QCM : Polynômes, probabilités et suites (11 questions)

Question 1

1. Concernant la définition et le degré d’un monôme :

Le degré d’un monôme est l’exposant de sa variable.

Le degré d’un monôme est son coefficient réel.

Un monôme s’écrit

a\times x^n

, avec

a

réel et

n

naturel.

Un monôme s’écrit

a\times x^n

, avec

a

naturel et

n

réel.

Un monôme s’écrit

a+x^n

, avec

a

réel et

n

naturel.

Explication

Un monôme a la forme $a\times x^n$ avec un coefficient réel et un exposant naturel, et son degré est cet exposant. Le coefficient n’a pas à être naturel, et il ne détermine pas le degré ; remplacer le produit par une somme change la forme définie.

Answer

Le degré d’un monôme est l’exposant de sa variable. · Un monôme s’écrit $$a\times x^n$$, avec $$a$$ réel et $$n$$ naturel.

Question 2

2. Parmi les propositions suivantes concernant le degré d’un polynôme, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

Un polynôme est défini sur

\mathbb{N}

comme somme ou différence de monômes.

Un polynôme est constitué de monômes de degrés différents.

Le degré d’un polynôme est le plus élevé degré parmi ses monômes.

Le degré d’un polynôme est le plus faible degré parmi ses monômes.

Un polynôme est défini sur

\mathbb{R}

comme somme ou différence de monômes.

Explication

Un polynôme est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et construite comme somme ou différence de monômes de degrés différents. Son degré est le degré le plus élevé, et non le plus faible ; remplacer son domaine par $\mathbb{N}$ ne correspond pas à la définition.

Answer

Un polynôme est constitué de monômes de degrés différents. · Le degré d’un polynôme est le plus élevé degré parmi ses monômes. · Un polynôme est défini sur $$\mathbb{R}$$ comme somme ou différence de monômes.

Question 3

3. Concernant les racines d’un polynôme, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une racine de

P

est une valeur de

P(x)

pour laquelle

x=0

.

Une racine de

P

est un réel

x

tel que

P(x)=0

.

Si

P(3)=0

, alors

3

est une racine de

P

.

Si

P(0)=2

, alors

0

est une racine de

P

.

Une racine de

P

est un réel

x

tel que

P(x)=1

.

Explication

Une racine est un réel qui annule le polynôme, donc $P(3)=0$ fait bien de $3$ une racine. Une valeur égale à $1$ ne répond pas à la définition, et la racine est la valeur de $x$ , non une valeur de $P(x)$ ; $P(0)=2$ ne rend pas $0$ racine.

Answer

Une racine de $$P$$ est un réel $$x$$ tel que $$P(x)=0$$. · Si $$P(3)=0$$, alors $$3$$ est une racine de $$P$$.

Question 4

4. Une fonction quadratique est représentée par $P(x)=ax^2+bx+c$ . Quelles sont les réponses exactes au sujet de l’orientation de sa parabole ?

Pour

P(x)=-3x^2+2x+1

, la parabole est ouverte vers le bas.

Pour

P(x)=2x^2+x+1

, la parabole est ouverte vers le haut.

Si

a>0

, la parabole de

P

est ouverte vers le bas.

Si

a<0

, la parabole de

P

est ouverte vers le bas.

Si

a>0

, la parabole de

P

est ouverte vers le haut.

Explication

Le signe positif du coefficient de $x^2$ correspond à une parabole ouverte vers le haut, et le signe négatif à une parabole ouverte vers le bas. Les deux exemples suivent ces règles ; l’orientation annoncée pour un coefficient positif dans la proposition erronée est inversée.

Answer

Pour $$P(x)=-3x^2+2x+1$$, la parabole est ouverte vers le bas. · Pour $$P(x)=2x^2+x+1$$, la parabole est ouverte vers le haut. · Si $$a<0$$, la parabole de $$P$$ est ouverte vers le bas. · Si $$a>0$$, la parabole de $$P$$ est ouverte vers le haut.

Question 5

5. Que représente le discriminant d’un polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

Le réel

\frac{c}{a}

, qui donne le produit des racines réelles.

Le réel

-\frac{b}{2a}

, qui donne l’abscisse de l’extremum.

Le réel

b^2-4ac

, qui permet de déterminer le nombre de racines réelles.

Le réel

a(x-\alpha)^2-\beta

, qui exprime le polynôme sous forme canonique.

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$ et son signe indique le nombre de racines réelles. L’expression $-\frac{b}{2a}$ donne l’abscisse de l’extremum, et non le discriminant.

Answer

Le réel $$b^2-4ac$$, qui permet de déterminer le nombre de racines réelles.

Question 6

6. Deux ensembles finis A et B ont respectivement 12 et 9 éléments, et leur intersection en contient 4. Combien d’éléments contient leur union ?

21 éléments

17 éléments

13 éléments

25 éléments

Explication

La formule des cardinalités donne $\operatorname{Card}(A\cup B)=12+9-4=17$ , car les éléments communs sont comptés deux fois dans la somme initiale. Additionner 12 et 9 sans retrancher l’intersection compterait ces éléments communs en double.

Answer

17 éléments

Question 7

7. Quel rôle joue l’événement contraire $\overline{A}$ dans le calcul des probabilités ?

Il représente l’intersection de

A

avec l’univers des issues possibles.

Il désigne les issues qui appartiennent à

A

et à un autre événement.

Il mesure la probabilité que l’événement

A

se réalise plusieurs fois.

Il complète la probabilité de

A

pour que leur somme soit égale à

1

.

Explication

L’événement contraire regroupe les issues où $A$ ne se réalise pas, et leurs probabilités vérifient $P(A)+P(\overline{A})=1$ . L’intersection concerne des issues communes à deux événements, et non le complément de $A$ .

Answer

Il complète la probabilité de $$A$$ pour que leur somme soit égale à $$1$$.

Question 8

8. En quoi l’équiprobabilité se distingue-t-elle de la formule de calcul de la probabilité d’un événement dans un univers fini équiprobable ?

L’équiprobabilité compte les issues possibles, tandis que la formule compare les probabilités conditionnelles.

L’équiprobabilité décrit des issues de même chance, tandis que la formule rapporte les cas favorables aux issues possibles.

L’équiprobabilité concerne un événement donné, tandis que la formule vérifie que la probabilité de l’univers vaut un.

L’équiprobabilité décrit des événements incompatibles, tandis que la formule additionne leurs probabilités.

Explication

L’équiprobabilité est une propriété de l’univers, où toutes les issues ont la même probabilité ; elle permet alors de calculer la probabilité d’un événement par le rapport de son cardinal à celui de l’univers. La formule ne définit pas des issues de même chance : elle s’applique à cette situation pour obtenir une probabilité.

Answer

L’équiprobabilité décrit des issues de même chance, tandis que la formule rapporte les cas favorables aux issues possibles.

Question 9

9. Dans un univers équiprobable, si un événement A contient deux fois plus d’issues qu’un événement B, quelle conséquence cela a-t-il sur leurs probabilités ?

La probabilité de B est deux fois celle de A.

La probabilité de A est deux fois celle de B.

Les deux événements ont la même probabilité.

La probabilité de A dépasse celle de B de deux points.

Explication

En équiprobabilité, la probabilité est proportionnelle au nombre d’issues favorables, car elle est égale au rapport entre ce nombre et celui des issues de l’univers. Une différence de deux points ne découle pas du rapport des effectifs, mais d’une différence absolue qui dépend de la taille de l’univers.

Answer

La probabilité de A est deux fois celle de B.

Question 10

10. On sait que $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ . Comment vérifier si les événements $A$ et $B$ sont indépendants ?

Comparer

P_B(A)

à

P(B)

; les événements sont indépendants si ces deux valeurs sont égales.

Comparer

P(A\cap B)

à

P(A)P(B)

; les événements sont indépendants si ces deux valeurs sont égales.

Comparer

P(A\cup B)

à

P(A)P(B)

; les événements sont indépendants si ces deux valeurs sont égales.

Comparer

P(A\cap B)

à

P(A)+P(B)

; les événements sont indépendants si ces deux valeurs sont égales.

Explication

Le produit $P(A)P(B)$ vaut $0{,}2$ , égal à $P(A\cap B)$ , ce qui vérifie le critère d’indépendance. Comparer la probabilité de l’intersection à la somme des probabilités ne constitue pas le critère d’indépendance.

Answer

Comparer $$P(A\cap B)$$ à $$P(A)P(B)$$ ; les événements sont indépendants si ces deux valeurs sont égales.

Question 11

11. Si les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l’univers, comment exprimer la probabilité d’un événement $B$ à l’aide des probabilités conditionnelles ?

P(B)=P_A(B)P(\overline{A})+P_{\overline{A}}(B)P(A)

P(B)=P_A(B)P(A)+P_{\overline{A}}(B)P(\overline{A})

P(B)=P_A(B)+P_{\overline{A}}(B)

P(B)=P(A)P(\overline{A})P_A(B)P_{\overline{A}}(B)

Explication

La partition en $A$ et $\overline{A}$ permet de calculer la probabilité de $B$ en additionnant les probabilités de $B$ dans chaque cas, pondérées par la probabilité du cas correspondant. La somme non pondérée des probabilités conditionnelles ne tient pas compte de la fréquence de réalisation de chaque cas.

Answer

$$P(B)=P_A(B)P(A)+P_{\overline{A}}(B)P(\overline{A})$$

QCM : Polynômes, probabilités et suites (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition et le degré d’un monôme :

2. Parmi les propositions suivantes concernant le degré d’un polynôme, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

3. Concernant les racines d’un polynôme, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

4. Une fonction quadratique est représentée par $P(x)=ax^2+bx+c$ . Quelles sont les réponses exactes au sujet de l’orientation de sa parabole ?

5. Que représente le discriminant d’un polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

6. Deux ensembles finis A et B ont respectivement 12 et 9 éléments, et leur intersection en contient 4. Combien d’éléments contient leur union ?

7. Quel rôle joue l’événement contraire $\overline{A}$ dans le calcul des probabilités ?

8. En quoi l’équiprobabilité se distingue-t-elle de la formule de calcul de la probabilité d’un événement dans un univers fini équiprobable ?

9. Dans un univers équiprobable, si un événement A contient deux fois plus d’issues qu’un événement B, quelle conséquence cela a-t-il sur leurs probabilités ?

10. On sait que $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ . Comment vérifier si les événements $A$ et $B$ sont indépendants ?

11. Si les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l’univers, comment exprimer la probabilité d’un événement $B$ à l’aide des probabilités conditionnelles ?

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Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition et le degré d’un monôme :

2. Parmi les propositions suivantes concernant le degré d’un polynôme, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

3. Concernant les racines d’un polynôme, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

4. Une fonction quadratique est représentée par P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+cP(x)=ax2+bx+c. Quelles sont les réponses exactes au sujet de l’orientation de sa parabole ?

5. Que représente le discriminant d’un polynôme du second degré P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+cP(x)=ax2+bx+c, avec a≠0a\ne0a=0 ?

6. Deux ensembles finis A et B ont respectivement 12 et 9 éléments, et leur intersection en contient 4. Combien d’éléments contient leur union ?

7. Quel rôle joue l’événement contraire A‾\overline{A}A dans le calcul des probabilités ?

8. En quoi l’équiprobabilité se distingue-t-elle de la formule de calcul de la probabilité d’un événement dans un univers fini équiprobable ?

9. Dans un univers équiprobable, si un événement A contient deux fois plus d’issues qu’un événement B, quelle conséquence cela a-t-il sur leurs probabilités ?

10. On sait que P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4, P(B)=0,5P(B)=0{,}5P(B)=0,5 et P(A∩B)=0,2P(A\cap B)=0{,}2P(A∩B)=0,2. Comment vérifier si les événements AAA et BBB sont indépendants ?

11. Si les événements AAA et A‾\overline{A}A forment une partition de l’univers, comment exprimer la probabilité d’un événement BBB à l’aide des probabilités conditionnelles ?

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4. Une fonction quadratique est représentée par $P(x)=ax^2+bx+c$ . Quelles sont les réponses exactes au sujet de l’orientation de sa parabole ?

5. Que représente le discriminant d’un polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

7. Quel rôle joue l’événement contraire $\overline{A}$ dans le calcul des probabilités ?

10. On sait que $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ . Comment vérifier si les événements $A$ et $B$ sont indépendants ?

11. Si les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l’univers, comment exprimer la probabilité d’un événement $B$ à l’aide des probabilités conditionnelles ?