Fiche de révision : Espaces probabilisés

📋 Plan du Cours

1. Modélisation et expériences aléatoires
2. Univers et événements
3. Mesure de probabilité
4. Probabilités uniformes et Bernoulli
5. Probabilité conditionnelle et Bayes
6. Indépendance des événements

📖 1. Modélisation et expériences aléatoires

★ À maîtriser

• La modélisation probabiliste formalise de manière abstraite les mécanismes d’un problème concret afin de permettre des calculs sur le phénomène modélisé.

📌 Une expérience est aléatoire si son résultat ne peut pas être prévu avec certitude et peut varier lorsqu’on la répète, tandis qu’un phénomène déterministe a un résultat prévisible ; cette qualification dépend du point de vue adopté.

Compléments

• L’incertitude peut provenir de la complexité des phénomènes, de la variabilité entre individus ou d’erreurs de mesure.

• La modélisation probabiliste est utilisée notamment en biologie et génétique, médecine et épidémiologie, économie et finance, sciences de la Terre, sciences humaines, ingénierie et sciences de l’information.

• Des exemples d’expériences aléatoires sont le lancer de dés, la durée de vie d’une ampoule, la quantité de neige tombée, un sondage et la concentration de pesticides.

📖 2. Univers et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers : Ensemble de tous les résultats possibles, appelés issues, d’une expérience aléatoire.
• Événement : Partie de l’univers, qui est élémentaire si elle ne contient qu’une seule issue.

📝 Points essentiels

📌 L’événement contraire de A est le complémentaire de A dans l’univers, l’événement A ∪ B signifie qu’au moins l’un des deux se produit, et A ∩ B signifie qu’ils se produisent simultanément.

📌 Deux événements A et B sont incompatibles lorsque leur intersection est vide.

• Pour un lancer de dé, l’univers est {1, 2, 3, 4, 5, 6} et l’événement « obtenir un nombre pair » est {2, 4, 6}.

• Des univers adaptés comprennent {P, F} pour pile ou face, {oui, non}^15 pour 15 réponses binaires, R+ pour une durée de vie et N* pour le rang du premier pile.

📖 3. Mesure de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure de probabilité : Application des sous-ensembles de l’univers vers [0, 1], telle que P(Ω) = 1 et que P(∪ₙ Aₙ) = ∑ₙ P(Aₙ) pour toute suite d’événements deux à deux disjoints.
• Espace probabilisé : Couple (Ω, P) lorsque la probabilité est définie sur tous les sous-ensembles d’un univers fini ou dénombrable.
• Tribu : Ensemble non vide de sous-parties de l’univers, stable par complémentaire et par union dénombrable.
• Espace probabilisé : Lorsque l’univers n’est pas dénombrable, un espace probabilisé est le triplet (Ω, A, P), où la probabilité est définie sur les éléments d’une tribu A.

★ À maîtriser

• Toute probabilité vérifie P(∅) = 0, P(Aᶜ) = 1 − P(A), et A ⊆ B implique P(A) ≤ P(B).

📐 Formule - Pour deux événements, $P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)$.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite d’événements, $P(\bigcup_n A_n) \leq \sum_n P(A_n)$.

📐 Formule - Pour une suite croissante d’événements, $P(\bigcup_n A_n) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$ ; pour une suite décroissante, $P(\bigcap_n A_n) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$.

📖 4. Probabilités uniformes et Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Épreuve de Bernoulli de paramètre p a pour univers {0, 1}, où 1 représente le succès de probabilité p et 0 l’échec de probabilité q = 1 − p.
• Schéma de Bernoulli : Répétition n fois d’une même épreuve de Bernoulli.

★ À maîtriser

📐 Formule - Sur un univers fini Ω, la probabilité uniforme d’un événement A est $P(A) = \frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$.

Compléments

• Pour deux dés équilibrés, la somme vaut 4 dans trois issues sur 36, donc sa probabilité uniforme est 1/12.

• Sur un univers fini {a₁, …, aₙ}, une probabilité est déterminée par les probabilités pᵢ = P({aᵢ}), qui sont positives et dont la somme vaut 1.

💡 Astuce mémo

L’uniforme partage également les issues ; Bernoulli distingue succès et échec.

📖 5. Probabilité conditionnelle et Bayes

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Famille de parties non vides, deux à deux disjointes, dont l’union est Ω.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour P(B) > 0, la probabilité conditionnelle de A sachant B est $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

📐 Formule - Si (Bⱼ) est une partition de Ω, alors $P(A) = \sum_j P(A \cap B_j)$ ; si chaque P(Bⱼ) est non nulle, $P(A) = \sum_j P(A \mid B_j)P(B_j)$.

📐 Formule - Pour une partition (Bⱼ) de Ω et P(A) > 0, la formule de Bayes est $P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i)P(B_i)}{\sum_j P(A \mid B_j)P(B_j)}$.

Compléments

• Dans un test médical, la sensibilité est Se = P(+|M) et la spécificité est Sp = P(−|Mᶜ).

📌 La valeur prédictive positive est P(M|+) et la valeur prédictive négative est P(Mᶜ|−).

• La prévalence P(M) influence les valeurs prédictives : pour une maladie rare, un résultat négatif peut indiquer une forte probabilité de ne pas être malade alors qu’un résultat positif peut rester peu prédictif.

📖 6. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants lorsque $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
• Indépendance mutuelle : Des événements (Aᵢ) sont mutuellement indépendants si toute intersection finie d’entre eux a une probabilité égale au produit de leurs probabilités.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si P(B) > 0, A et B sont indépendants si et seulement si $P(A \mid B) = P(A)$.

• Si A et B sont indépendants, alors A et Bᶜ sont indépendants, et Aᶜ et Bᶜ le sont également.

• Pour trois événements A, B et C, l’indépendance mutuelle exige la factorisation des trois probabilités d’intersection par paires et de l’intersection triple.

💡 Astuce mémo

Indépendance : intersections factorielles ; incompatibilité : intersection vide.