Fiche de révision : Limites, continuité et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Propriétés fondamentales des nombres réels
2. Outils de calcul sur les réels
3. Suites réelles et convergence
4. Fonctions réelles et leurs limites
5. Limites classiques et théorèmes
6. Continuité et valeurs intermédiaires
7. Bijection et fonction réciproque
8. Dérivée et règles de calcul
9. Variations, extrema et convexité
10. Étude d’une fonction et suites
11. Logarithme, exponentielle et puissances
12. Fonctions puissances et croissances comparées
13. Fonctions circulaires réciproques

📖 1. Propriétés fondamentales des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : La borne supérieure sup(A) d’une partie non vide et majorée A de R est l’unique plus petit de ses majorants ; de même, la borne inférieure inf(A) est l’unique plus grand de ses minorants.
• Partie entière : La partie entière E(x) d’un réel x est l’unique entier relatif n vérifiant n ≤ x < n+1 ; elle est aussi le plus grand entier inférieur ou égal à x.
• Droite réelle achevée : La droite réelle achevée est l’ensemble R auquel on adjoint −∞ et +∞, avec −∞ < x < +∞ pour tout x réel.
• Voisinage : Un voisinage de a contient un intervalle ouvert autour de a ; un voisinage de +∞ contient un intervalle ]b,+∞[, et un voisinage de −∞ contient un intervalle ]−∞,b[.

📝 Points essentiels

• Pour tous réels a, b et c, l’addition et la multiplication sont commutatives et associatives, la multiplication est distributive sur l’addition, 0 et 1 sont les éléments neutres, tout réel a possède un opposé −a, et tout réel non nul possède un inverse a⁻¹.

• La relation ≤ sur R est réflexive, antisymétrique, transitive et totale ; de plus, a < b signifie a ≤ b et a ≠ b, mais a ≤ b n’implique pas toujours a < b.

• Si a ≤ b et c ≤ d, alors a+c ≤ b+d ; si λ ≥ 0, alors λa ≤ λb ; si λ ≤ 0, alors λa ≥ λb, car la multiplication par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous ; maximum et minimum appartiennent à l’ensemble, sup et inf pas nécessairement.

📖 2. Outils de calcul sur les réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue |x| est le réel positif défini par |x|=x si x≥0 et |x|=−x si x<0 ; elle représente la distance entre x et l’origine.
• Puissance rationnelle : Pour x>0 et r=p/q rationnel avec p∈Z et q∈N*, la puissance rationnelle est définie par $x^r=\sqrt[q]{x^p}$.

★ À maîtriser

• Pour tous réels x et y, |x+y|≤|x|+|y| et ||x|−|y||≤|x−y| ; de plus, |xy|=|x||y|.

• Pour a réel et ε>0, |x−a|≤ε équivaut à a−ε≤x≤a+ε, tandis que |x−a|<ε équivaut à a−ε<x<a+ε.

• Si n est impair, l’équation yⁿ=x possède une unique solution réelle pour tout réel x ; si n est pair, elle possède deux solutions opposées pour x>0, une seule solution nulle pour x=0, et aucune solution réelle pour x<0.

Compléments

📐 Formule - Pour tous réels a et b et tout entier naturel non nul n, $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure une distance, tandis que la partie entière place le réel entre deux entiers consécutifs.

📖 3. Suites réelles et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : Une suite réelle associe à tout entier naturel n au plus un nombre réel uₙ ; elle peut être définie explicitement en fonction de n ou par récurrence avec un ou plusieurs termes initiaux.
• Suite monotone : Une suite est croissante si uₙ≤uₙ₊₁ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁≤uₙ pour tout n, et monotone si elle est croissante ou décroissante.
• Convergence d’une suite : Une suite converge vers ℓ∈R si, pour tout ε>0, il existe n₀ tel que n≥n₀ implique |uₙ−ℓ|<ε ; une suite convergente possède une limite unique et est bornée.
• Suites adjacentes : Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et si leur différence tend vers 0 ; elles convergent alors vers une même limite ℓ située entre elles.

📝 Points essentiels

• Les opérations usuelles sur les limites de suites s’appliquent lorsque l’opération correspondante n’est pas une forme indéterminée ; les formes indéterminées sont +∞−∞, 0×(±∞), ±∞/±∞ et 0/0.

• Si aₙ≤uₙ≤bₙ à partir d’un certain rang et si aₙ et bₙ convergent vers la même limite finie ℓ, alors uₙ converge vers ℓ par le théorème d’encadrement.

• Si une suite converge vers ℓ, toute suite extraite converge vers ℓ ; réciproquement, une suite converge vers ℓ si et seulement si ses sous-suites (u₂ₙ) et (u₂ₙ₊₁) convergent toutes deux vers ℓ.

• Une suite croissante majorée converge vers sa borne supérieure, tandis qu’une suite croissante non majorée tend vers +∞ ; les énoncés symétriques valent pour une suite décroissante minorée ou non minorée.

💡 Astuce mémo

Définir → borner ou comparer → extraire → conclure sur la limite.

📖 4. Fonctions réelles et leurs limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une fonction réelle d’une variable réelle associe à tout réel de son domaine au plus un réel ; le domaine de définition regroupe les réels pour lesquels son expression est définie.
• Fonction composée : La composée f∘g est définie par (f∘g)(x)=f(g(x)) sur l’ensemble des x∈Dg tels que g(x)∈Df.
• Parité : Une fonction est paire si son domaine contient −x avec x et si f(−x)=f(x), et elle est impaire si f(−x)=−f(x) pour tout x de son domaine.
• Limite en un point : Une fonction f a pour limite ℓ∈R en a si, pour tout ε>0, il existe δ>0 tel que 0<|x−a|<δ implique |f(x)−ℓ|<ε.

★ À maîtriser

• Le domaine de f+g et de f×g est Df∩Dg, celui de λf est Df, et celui de f/g est l’ensemble des x∈Df∩Dg tels que g(x)≠0.

• Une fonction admet une limite en a si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en a, et si ces deux limites sont égales.

• Si u(x) tend vers b lorsque x tend vers a et si f(t) tend vers ℓ lorsque t tend vers b, alors f(u(x)) tend vers ℓ lorsque x tend vers a, sous les conditions de définition des domaines.

Compléments

• Les fonctions cosinus et sinus sont bornées sur R par −1≤cos(x)≤1 et −1≤sin(x)≤1 ; cos est paire, sin est impaire, et toutes deux sont 2π-périodiques.

📌 Les opérations sur les limites de fonctions s’appliquent au voisinage de a lorsque l’opération correspondante n’est pas une forme indéterminée et, pour un quotient, lorsque le dénominateur ne s’annule pas au voisinage de a.

• Pour tout rationnel r>0, xʳ tend vers +∞ quand x tend vers +∞, tend vers 0 quand x tend vers 0⁺, 1/xʳ tend vers 0 quand x tend vers +∞ et tend vers +∞ quand x tend vers 0⁺.

💡 Astuce mémo

Une fonction se décrit localement par sa limite en un point et globalement par son comportement à l’infini.

📖 5. Limites classiques et théorèmes

★ À maîtriser

• Pour tout nombre rationnel r strictement positif, $\lim_{x\to+\infty}x^r=+\infty$, $\lim_{x\to0^+}x^r=0$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^r}=0$ et $\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^r}=+\infty$.

📐 Formule - Les limites usuelles sont $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$.

• Si g(x)≤f(x)≤h(x) au voisinage de a et si f et h tendent toutes deux vers une même limite finie ℓ en a, alors f tend vers ℓ en a.

• Si f(x)≤g(x) au voisinage de a et si f tend vers +∞ en a, alors g tend vers +∞ en a ; si g tend vers −∞ en a, alors f tend vers −∞ en a.

• Si u tend vers b en a et si f tend vers ℓ en b, avec les domaines compatibles, alors f∘u tend vers ℓ en a.

Compléments

• Pour tout entier naturel n non nul, $\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty$ si n est impair et $+\infty$ si n est pair.

💡 Astuce mémo

Encadrement des fonctions extérieures → convergence de la fonction intérieure

📖 6. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : signifie que f admet une limite en a et que $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

★ À maîtriser

• Le prolongement par continuité en a consiste à donner à f(a) la valeur de la limite finie ℓ de f en a, tout en conservant les valeurs de f ailleurs.

📌 Une fonction continue sur un segment [a,b] prend toute valeur comprise entre f(a) et f(b), et cette valeur est unique si la fonction est strictement monotone.

📌 Toute fonction continue sur un segment [a,b] est bornée et atteint son minimum et son maximum.

Compléments

📌 Une fonction est continue en a si et seulement si elle est simultanément continue à droite et continue à gauche en a.

💡 Astuce mémo

TVI : existence d’un antécédent ; monotonie stricte : unicité

📖 7. Bijection et fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : fonction de I sur J si et seulement si, pour tout y∈J, l’équation f(x)=y admet une unique solution x dans I

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle image J=f(I), et sa réciproque est continue et strictement monotone dans le même sens que f.

Compléments

• Les graphes de f et de sa fonction réciproque f⁻¹ sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

📌 Si f est bijective et impaire, alors sa fonction réciproque f⁻¹ est impaire.

💡 Astuce mémo

Le graphe de la réciproque se reflète dans la première bissectrice

📖 8. Dérivée et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : la limite $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ lorsqu’elle est finie

★ À maîtriser

• Géométriquement, f′(a) est le coefficient directeur de la tangente au graphe de f au point d’abscisse a, dont une équation est y=f′(a)(x−a)+f(a).

📌 Une fonction est dérivable en a si et seulement si ses dérivées à gauche et à droite existent et sont égales.

📐 Formule - Pour deux fonctions dérivables u et v, on a $(uv)'=u'v+uv'$ et, si v ne s’annule pas, $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📐 Formule - Pour une composée dérivable, $(f\circ u)'(x)=f'(u(x))u'(x)$.

Compléments

📐 Formule - Si f est bijective, dérivable en a et si f′(a)≠0, alors sa réciproque est dérivable en b=f(a) et vérifie $(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$.

💡 Astuce mémo

Continuité nécessaire à la dérivabilité, mais continuité non suffisante

📖 9. Variations, extrema et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité : Une fonction est convexe sur I si, pour tous x,y∈I et λ∈[0,1], $f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le théorème des accroissements finis affirme qu’il existe c∈]a,b[ tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ lorsque f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

• Sur un intervalle, f est croissante si et seulement si f′ est positive ou nulle, et f est décroissante si et seulement si f′ est négative ou nulle.

• Si f possède un extremum local en un point intérieur a et est dérivable en a, alors f′(a)=0, mais l’annulation de f′(a) ne suffit pas à garantir un extremum local.

• Si f est deux fois dérivable et si f′′≥0 sur un intervalle, alors f est convexe ; si f′′≤0, alors f est concave ; un changement de signe de f′′ en a donne un point d’inflexion.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ → variations ; signe de f′′ → convexité

📖 10. Étude d’une fonction et suites

📝 Points essentiels

• L’étude complète d’une fonction consiste à déterminer son domaine, calculer ses limites et asymptotes, étudier ses variations et points critiques, étudier sa convexité et ses points d’inflexion, puis tracer son graphe.

• Si uₙ converge vers ℓ et si f est continue en ℓ, alors la suite définie par uₙ₊₁=f(uₙ) converge éventuellement vers un point fixe vérifiant f(ℓ)=ℓ.

• Pour garantir qu’une suite récurrente uₙ₊₁=f(uₙ) reste définie dans un intervalle I, il suffit que u₀∈I et que I soit stable par f, c’est-à-dire f(I)⊆I.

• Si f est croissante sur I, la suite récurrente est croissante lorsque u₁≥u₀ et décroissante lorsque u₁≤u₀ ; si f est décroissante, les sous-suites (u₂ₙ) et (u₂ₙ₊₁) sont monotones de sens opposés.

💡 Astuce mémo

Domaine → limites → variations → convexité → graphique

📖 11. Logarithme, exponentielle et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : est l’unique fonction définie sur ]0,+∞[, telle que ln(1)=0 et $\ln'(x)=\frac{1}{x}$
• Exponentielle : la fonction réciproque de ln, elle réalise une bijection de R sur ]0,+∞[ et vérifie $\exp(\ln x)=x$ et $\ln(\exp x)=x$

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour x,y>0 et r∈R, on a $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$, $\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)$ et $\ln(x^r)=r\ln(x)$.

• La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0,+∞[, son image est R, et $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ tandis que $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.

📐 Formule - Pour tous réels x,y,r, on a $e^{x+y}=e^xe^y$, $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ et $(e^x)^r=e^{rx}$.

• La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et dérivable sur R avec $(e^x)'=e^x$ ; de plus, $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.

📐 Formule - Pour tout réel a, la fonction puissance définie sur ]0,+∞[ par $x^a=e^{a\ln x}$ vérifie $\frac{d}{dx}x^a=ax^{a-1}$.

• Pour tous réels strictement positifs a,b,c, les croissances comparées donnent $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^a}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^b}{e^{cx}}=0$.

💡 Astuce mémo

ln transforme les produits en sommes, tandis que exp transforme les sommes en produits

📖 12. Fonctions puissances et croissances comparées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance : Définie sur ]0,+∞[ par $x^a=e^{a\ln(x)}$, comme prolongement continu des puissances rationnelles.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tout réel a non nul et tout x>0, la dérivée de la fonction puissance vérifie $f_a'(x)=a x^{a-1}$.

📌 Sur ]0,+∞[, la fonction puissance est strictement croissante si a>0 et strictement décroissante si a<0.

📌 La fonction puissance d’exposant a se prolonge par continuité en 0 si et seulement si a>0.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle domine le logarithme à l’infini : ln(x)/x^a → 0.

📖 13. Fonctions circulaires réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Arcsinus : La fonction réciproque de la restriction du sinus à [−π/2,π/2] ; elle est définie de [−1,1] vers [−π/2,π/2] et vérifie arcsin(x)=y si et seulement si sin(y)=x.
• Arccos : La fonction réciproque de la restriction du cosinus à [0,π] ; elle est définie de [−1,1] vers [0,π] et vérifie arccos(x)=y si et seulement si cos(y)=x.
• Arctangente : La fonction réciproque de la restriction de la tangente à ]−π/2,π/2[ ; elle est définie de R vers ]−π/2,π/2[ et vérifie arctan(x)=y si et seulement si tan(y)=x.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Sur [−1,1], on a $\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$, et sur ]−1,1[, $\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule - Sur [−1,1], on a $\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$, et sur ]−1,1[, $\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$.

💡 Astuce mémo

Arcsin et arccos ont le même domaine, mais des variations opposées ; arctan est définie sur R.

📊 Tableaux de synthèse

Théorèmes de comparaison des limites

Comparaison des fonctions réciproques