\circ)=2\times3\times\frac{1}{2}=3. Le produit des normes sans le sinus donnerait le cas d’un angle droit, pas celui-ci.

40. Comment définit-on le déterminant de trois vecteurs dans une base donnée ?

Comme la norme de leur produit vectoriel.
Comme le produit de leurs trois produits scalaires.
Comme le déterminant de la matrice formée par leurs coordonnées.
Comme la somme de leurs trois normes.

Comme le déterminant de la matrice formée par leurs coordonnées.

Explication

Le déterminant des trois vecteurs est celui de la matrice dont leurs coordonnées constituent les colonnes ou les lignes selon la convention adoptée. Sa valeur peut dépendre de la base, même si elle reste inchangée entre bases orthonormées directes.

41. Que devient le déterminant det⁡(u,v,w)\det(u,v,w) lorsqu’on échange les deux premiers vecteurs ?

Il devient nul dans tous les cas.
Il devient −det⁡(u,v,w)-\det(u,v,w).
Il reste égal à det⁡(u,v,w)\det(u,v,w).
Il devient 2det⁡(u,v,w)2\det(u,v,w).

Il devient $$-\det(u,v,w)$$.

Explication

L’antisymétrie du déterminant impose det⁡(v,u,w)=−det⁡(u,v,w)\det(v,u,w)=-\det(u,v,w). Une permutation circulaire, en revanche, conserve le signe du déterminant.

42. Que vaut le déterminant de trois vecteurs appartenant à un même plan ?

Il est nul.
Il est égal au volume du triangle.
Il vaut un.
Il dépend de la longueur du plus grand vecteur.

Il est nul.

Explication

Trois vecteurs coplanaires ne déterminent aucun volume dans l’espace, donc leur déterminant est nul. La valeur absolue du déterminant représente le volume d’un parallélépipède lorsque les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

43. Trois vecteurs de l’espace forment-ils une base lorsque leur déterminant vaut −4-4 ?

Oui, car leur déterminant est non nul.
Non, car un déterminant de base doit être positif.
Oui, car leurs normes sont nécessairement égales.
Non, car un déterminant négatif indique qu’ils sont coplanaires.

Oui, car leur déterminant est non nul.

Explication

Trois vecteurs forment une base de l’espace si et seulement si leur déterminant est non nul ; −4-4 satisfait donc cette condition. Le signe négatif traduit une orientation et n’empêche pas les vecteurs d’être une base.

44. Quelle est la configuration possible de deux plans sécants de l’espace ?

Leur intersection est un point isolé.
Ils sont nécessairement confondus.
Ils n’ont aucun point commun.
Leur intersection est une droite.

Leur intersection est une droite.

Explication

Deux plans sécants se coupent selon une droite. Deux plans parallèles peuvent être sans point commun ou confondus, mais ils ne sont pas sécants.

45. Deux plans ont-ils des vecteurs normaux orthogonaux ; quelle relation existe-t-il entre eux ?

Ils sont confondus.
Ils ont une droite directrice commune.
Ils sont perpendiculaires.
Ils sont parallèles.

Ils sont perpendiculaires.

Explication

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Des vecteurs normaux colinéaires caractériseraient plutôt des plans parallèles.

46. Quelle équation représente le plan passant par A(1,−2,3)A(1,-2,3) et de vecteur normal n=(2,1,−1)n=(2,1,-1) ?

2(x−1)+(y+2)−(z−3)=02(x-1)+(y+2)-(z-3)=0
2x+y−z+3=02x+y-z+3=0
2(x+1)+(y−2)−(z+3)=02(x+1)+(y-2)-(z+3)=0
(x−1)+2(y+2)−(z−3)=0(x-1)+2(y+2)-(z-3)=0

$$2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0$$

Explication

La forme point-normale donne 2(x−1)+(y−(−2))−(z−3)=02(x-1)+(y-(-2))-(z-3)=0, soit l’expression proposée. Les autres choix modifient le vecteur normal, le point de passage ou les signes des coordonnées du point.

47. Quelle est la distance du point M(1,2,3)M(1,2,3) au plan 2x−y+2z−6=02x-y+2z-6=0 ?

22
13\frac{1}{3}
43\frac{4}{3}
23\frac{2}{3}

$$\frac{2}{3}$$

Explication

La distance vaut ∣2×1−2+2×3−6∣22+(−1)2+22=23\frac{|2\times1-2+2\times3-6|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{2}{3}. Le dénominateur est la norme du vecteur normal, qui doit être inclus dans la formule.

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Qu'est-ce qu'une assertion en mathématiques ?

Un énoncé mathématique vrai ou faux.

Qu'est-ce qu'un axiome en mathématiques ?

Un énoncé dont on admet la véracité.

Quels sont les connecteurs logiques de base ?

La négation, la conjonction « et » et la disjonction « ou ».

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