Fiche de révision : Calcul des volumes et dimensions

📋 Plan du Cours

1. Notion de volume et unités
2. Formules des solides usuels
3. Applications directes des formules
4. Calculer une dimension inconnue
5. Volumes et niveaux dans des réservoirs

📖 1. Notion de volume et unités

🔑 Notions clés & Définitions

• Volume : Place qu’un objet occupe dans l’espace.

📝 Points essentiels

• Un volume s’exprime dans une unité cubique, comme le mètre cube, le centimètre cube ou le décimètre cube.

📖 2. Formules des solides usuels

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le volume d’un cube de côté égal à l’arête se calcule avec $V=a\times a\times a=a^3$.

📐 Formule - Le volume d’un parallélépipède rectangle, ou pavé, se calcule avec $V=L\times l\times h$.

📐 Formule - Le volume d’un cylindre se calcule avec $V=\pi\times R^2\times h$, où R est le rayon et h la hauteur.

📐 Formule - Le volume d’une boule ou d’une sphère se calcule avec $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

💡 Astuce mémo

Le cube répète l’arête, le pavé multiplie trois dimensions, le cylindre et la boule utilisent le rayon.

📖 3. Applications directes des formules

★ À maîtriser

• Une salle de 8 m de longueur, 6 m de largeur et 3 m de hauteur a un volume de $8\times6\times3=144\ \text{m}^3$.

• Une boîte cylindrique de rayon 5 cm et de hauteur 15 cm a un volume de $375\pi\ \text{cm}^3$, soit environ 1178,1 cm³ au dixième près.

• Un ballon de diamètre 24 cm, donc de rayon 12 cm, a un volume de $2304\pi\ \text{cm}^3$, soit environ 7238,2 cm³ au dixième près.

Compléments

• Un cube d’arête 3 a un volume de $3\times3\times3=27$ unités cubiques.

• Un cube d’arête 2 dm a un volume de $2^3=8\ \text{dm}^3$.

📖 4. Calculer une dimension inconnue

★ À maîtriser

• Pour déterminer une dimension inconnue à partir d’un volume, on écrit la formule du volume, on remplace les données connues, puis on isole la dimension recherchée.

• Une couche de terreau de volume 5,1 m³ étalée sur 7 m par 5,2 m a une épaisseur de $5{,}1\div(7\times5{,}2)=0{,}14$ m, soit 14 cm.

• Un silo cylindrique de diamètre 2 m contenant 12 m³ de blé possède une hauteur de blé d’environ 3,8 m, car son rayon vaut 1 m.

Compléments

• Avec 300 m³ de remblai étalé sur une route de 4 m de large et de 0,15 m d’épaisseur, on peut couvrir une longueur de 500 m.

💡 Astuce mémo

Volume connu → isoler la dimension recherchée.

📖 5. Volumes et niveaux dans des réservoirs

★ À maîtriser

• Pour calculer la hauteur restante dans une cuve après une vente, on soustrait le volume vendu au volume initial, puis on utilise le volume restant pour isoler la hauteur.

• Un bassin cylindrique de diamètre 5,6 m et de profondeur 1,4 m possède un volume de $10{,}976\pi\ \text{m}^3$, soit environ 34,48 m³ au centimètre près.

• Dans ce bassin, un volume d’eau de 23,4 m³ atteint une hauteur d’environ 0,95 m.

• Après la vente de 9,75 m³, la hauteur d’essence restante dans cette cuve est de 0,8 m.

Compléments

• Une cuve parallélépipédique de 7,8 m sur 2,5 m contenant initialement 25,35 m³ d’essence ne contient plus que 15,6 m³ après la vente de 9,75 m³.

💡 Astuce mémo

Calculer le volume → retirer ou ajouter le contenu → retrouver la hauteur.

📊 Tableaux de synthèse

Formules des solides usuels