Fiche de révision : Polynômes, probabilités et suites

📋 Plan du Cours

1. Monômes et polynômes
2. Racines et représentation quadratique
3. Forme canonique et discriminant
4. Ensembles finis et cardinalités
5. Événements et probabilités
6. Équiprobabilité et dénombrement
7. Probabilités conditionnelles
8. Indépendance des événements
9. Partitions et probabilités totales
10. Définir et calculer une suite

📖 1. Monômes et polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Monôme : Un monôme est une expression de la forme $a\times x^n$, avec $a\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$ ; son degré est l’exposant n.
• Polynôme : Un polynôme est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ qui est une somme ou différence de monômes de degrés différents, et son degré est le plus élevé degré de ses monômes.

★ À maîtriser

📐 Formule - Tout polynôme du second degré s’écrit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\ne0$.

Compléments

• Une fonction contenant un terme de degré négatif, comme $2x^{-1}=\frac{2}{x}$, ou une racine variable, comme $\sqrt{x}$, n’est pas un polynôme.

📖 2. Racines et représentation quadratique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Une racine d’un polynôme P est un réel x pour lequel $P(x)=0$.

★ À maîtriser

• Un polynôme de degré n possède au maximum n racines ; un polynôme du second degré peut donc avoir au plus deux racines.

• La parabole de $P(x)=ax^2+bx+c$ est ouverte vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.

📐 Formule - L’abscisse de l’extremum de $P(x)=ax^2+bx+c$ est $x=-\frac{b}{2a}$ et sa valeur est $P\left(-\frac{b}{2a}\right)$.

📌 Si l’extremum est de signe contraire à a, le polynôme a deux racines ; s’il est du même signe que a, il n’a aucune racine ; s’il est nul, il a une racine.

Compléments

📐 Formule - La droite d’équation $x=-\frac{b}{2a}$ est l’axe de symétrie de la parabole de $P(x)=ax^2+bx+c$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a fixe l’ouverture ; le signe de l’extremum face à a fixe les intersections.

📖 3. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, est le réel $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Tout polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ s’écrit sous forme canonique $P(x)=a(x-\alpha)^2-\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, le polynôme n’a aucune racine et ne peut pas se factoriser dans $\mathbb{R}$.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l’unique racine est $x_1=-\frac{b}{2a}$ et $P(x)=a(x-x_1)^2$ ; $x_1$ est une racine double.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, les deux racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📐 Formule - Pour un polynôme du second degré ayant deux racines ou une racine double, $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$ ; pour une racine double, $x_1=x_2$.

📖 4. Ensembles finis et cardinalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Le cardinal d’un ensemble fini E, noté $\operatorname{Card}(E)$, est son nombre d’éléments et appartient à $\mathbb{N}$.
• Ensemble fini : Un ensemble fini est un ensemble dont les éléments peuvent être comptés en un nombre entier fini.
• Sous-ensemble : A est un sous-ensemble de E, noté $A\subset E$, lorsque chaque élément de A appartient aussi à E.

★ À maîtriser

📌 L’union $A\cup B$ contient les éléments appartenant à A ou à B, tandis que l’intersection $A\cap B$ contient ceux appartenant à la fois à A et à B.

📐 Formule - Pour deux ensembles finis A et B, $\operatorname{Card}(A\cup B)+\operatorname{Card}(A\cap B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)$.

Compléments

📐 Formule - Si A et B sont disjoints, $\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)$.

📖 5. Événements et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers : L’univers $\Omega$ est l’ensemble fini des issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement : Un événement A est un sous-ensemble de l’univers $\Omega$ et vérifie $\operatorname{Card}(A)\leq\operatorname{Card}(\Omega)$.
• Probabilité : La probabilité $P(A)$ d’un événement A est un réel compris entre 0 et 1, et $P(\Omega)=1$.
• Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire est renouvelable et son résultat ne peut pas être prévu.
• Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles lorsque $A\cap B=\varnothing$ ; alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $P(A\cup B)+P(A\cap B)=P(A)+P(B)$ et $P(A)+P(\overline{A})=1$.

📖 6. Équiprobabilité et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues de l’univers ont la même probabilité d’être réalisées.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un univers fini équiprobable, la probabilité d’un événement A est $P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$.

📖 7. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si $P(B)\ne0$, la probabilité de A sachant B, notée $P_B(A)$, est la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $P(B)\ne0$, $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ et $P_B(A)P(B)=P(A\cap B)$.

📌 $P_B(A)$ désigne la probabilité de A sachant B, tandis que $P_A(B)$ désigne la probabilité de B sachant A.

Compléments

• Pour tout événement A de probabilité non nulle, $P_A(A)=1$.

📐 Formule - En équiprobabilité, $P_B(A)=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(B)}$ lorsque B est non vide.

💡 Astuce mémo

P_B(A) signifie A sachant B ; P_A(B) signifie B sachant A.

📖 8. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

★ À maîtriser

📌 Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si la réalisation de B ne change pas la probabilité de A, c’est-à-dire $P_B(A)=P(A)$.

Compléments

• Dans l’enquête sur 300 ingénieurs, la probabilité d’un salaire d’au moins 40 000 € est $75/300$ et celle d’être diplômé de l’École B est $120/300$ ; leur produit vaut $1/10$, alors que la probabilité des deux événements vaut $40/300=2/15$, donc ils ne sont pas indépendants.

📖 9. Partitions et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Une partition de $\Omega$ est un ensemble d’événements de probabilité non nulle, deux à deux disjoints, dont la réunion est $\Omega$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de $\Omega$, alors pour tout événement B, $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i\cap B)$.

Compléments

📐 Formule - Si A et $\overline{A}$ forment une partition, alors $P(B)=P_A(B)P(A)+P_{\overline{A}}(B)P(\overline{A})$.

💡 Astuce mémo

Partition : événements non nuls, deux à deux disjoints, puis réunion égale à Ω.

📖 10. Définir et calculer une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction de l’ensemble des entiers vers l’ensemble des réels, qui associe à chaque entier n un réel $U_n$.

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie informellement par une description de ses termes, explicitement par $U_n=f(n)$, ou par récurrence reliant un terme à un ou plusieurs termes précédents.

📌 La définition d’une suite par récurrence nécessite une condition initiale pour pouvoir calculer ses termes.

Compléments

• Chaque valeur $U_n$ est un terme de la suite, qui peut être définie à partir d’un rang initial $n_0$ et notée $(U_n)_{n\geq n_0}$.

• La suite définie par $U_0=1$ et $U_{n+1}=3U_n+2$ vérifie $U_1=5$, $U_2=17$, $U_3=53$ et $U_4=161$.