QCM : Espaces probabilisés (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À quoi sert la modélisation probabiliste d’un problème concret ?

À formaliser abstraitement ses mécanismes pour permettre des calculs sur le phénomène modélisé
À classer les résultats observés sans représenter les mécanismes du problème concret
À remplacer l’observation du phénomène par une explication fondée sur des mesures exactes
À reproduire chaque détail du phénomène afin d’en déterminer avec certitude le résultat

À formaliser abstraitement ses mécanismes pour permettre des calculs sur le phénomène modélisé

Explication

La modélisation probabiliste traduit les mécanismes d’un problème concret en une forme abstraite qui permet d’effectuer des calculs. Reproduire chaque détail et prévoir le résultat avec certitude ne correspond pas à cette fonction.

2. Une même situation semble imprévisible à l’échelle d’une personne, mais ses résultats deviennent prévisibles lorsqu’on considère une grande population. Quelle conclusion est la plus appropriée ?

La situation est déterministe à toutes les échelles, puisque des tendances collectives peuvent être anticipées.
La répétition transforme nécessairement une situation aléatoire en phénomène déterministe.
La qualification d’aléatoire peut dépendre du point de vue adopté, tandis qu’un phénomène déterministe a un résultat prévisible.
La situation est aléatoire à toutes les échelles, car un résultat individuel ne peut être prévu avec certitude.

La qualification d’aléatoire peut dépendre du point de vue adopté, tandis qu’un phénomène déterministe a un résultat prévisible.

Explication

Une expérience est aléatoire si son résultat ne peut être prévu avec certitude et peut varier lors des répétitions, mais cette qualification dépend du point de vue adopté. La prévisibilité d’une tendance collective ne suffit donc pas à rendre la situation déterministe à toutes les échelles.

3. Dans une expérience aléatoire, que désigne l’univers ?

L’ensemble des événements formés à partir des issues possibles
L’ensemble des résultats jugés les plus probables avant l’expérience
L’ensemble de toutes les issues possibles de l’expérience
L’ensemble des issues observées lors d’une réalisation particulière

L’ensemble de toutes les issues possibles de l’expérience

Explication

L’univers regroupe toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Les résultats observés lors d’une réalisation particulière ne constituent qu’une issue, et non l’ensemble des possibilités.

4. On considère deux événements A et B d’une même expérience. Que signifie la réalisation de A ∪ B ?

Au moins l’un des événements A ou B se produit
L’événement A se produit sans que l’événement B se produise
Aucun des événements A et B ne se produit
Les événements A et B se produisent simultanément

Au moins l’un des événements A ou B se produit

Explication

L’union A ∪ B se réalise lorsqu’au moins l’un des deux événements se produit, y compris lorsqu’ils se produisent ensemble. Leur réalisation simultanée correspond à l’intersection A ∩ B.

5. Qu’est-ce qu’une mesure de probabilité sur un univers ?

Une application qui attribue à chaque événement un nombre réel, associe 00 à l’univers et est additive pour les événements qui se recouvrent.
Une application qui attribue à chaque événement une valeur dans [0,1][0,1], associe 11 à l’univers et est additive pour les événements disjoints.
Une fonction qui associe à chaque issue une valeur dans [0,1][0,1], sans imposer de valeur particulière à l’univers.
Une famille d’événements stable par complémentaire et par union dénombrable, à laquelle aucune valeur numérique n’est attribuée.

Une application qui attribue à chaque événement une valeur dans $$[0,1]$$, associe $$1$$ à l’univers et est additive pour les événements disjoints.

Explication

Une mesure de probabilité attribue une valeur entre 00 et 11 aux événements, vaut 11 pour l’univers et vérifie l’additivité pour les événements deux à deux disjoints. Une famille stable par complémentaire et par union dénombrable décrit plutôt une tribu, et non une mesure de probabilité.

6. Lorsqu’on lance deux dés équilibrés, quelle est la probabilité que leur somme soit égale à 4 ?

16\frac{1}{6}
118\frac{1}{18}
112\frac{1}{12}
19\frac{1}{9}

$$\frac{1}{12}$$

Explication

Trois des 36 issues équiprobables donnent une somme de 4, soit 336=112\frac{3}{36}=\frac{1}{12}. Une probabilité de 16\frac{1}{6} correspondrait à six issues favorables, et non trois.

7. Quel est le rôle de la formule de Bayes lorsqu’on connaît qu’un événement A s’est produit et qu’on cherche à évaluer lequel des événements d’une partition l’a provoqué ?

Elle permet de calculer la probabilité d’un événement A sachant B en divisant leur intersection par la probabilité de A.
Elle permet de calculer la probabilité conditionnelle d’une partie de la partition sachant A, à partir des probabilités inverses et de leurs poids.
Elle permet de calculer la probabilité de l’intersection de deux événements en multipliant leurs probabilités marginales.
Elle permet de calculer la probabilité de A en additionnant les probabilités marginales des parties de la partition.

Elle permet de calculer la probabilité conditionnelle d’une partie de la partition sachant A, à partir des probabilités inverses et de leurs poids.

Explication

La formule de Bayes inverse le conditionnement pour déterminer la probabilité d’une partie de la partition sachant A, en pondérant par sa probabilité initiale puis en normalisant. La somme des probabilités conditionnelles pondérées sert plutôt à calculer la probabilité totale de A.

8. En quoi l’indépendance de deux événements diffère-t-elle de leur incompatibilité ?

L’indépendance signifie que l’intersection est vide, tandis que l’incompatibilité signifie que la probabilité de l’intersection est le produit des probabilités.
L’indépendance signifie que l’intersection a une probabilité égale au produit des probabilités, tandis que l’incompatibilité signifie que l’intersection est vide.
L’indépendance signifie que les deux événements ont une intersection non vide, tandis que l’incompatibilité signifie que leurs probabilités sont égales.
L’indépendance signifie que les probabilités des deux événements sont égales, tandis que l’incompatibilité signifie que leur union couvre l’univers.

L’indépendance signifie que l’intersection a une probabilité égale au produit des probabilités, tandis que l’incompatibilité signifie que l’intersection est vide.

Explication

L’indépendance est définie par la factorisation de la probabilité de l’intersection, alors que l’incompatibilité correspond à une intersection vide. Une intersection vide n’exprime pas l’indépendance en général : elle indique que les deux événements ne peuvent pas se produire simultanément.

9. Pourquoi un phénomène peut-il être qualifié d’aléatoire dans une modélisation, même si son déroulement est déterministe à un autre niveau ?

Parce que toute répétition du phénomène produit un résultat différent.
Parce que cette qualification dépend du point de vue adopté sur le phénomène.
Parce que la modélisation transforme un phénomène déterministe en événement imprévisible.
Parce que les erreurs de mesure rendent le phénomène intrinsèquement aléatoire.

Parce que cette qualification dépend du point de vue adopté sur le phénomène.

Explication

Le caractère aléatoire dépend du point de vue : un résultat peut être imprévisible pour l’observateur sans que le phénomène soit indéterminé à un autre niveau. La variabilité des résultats entre répétitions peut contribuer à l’incertitude, mais elle n’explique pas à elle seule cette dépendance au point de vue.

10. Pour décrire les résultats possibles d’un lancer de dé, comment faut-il construire l’univers de l’expérience ?

En indiquant le résultat obtenu lors d’un lancer particulier, comme 3.
En attribuant une probabilité à chaque issue, sans dresser la liste des résultats possibles.
En réunissant toutes les issues possibles du lancer, soit {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
En ne retenant que les issues correspondant à l’événement étudié, par exemple {2, 4, 6}.

En réunissant toutes les issues possibles du lancer, soit {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Explication

L’univers doit rassembler toutes les issues possibles de l’expérience, ici les six faces du dé. L’ensemble {2, 4, 6} décrit plutôt un événement particulier, celui d’obtenir un nombre pair.

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À quoi sert la modélisation probabiliste d’un problème concret ?

À formaliser abstraitement ses mécanismes pour permettre des calculs sur le phénomène modélisé.

En probabilité, qu’est-ce que l’univers d’une expérience aléatoire ?

L’ensemble de tous ses résultats possibles, appelés issues.

Quel critère rend un événement élémentaire ?

Il ne contient qu’une seule issue.

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