Fiche de révision : Polynômes et géométrie dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Logique et raisonnements mathématiques
2. Ensembles applications et cardinaux
3. Nombres complexes et trigonométrie
4. Polynômes et divisibilité
5. PGCD et PPCM des polynômes
6. Racines et multiplicités
7. Facteurs irréductibles
8. Vecteurs et sous-espaces
9. Bases et coordonnées spatiales
10. Produits scalaire et vectoriel
11. Déterminant et orientation
12. Plans et droites de l’espace

📖 1. Logique et raisonnements mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Un énoncé mathématique qui est soit vrai soit faux, tandis qu’un axiome est un énoncé mathématique dont on admet la véracité.
• Connecteurs logiques : Les connecteurs logiques de base sont la négation, la conjonction « et » et la disjonction « ou », auxquels s’ajoutent l’implication et l’équivalence.

★ À maîtriser

📌 La négation de « pour tout x appartenant à E, P(x) » est « il existe x appartenant à E tel que non P(x) », et la négation de « il existe x appartenant à E tel que P(x) » est « pour tout x appartenant à E, non P(x) ».

• Pour démontrer une proposition par récurrence, il faut établir l’initialisation puis l’hérédité, c’est-à-dire montrer que pour tout n supérieur ou égal à n0, P(n) implique P(n+1).

• Pour montrer qu’une proposition universelle est fausse, il suffit de fournir un contre-exemple qui vérifie la négation de la propriété.

Compléments

📐 Formule - Pour tout entier naturel n et tout réel q différent de 1, $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Quantifier → nier → démontrer

📖 2. Ensembles applications et cardinaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est le nombre de façons de choisir k objets parmi n et vérifie $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ pour 0≤k≤n.
• Ensemble : Une collection d’objets bien définis et distincts appelés éléments, et l’ensemble ne contenant aucun élément est l’ensemble vide noté ∅.
• Application : Une règle qui associe à tout élément x de E un unique élément f(x) de F.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}$ pour tout réel a, tout réel b et tout entier naturel n.

📌 Une application est injective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent, surjective si chaque élément possède au moins un antécédent, et bijective si elle est à la fois injective et surjective.

📌 Une application f est bijective si et seulement si elle possède une application réciproque g vérifiant $g\circ f=\mathrm{Id}_E$ et $f\circ g=\mathrm{Id}_F$.

📐 Formule - Pour deux ensembles finis E et F, $|E\cup F|=|E|+|F|-|E\cap F|$ et $|E\times F|=|E|\times|F|$.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un

📖 3. Nombres complexes et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Un nombre de la forme $z=a+ib$ avec a et b réels et $i^2=-1$, où a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
• Module complexe : Le réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Argument complexe : L’argument d’un complexe non nul z est toute mesure de l’angle orienté entre l’axe réel positif et le vecteur représentant z, et ses valeurs diffèrent de multiples entiers de 2π.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux complexes $a+ib$ et $c+id$, leur produit vaut $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

📐 Formule - Tout complexe non nul s’écrit sous forme trigonométrique $z=|z|e^{i\arg(z)}=|z|(\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z)))$.

📐 Formule - Les racines n-ièmes de l’unité sont les complexes $e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ pour k variant de 0 à n−1.

Compléments

📐 Formule - Les formules d’Euler sont $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ et $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$.

💡 Astuce mémo

Un complexe comme un point du plan, avec longueur et angle

📖 4. Polynômes et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Une suite de coefficients de K nulle à partir d’un certain rang, qui s’écrit $P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$.
• PGCD de polynômes : L’unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise A et B et qui est divisible par tout diviseur commun de A et B.
• Racine de polynôme : Un élément α de K est une racine du polynôme P si $P(α)=0$, ce qui équivaut à dire que X−α divise P(X).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux polynômes P et Q, $\deg(P+Q)\leq\max(\deg(P),\deg(Q))$ et $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

📐 Formule - La formule de Taylor d’un polynôme P de degré n en a est $P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$.

• La division euclidienne de A par un polynôme non nul B fournit un unique quotient Q et un unique reste R tels que $A=BQ+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$.

Compléments

📐 Formule - L’identité de Bézout pour deux polynômes A et B de pgcd D affirme qu’il existe U et V tels que $D=AU+BV$.

💡 Astuce mémo

Diviser → calculer le pgcd → factoriser par les racines

📖 5. PGCD et PPCM des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynômes premiers entre eux : Deux polynômes A et B sont premiers entre eux si leur pgcd est égal à 1, ce qui équivaut à l’existence de polynômes U et V tels que AU + BV = 1.
• Plus petit commun multiple : L’unique polynôme unitaire divisible par A et B et divisant tout multiple commun à A et B.

📝 Points essentiels

📌 Un polynôme P et un produit AB sont premiers entre eux si et seulement si P est premier avec A et P est premier avec B.

📐 Formule - Pour deux polynômes non nuls A et B, on a $AB=cd(A)cd(B)\,pgcd(A,B)\,ppcm(A,B)$.

💡 Astuce mémo

Bézout donne AU + BV = 1 → les polynômes sont premiers entre eux

📖 6. Racines et multiplicités

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un scalaire α est une racine d’un polynôme P si P(α)=0, ce qui équivaut à dire que X−α divise P(X).
• Multiplicité d’une racine : Le plus grand entier m tel que (X−α)^m divise P(X).

📝 Points essentiels

📌 Une racine α a une multiplicité au moins égale à m si et seulement si P(X)=(X−α)^mQ(X) pour un polynôme Q.

📌 Une racine α a une multiplicité exactement égale à m si et seulement si P(α)=P′(α)=⋯=P^(m−1)(α)=0 et P^(m)(α)≠0.

💡 Astuce mémo

Racine → dérivées nulles → multiplicité

📖 7. Facteurs irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme irréductible : Un polynôme P est irréductible dans K[X] s’il possède exactement deux diviseurs unitaires dans K[X].

★ À maîtriser

• Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine dans C. - d’Alembert-Gauss

📌 Les polynômes irréductibles de C[X] sont exactement les polynômes de degré 1.

📌 Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.

Compléments

📌 Si A divise BC et si pgcd(A,B)=1, alors A divise C.

💡 Astuce mémo

Dans C[X] : degré 1 ; dans R[X] : degré 1 ou degré 2 à discriminant négatif

📖 8. Vecteurs et sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est égal à un multiple réel de l’autre.
• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs sont coplanaires si l’un d’eux est une combinaison linéaire des deux autres.
• Droite affine : L’ensemble des points M tels que AM est un multiple réel de u.
• Plan affine : L’ensemble des points M tels que AM est une combinaison linéaire de u et v.

💡 Astuce mémo

Une droite suit un vecteur, un plan est balayé par deux vecteurs non colinéaires

📖 9. Bases et coordonnées spatiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Un triplet de vecteurs non coplanaires.
• Repère de l’espace : Un quadruplet formé d’un point O et d’une base de l’espace.

📝 Points essentiels

📌 Dans un repère de l’espace, tout vecteur et tout point possèdent un unique triplet de coordonnées réelles.

📐 Formule - Dans un repère, si A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$.

💡 Astuce mémo

Base → repère → coordonnées → calculs

📖 10. Produits scalaire et vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Dans une base orthonormée, le produit scalaire de u=(a1,b1,c1) et v=(a2,b2,c2) est $u\cdot v=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$.
• Produit vectoriel : L’unique vecteur K tel que, pour tout vecteur x, det(u,v,x)=K·x.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une base orthonormée, la norme de u=(a,b,c) est $\|u\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

📌 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

📌 Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.

📐 Formule - Pour deux vecteurs non colinéaires, la norme de leur produit vectoriel est l’aire du parallélogramme construit sur eux : $\|u\wedge v\|=\|u\|\,\|v\|\sin((u,v))$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux vecteurs non nuls, on a $u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos((u,v))$.

💡 Astuce mémo

Scalaire → orthogonalité ; vectoriel → colinéarité et aire

📖 11. Déterminant et orientation

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant de trois vecteurs : Le déterminant de la matrice formée par leurs coordonnées dans une base donnée.

📝 Points essentiels

📌 Le déterminant est trilinéaire et antisymétrique, donc il change de signe lorsqu’on échange deux vecteurs et s’annule si deux vecteurs sont égaux.

📌 Le déterminant de trois vecteurs coplanaires est nul.

📐 Formule - Le volume du parallélépipède construit sur trois vecteurs est la valeur absolue de leur déterminant, soit $V=|\det(u,v,w)|$.

📌 Trois vecteurs forment une base de l’espace si et seulement si leur déterminant est non nul.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul → vecteurs coplanaires ; valeur absolue → volume

📖 12. Plans et droites de l’espace

★ À maîtriser

📌 Deux plans sont soit sécants, avec une intersection qui est une droite, soit parallèles, c’est-à-dire confondus ou sans point commun.

📌 Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, et ils sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

📐 Formule - Un plan passant par A(xA,yA,zA) et de vecteur normal n=(a,b,c) a pour équation $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$.

📐 Formule - Un plan de vecteur normal n=(a,b,c) a pour équation générale $ax+by+cz+d=0$, avec a,b,c non tous nuls.

📐 Formule - La distance d’un point M(x0,y0,z0) au plan ax+by+cz+d=0 vaut $d(M,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

📐 Formule - Une droite passant par A(xA,yA,zA) et dirigée par u=(a,b,c) admet la représentation paramétrique $x=x_A+at,\ y=y_A+bt,\ z=z_A+ct$.

📐 Formule - La distance entre un point M et une droite D passant par A et dirigée par u vaut $d(M,D)=\frac{\|\overrightarrow{AM}\wedge u\|}{\|u\|}$.

Compléments

📌 L’intersection de deux plans non parallèles est une droite dont un vecteur directeur est le produit vectoriel de leurs vecteurs normaux.

💡 Astuce mémo

Paramétrique → cartésienne → intersections → distances

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications

Irréductibles selon le corps