Fiche de révision : Mathématiques fonctions et calcul

📋 Plan du Cours

1. Intervalles et fonctions
2. Symétries variations et réciproques
3. Dérivation et approximation affine
4. Polynômes et factorisation
5. Logarithme et exponentielle
6. Puissances réelles
7. Fonctions puissances réelles
8. Notions fondamentales de limite
9. Opérations et asymptotes
10. Étude globale des fonctions
11. Géométrie des fonctions de deux variables
12. Homogénéité et courbes de niveau
13. Dérivées partielles et gradient
14. Gradient et fonctions implicites
15. Définitions et propriétés de l’intégrale
16. Primitives et calcul intégral
17. Méthodes d’intégration
18. Intégrales généralisées

📖 1. Intervalles et fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Sous-ensemble tel que, pour tous a et b qui lui appartiennent, tout réel x vérifiant a≤x≤b lui appartient aussi.
• Fonction numérique : Procédé qui associe à tout réel x appartenant à E au plus un réel y=f(x).

★ À maîtriser

📌 Pour f(x)=A(x)/B(x), il faut A et B définies et B(x)≠0 ; pour f(x)=√A(x), il faut A(x)≥0 ; pour A(x)/√B(x), il faut B(x)>0 ; pour ln(A(x)), il faut A(x)>0.

Compléments

• Les notations sont R−=]−∞;0], R*−=]−∞;0[, R+=[0;+∞[ et R*+ =]0;+∞[.

📖 2. Symétries variations et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction impaire : Fonction définie sur un domaine centré en zéro telle que, pour tout x, f(−x)=−f(x), et dont la courbe est symétrique par rapport à l’origine.
• Composition : Si f(Df)⊂Dg, la composée de f suivie de g est g∘f, définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).
• Fonction réciproque : Une fonction f possède une réciproque sur son ensemble d’arrivée si chaque valeur possède un unique antécédent ; alors f⁻¹(f(x))=x et f(f⁻¹(y))=y.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à Oy ; impaire : symétrie par rapport à l’origine.

📖 3. Dérivation et approximation affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Une fonction f est dérivable en x0 si le taux [f(x)−f(x0)]/(x−x0) admet une limite finie lorsque x tend vers x0 ; cette limite est f′(x0).

★ À maîtriser

📐 Formule - La tangente à la courbe de f au point d’abscisse x0 a pour équation $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

📐 Formule - Pour deux fonctions dérivables f et g, la dérivée du produit est $(fg)'=f'g+fg'$ et celle du quotient est $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ lorsque g ne s’annule pas.

📐 Formule - La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'(f(x))$.

Compléments

📐 Formule - L’approximation affine au voisinage de x0 est $f(x_0+h)\approx f(x_0)+h f'(x_0)$, avec une précision croissante lorsque h se rapproche de zéro.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive → fonction croissante ; dérivée négative → fonction décroissante.

📖 4. Polynômes et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme : Une fonction polynôme est définie sur R par P(x)=a0+a1x+…+anx^n, où les ak sont ses coefficients et akx^k ses monômes.
• Racine d’un polynôme : Réel α tel que P(α)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de P par (x−α).

★ À maîtriser

📌 La division euclidienne de P1 par P0≠0 s’écrit P1=P0Q+R, avec R nul ou de degré strictement inférieur à celui de P0, et le couple (Q,R) est unique.

Compléments

• La méthode de Ruffini divise un polynôme par x−α en abaissant le premier coefficient, en multipliant par α, en additionnant dans la colonne suivante, puis en répétant jusqu’au reste.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne → racine → facteur → factorisation.

📖 5. Logarithme et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Unique fonction définie et dérivable sur R*+ dont la dérivée est 1/x et qui vérifie ln(1)=0.
• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est la réciproque de ln, définie sur R, et vérifie exp(x)>0, ln(exp x)=x et exp(ln x)=x pour x>0.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour x,y>0, $\ln(xy)=\ln x+\ln y$, $\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$ et $\ln(x^n)=n\ln x$.

• La fonction ln est strictement croissante sur R*+, avec lim x→0+ ln x=−∞ et lim x→+∞ ln x=+∞.

📐 Formule - La propriété fondamentale de l’exponentielle est $e^{x+y}=e^x e^y$ pour tous réels x et y.

💡 Astuce mémo

ln transforme les produits en sommes ; exp transforme les sommes en produits.

📖 6. Puissances réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle de base a : Pour a>0, la fonction exponentielle de base a est définie sur R par $a^x=e^{x\ln a}$.
• Fonction puissance : Pour r réel non nul, la fonction puissance d’exposant r est définie sur R*+ par $x^r=e^{r\ln x}$.

📝 Points essentiels

📌 La fonction x↦a^x est strictement croissante si a>1, constante si a=1 et strictement décroissante si 0<a<1.

📌 La fonction puissance x↦x^r est strictement croissante sur R*+ si r>0 et strictement décroissante si r<0.

💡 Astuce mémo

Exponentielle de base a : a>1 croît, tandis que 0<a<1 décroît.

📖 7. Fonctions puissances réelles

★ À maîtriser

📌 Pour x,y>0 et r,r' réels, les propriétés des puissances donnent $x^r x^{r'}=x^{r+r'}$, $(x^r)^{r'}=x^{rr'}$, $x^r y^r=(xy)^r$, $\left(\frac{x}{y}\right)^r=\frac{x^r}{y^r}$ et $x^{-r}=\frac{1}{x^r}$.

Compléments

• Pour résoudre $x^r=a$ avec x>0, on peut écrire $x=a^{1/r}$ lorsque r est non nul et que cette expression est définie.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : croissance ; exposant négatif : décroissance

📖 8. Notions fondamentales de limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en l’infini : Ses valeurs deviennent aussi grandes que l’on veut pour x suffisamment grand.
• Limite finie : Un réel ℓ lorsque ses valeurs peuvent être rendues aussi proches de ℓ que l’on veut pour x suffisamment grand.

★ À maîtriser

• Les fonctions $\sqrt{x}$, $mx+p$ avec m>0, $x^n$ avec n∈N^*, $\ln x$, $e^x$, $a^x$ avec a>1 et $x^\alpha$ avec α>0 tendent vers +∞ quand x tend vers +∞.

Compléments

📌 Une fonction peut avoir une limite en x₀ sans être définie en x₀, mais si elle est définie en x₀ et possède une limite, cette limite vaut nécessairement f(x₀).

💡 Astuce mémo

À l’infini : x s’éloigne ; en x₀ : x s’approche

📖 9. Opérations et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : La droite d’équation y=ℓ au voisinage de +∞ si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$.

📝 Points essentiels

📌 La limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient se calcule à partir des limites des fonctions lorsque les opérations sont déterminées ; les formes ∞−∞, 0×∞ et ∞/∞ sont indéterminées.

📌 La limite en l’infini d’un polynôme est celle de son monôme de plus haut degré, et celle d’une fonction rationnelle est celle du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

• Le théorème des gendarmes permet de conclure que si f(x)≤g(x)≤h(x) et si f et h ont la même limite ℓ, alors g a également pour limite ℓ.

💡 Astuce mémo

Limite infinie en x₀ → asymptote verticale

📖 10. Étude globale des fonctions

📝 Points essentiels

• 🔄 L’étude globale suit les étapes suivantes:
  1. Déterminer l’ensemble de définition.
  2. Calculer les limites aux bords du domaine.
  3. Rechercher les asymptotes.
  4. Calculer la dérivée et étudier son signe.
  5. Dresser le tableau des variations.
  6. Tracer la courbe.

📌 Pour une fonction rationnelle, une limite infinie en une valeur interdite x₀ implique que la droite x=x₀ est une asymptote verticale.

💡 Astuce mémo

Domaine → limites → asymptotes → dérivée → variations → courbe

📖 11. Géométrie des fonctions de deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de deux variables : Associe à chaque couple ordonné (x,y) de son domaine un unique réel f(x,y).
• Surface cartésienne : L’ensemble des points M(x,y,z) de R^3 dont les coordonnées vérifient la relation F(x,y,z)=0.
• Graphe d’une fonction : L’ensemble des points M(x,y,z) de R^3 tels que (x,y)∈D_f et z=f(x,y), ce qui en fait une surface représentative.

📝 Points essentiels

• La fonction de production de Cobb-Douglas s’écrit $f(K,L)=kK^\alpha L^\beta$, où k, α et β sont des réels positifs.

💡 Astuce mémo

Une surface z=f(x,y) flotte au-dessus du plan xOy

📖 12. Homogénéité et courbes de niveau

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction homogène : Vérifie, pour tout (x,y) de son domaine et tout t>0, que (tx,ty) appartient au domaine et $f(tx,ty)=t^k f(x,y)$.
• Courbe de niveau : L’ensemble des points (x,y) du domaine tels que f(x,y)=k.

📝 Points essentiels

📌 En production, une courbe de niveau est appelée isoquante, tandis qu’en consommation elle est appelée courbe d’indifférence.

💡 Astuce mémo

Production constante : isoquante ; utilité constante : indifférence

📖 13. Dérivées partielles et gradient

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : La dérivée partielle de f par rapport à x s’obtient en dérivant la fonction en considérant y constant, tandis que la dérivée partielle par rapport à y s’obtient en considérant x constant.
• Gradient : Le vecteur $\nabla f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix}$.
• Classe C1 : Dérivable sur l’ouvert et ses deux dérivées partielles d’ordre un y sont continues.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les dérivées partielles d’ordre un sont définies par $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$.

💡 Astuce mémo

Dériver selon x : y fixe ; dériver selon y : x fixe

📖 14. Gradient et fonctions implicites

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Le gradient de f au point M0(x0,y0) est le vecteur $\operatorname{grad} f(M_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix}$ lorsque f est de classe C1.

★ À maîtriser

📌 Si f est C1 sur un ouvert, si f(x0,y0)=0 et si $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ne0$, alors l’équation f(x,y)=0 définit localement y=φ(x) autour de (x0,y0).

📐 Formule - La dérivée de la fonction implicite vérifie $\phi'(x)=\frac{dy}{dx}(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)}$.

Compléments

• Pour la surface z=f(x,y), les vecteurs tangents aux courbes obtenues en fixant respectivement y=y0 et x=x0 sont $\begin{pmatrix}1\\0\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0\\1\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix}$.

• Pour la courbe $2xy+y-4=0$, on peut définir localement y comme fonction de x lorsque $x\ne-\frac12$, et sa dérivée vaut $y'(x)=-\frac{2y(x)}{2x+1}$.

💡 Astuce mémo

Tangente verticale : y(x) impossible localement ; tangente horizontale : x(y) impossible localement

📖 15. Définitions et propriétés de l’intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale : L’intégrale d’une fonction positive f entre a et b est la mesure de l’aire limitée par l’axe des abscisses, la courbe de f et les droites x=a et x=b, lorsque cette aire est finie.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour toute fonction intégrable et tout c entre a et b, la relation de Chasles donne $\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt$.

📐 Formule - Pour des réels α et β, la linéarité donne $\int_a^b(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\alpha\int_a^b f(t)\,dt+\beta\int_a^b g(t)\,dt$.

Compléments

📌 La variable d’intégration est muette, donc $\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(u)\,du$ lorsque les lettres ne sont pas déjà utilisées.

📌 Si f≤g sur [a,b], alors $\int_a^b f(t)\,dt\le\int_a^b g(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

Fonction positive : aire géométrique ; fonction de signe quelconque : aire algébrique

📖 16. Primitives et calcul intégral

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que, pour tout x∈I, $F'(x)=f(x)$.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

📌 Si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sont les fonctions G définies par G(x)=F(x)+c avec c réel.

📐 Formule - Si F est une primitive de f sur I, alors $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)$.

Compléments

📌 Pour f continue sur I et x0∈I, il existe une unique primitive F telle que F(x0)=y0.

📐 Formule - Pour f continue, la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de f.

💡 Astuce mémo

Primitive dérivée égale à f → intégrale calculée par différence des valeurs aux bornes

📖 17. Méthodes d’intégration

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour u dérivable et non nulle, une primitive de $\frac{u'}{u^n}$ avec n≥2 est $-\frac{1}{n-1}\frac{1}{u^{n-1}}$, et une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln|u|$.

📐 Formule - Pour u et v de classe C1 sur [a,b], l’intégration par parties donne $\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx$.

Compléments

📐 Formule - Si u>0, des primitives de $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ et de $u'\sqrt{u}$ sont respectivement $2\sqrt{u}$ et $\frac23u^{3/2}$.

• L’intégration par parties permet de calculer $\int_0^1 xe^x\,dx=1$.

💡 Astuce mémo

Reconnaître une primitive → choisir u et v → appliquer l’intégration par parties

📖 18. Intégrales généralisées

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale impropre : Si f devient infinie en b et si la limite existe finie, l’intégrale impropre sur [a,b] est définie par $\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Sur un intervalle non borné [a,+∞[, l’intégrale impropre est définie par $\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$ lorsque cette limite est finie.

📌 Pour un réel α et une borne a>0, $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ converge si et seulement si α>1 et diverge si α≤1.

💡 Astuce mémo

Limite finie : intégrale convergente ; limite infinie ou inexistante : intégrale divergente

📊 Tableaux de synthèse

Types d’asymptotes