Fiche de révision : Pourcentages et taux de variation

📋 Plan du Cours

1. Repères du cours de TQ1
2. Comprendre et convertir les pourcentages
3. Répartition et variation absolue
4. Taux de variation et coefficient multiplicateur
5. Comparer et enchaîner les pourcentages
6. Taux successifs et compensations
7. Taux moyen sur plusieurs périodes

📖 1. Repères du cours de TQ1

★ À maîtriser

• Le programme comprend:
  • les pourcentages
  • les indices
  • les fonctions affines
  • les graphes de fonctions
  • les dérivées et tangentes
  • les statistiques descriptives

Compléments

• Le cours Techniques quantitatives 1 de L1 AES alterne des contenus de mathématiques et de statistiques adaptés à l’économie, à la sociologie et à la gestion. - Cécile Hardouin

📖 2. Comprendre et convertir les pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Fraction de dénominateur 100, et le symbole % signifie « divisé par 100 ».

★ À maîtriser

📌 Pour convertir une valeur décimale en pourcentage, il faut la multiplier par 100 ; ainsi, 0,2 devient 20 %, 0,335 devient 33,5 % et 1,5 devient 150 %.

📌 Pour convertir un pourcentage en valeur décimale, il faut le diviser par 100 ; ainsi, 87,25 % devient 0,8725, 120 % devient 1,2 et 0,4 % devient 0,004.

Compléments

• Un taux d’intérêt de 3 % mesure un rendement pour 100 euros investis, tandis qu’une solution à 12 % d’alcool correspond à 12 millilitres d’alcool pour 100 millilitres de solution.

💡 Astuce mémo

Pourcentage affiché ≠ valeur décimale utilisée dans le calcul

📖 3. Répartition et variation absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation absolue : La variation absolue d’une grandeur entre une valeur initiale V0 et une valeur finale V1 est la différence $V_1-V_0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La proportion d’une partie dans un ensemble s’obtient par le rapport entre la partie et l’ensemble, puis peut être exprimée en pourcentage : $\frac{2}{13}\approx 0{,}154=15{,}4\%$.

Compléments

• Une hausse du salaire d’Enzo de 1 000 à 1 100 euros et une hausse du salaire de la directrice de 10 000 à 10 100 euros produisent toutes deux une variation absolue de 100 euros.

📖 4. Taux de variation et coefficient multiplicateur

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux de variation relative entre une valeur initiale V0 et une valeur finale V1 est $t=\frac{V_1-V_0}{V_0}$, généralement exprimé en pourcentage.

📐 Formule - Le coefficient multiplicateur associé au taux de variation t est $m=1+t$ et la valeur finale vérifie $V_1=mV_0=(1+t)V_0$.

📌 Un taux de variation positif correspond à une augmentation ou à un taux de croissance, tandis qu’un taux négatif correspond à une diminution ou à un taux de décroissance.

Compléments

• Une ville de 50 000 habitants qui perd 2 500 habitants connaît une variation relative de $\frac{-2500}{50000}=-0{,}05$, soit une baisse de 5 %, et compte ensuite 47 500 habitants.

💡 Astuce mémo

Taux de variation → coefficient multiplicateur → nouvelle valeur

📖 5. Comparer et enchaîner les pourcentages

★ À maîtriser

📌 Pour calculer un pourcentage de pourcentage, il faut multiplier les deux pourcentages écrits sous forme décimale.

📌 Une hausse d’un taux de 2 % à 3 % correspond à une augmentation de 1 point de pourcentage, et non à une augmentation relative de 1 %.

Compléments

• Si 10 % des étudiants sont en L1 AES et que 80 % de ces étudiants ont validé leur année, alors 0,10 × 0,80 = 0,08, soit 8 % de l’ensemble des étudiants.

💡 Astuce mémo

Points de pourcentage ≠ pourcentage relatif

📖 6. Taux successifs et compensations

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des taux successifs t1, t2, jusqu’à tK, le coefficient global vérifie $1+t_{global}=\prod_{i=1}^{K}(1+t_i)$ et le taux global est obtenu en retirant 1 au résultat.

📌 Une baisse de 5 % suivie d’une hausse de 5 % ne ramène pas la valeur initiale, car le coefficient global est $0{,}95\times1{,}05=0{,}9975$, soit une variation globale de -0,25 %.

• Une hausse du prix de l’essence de 4 % puis de 6 % donne un taux global de $1{,}04\times1{,}06-1=0{,}1024$, soit 10,24 %, et non 10 %.

Compléments

• Une ville de 50 000 habitants qui diminue de 5 % puis augmente de 5 % compte finalement 49 875 habitants.

💡 Astuce mémo

Une hausse de 5 % et une baisse de 5 % ne se compensent pas

📖 7. Taux moyen sur plusieurs périodes

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si une valeur passe de V0 à VF en n périodes, le taux moyen tm vérifie $1+t_m=(1+t_{global})^{1/n}$, donc $t_m=(1+t_{global})^{1/n}-1$.

• Pour déterminer un taux annuel moyen, on calcule d’abord le taux global, puis on pose le coefficient global égal à la puissance n-ième du coefficient moyen, avant d’isoler le taux moyen.

• Une action passant de 3,90 euros à 13,61 euros en cinq ans a un taux d’augmentation annuel moyen de 20 %.

💡 Astuce mémo

Global → coefficient global → racine n-ième → taux moyen