QCM : Ensembles et dénombrement (29 questions)

Explication

Un ensemble est une collection dont les éléments peuvent être de n’importe quelle nature. L’idée qu’ils doivent tous être de même nature impose une restriction qui ne fait pas partie de cette définition.

Explication

L’ordre des éléments ne compte pas dans un ensemble, et un élément répété n’ajoute pas de nouvel élément. En revanche, la présence d’une répétition ne rend pas les ensembles différents.

Explication

L’inclusion signifie que chaque élément de A appartient à E. Avoir le même nombre d’éléments ne suffit pas à établir cette relation.

Explication

L’union contient les éléments qui appartiennent à A ou à B, donc cet élément appartient à $A \cup B$. L’intersection exige qu’il appartienne aux deux ensembles.

Explication

L’intersection regroupe les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. Le complémentaire de l’union, au contraire, contient les éléments qui n’appartiennent ni à A ni à B.

Explication

Deux ensembles sont disjoints lorsque leur intersection ne contient aucun élément. Une union vide est une condition bien plus forte et ne définit pas la disjonction en général.

Explication

Le complémentaire de A dans E rassemble les éléments de E qui ne sont pas dans A. Les éléments extérieurs à E n’en font pas partie, même s’ils ne sont pas dans A.

Explication

Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments. Le nombre de ses sous-ensembles est une autre quantité et ne correspond pas à cette définition.

Explication

Un ensemble fini de cardinal n est en bijection avec $\{1,\ldots,n\}$. Une simple injection ne garantit pas que tous les n éléments correspondent à des éléments de E.

Explication

Une bijection met en correspondance chaque élément d’un ensemble avec exactement un élément de l’autre, ce qui caractérise l’égalité des cardinaux. Une injection dans un seul sens peut exister même si les cardinaux sont différents.

Explication

Pour des ensembles disjoints, le cardinal de l’union est la somme des cardinaux, soit 4 + 7 = 11. Le produit des cardinaux ne calcule pas le cardinal de l’union.

Explication

Chaque coordonnée du triplet offre 4 choix, donc $Card(E^3)=4^3=64$. Le nombre 12 correspond à une multiplication de 4 par 3 plutôt qu’au dénombrement des triplets.

Explication

Chaque élément peut être inclus ou exclu d’un sous-ensemble, ce qui donne $Card(P(E))=2^5=32$. Le nombre 25 est obtenu en élevant 5 au carré, ce qui ne dénombre pas les sous-ensembles.

Explication

Chacun des 3 éléments de E peut être envoyé vers l’un des 4 éléments de F, donc il existe $4^3=64$ applications. Le nombre 24 compterait les applications injectives, alors que les applications générales peuvent associer plusieurs éléments de E à la même image.

Explication

Un ensemble dénombrable est en bijection avec $\mathbb{N}$, et le terme est parfois étendu aux ensembles finis. La présence d’éléments entiers ne suffit pas à caractériser la dénombrabilité.

Explication

L’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ est dénombrable, tout comme $\mathbb{N}^2$ et $\mathbb{Z}$. L’intervalle $[0,1]$ et $\mathbb{R}$ ne sont pas dénombrables, contrairement à la confusion fréquente entre rationnels et réels.

Explication

L’intervalle $[0,1]$ n’est pas dénombrable, alors que l’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ l’est. Dire que les deux sont dénombrables transpose à tort la propriété des rationnels à l’intervalle réel.

Explication

Le produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable, donc $A\times B$ l’est. Le fait que les deux ensembles soient infinis n’empêche pas leur produit cartésien de rester dénombrable.

Explication

Une union dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable. La disjonction deux à deux n’est pas requise pour cette propriété.

Explication

Un arrangement à k éléments est un k-uplet formé d’éléments distincts de E, et l’ordre des composantes importe. Un sous-ensemble ne tient pas compte de l’ordre, ce qui correspond à une autre notion de dénombrement.

Explication

La formule donne $A_5^2=5\times4=20$, puisque le premier choix laisse quatre possibilités pour le second. Le nombre 10 ne tient pas compte de l’ordre des deux éléments.

Explication

Une permutation est un arrangement de tous les éléments, donc leur nombre est $6!=720$. Le nombre 120 correspond à $5!$ et ne compte pas les permutations des six éléments.

Explication

Une combinaison est un sous-ensemble dont les éléments ne sont pas ordonnés. Une liste où chaque ordre compte décrit plutôt un arrangement.

Explication

Le nombre de groupes de trois éléments parmi sept est $\binom{7}{3}=35$. Le calcul $\frac{7!}{(7-3)!}$ compte des arrangements, où l’ordre des personnes est pris en compte.

Explication

Le terme d’indice $k=2$ est $\binom{5}{2}a^2b^{5-2}$, soit $\binom{5}{2}a^2b^3$. L’expression avec les exposants inversés correspond à l’indice 3 pour la puissance de $a$.

Explication

Avec remise et avec ordre, chaque tirage est une suite de quatre éléments de $E$, donc il y a $6^4$ résultats. Les arrangements sans remise ne permettent pas les répétitions.

Explication

Le tirage est ordonné et sans remise, donc il correspond aux arrangements $A_8^3$. Le nombre $\binom{8}{3}$ ne convient pas, car il ne distingue pas les ordres des symboles.

Explication

Un choix sans ordre et sans remise est une combinaison, ce qui donne $\binom{12}{5}$. Les arrangements $A_{12}^{5}$ compteraient plusieurs fois un même groupe selon l’ordre de sélection.

Explication

Un tirage sans ordre et avec remise se dénombre par $\binom{n+k-1}{k}$, ici $\binom{5+4-1}{4}=70$. Le calcul $5^4$ distinguerait l’ordre des quatre tirages.