QCM : Mathématiques fonctions et calcul (56 questions)

Question 1

1. Quelle propriété caractérise un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

Avec deux nombres de l’ensemble, leur moyenne appartient aussi à l’ensemble

Tout nombre réel possède un opposé appartenant à l’ensemble

Avec deux nombres de l’ensemble, tous les réels compris entre eux appartiennent aussi à l’ensemble

L’ensemble contient au moins un nombre positif et un nombre négatif

Explication

Un intervalle contient tout réel compris entre deux de ses éléments. La présence de la moyenne ou de nombres de signes différents ne suffit pas à caractériser un intervalle.

Answer

Avec deux nombres de l’ensemble, tous les réels compris entre eux appartiennent aussi à l’ensemble

Question 2

2. Que signifie l’affirmation « une fonction numérique est définie sur $E$ » ?

À chaque réel de

E

, elle associe exactement deux réels

Elle associe nécessairement des valeurs positives aux éléments de

E

À chaque réel de

E

, elle associe au plus un réel

Elle associe un réel de

E

à chaque nombre de son image

Explication

Une fonction numérique associe à chaque élément de son domaine au plus une valeur réelle. Elle n’est pas définie par le nombre de valeurs positives ni par une association réciproque avec son image.

Answer

À chaque réel de $$E$$, elle associe au plus un réel

Question 3

3. Pour quelle condition l’expression $\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$ est-elle définie ?

Il faut

x\geq -1

et

x\neq 2

Il faut

x>-1

et

x\geq 2

Il faut

x\geq -1

et

x>2

Il faut

x>-1

et

x\neq 2

Explication

La racine carrée impose $x+1\geq 0$ , tandis que le dénominateur impose $x-2\neq 0$ . La borne de la racine est donc admise, contrairement à la valeur qui annule le dénominateur.

Answer

Il faut $$x\geq -1$$ et $$x\neq 2$$

Question 4

4. Une fonction définie sur un domaine centré en zéro vérifie $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$ . Quelle propriété possède-t-elle ?

Elle est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine

Elle est périodique et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses

Elle est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

Elle est croissante et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine

Explication

La relation $f(-x)=-f(x)$ définit une fonction impaire, dont la courbe admet l’origine comme centre de symétrie. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées correspond plutôt à une fonction paire.

Answer

Elle est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine

Question 5

5. Si $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^2$ , quelle expression représente la composée de $f$ suivie de $g$ ?

(f\circ g)(x)=(x+1)^2

(g\circ f)(x)=(x+1)^2

(g\circ f)(x)=x^2+1

(f\circ g)(x)=x^2+1

Explication

Dans $g\circ f$ , on applique d’abord $f$ , puis $g$ , donc on obtient $g(f(x))=(x+1)^2$ . L’expression $x^2+1$ correspond à l’ordre inverse, $f\circ g$ .

Answer

$$(g\circ f)(x)=(x+1)^2$$

Question 6

6. Quelle condition garantit qu’une fonction possède une réciproque sur son ensemble d’arrivée ?

Chaque valeur de l’ensemble d’arrivée possède un unique antécédent

La fonction prend des valeurs positives sur son domaine

Chaque valeur de l’ensemble de départ possède au moins deux images

Le domaine de la fonction est nécessairement centré en zéro

Explication

Une réciproque existe lorsque chaque valeur considérée dans l’ensemble d’arrivée possède un antécédent unique. La positivité des valeurs et la symétrie du domaine ne jouent pas ce rôle.

Answer

Chaque valeur de l’ensemble d’arrivée possède un unique antécédent

Question 7

7. Que représente le nombre dérivé $f'(x_0)$ lorsque la fonction est dérivable en $x_0$ ?

La différence entre les images de deux points quelconques du domaine

La valeur de la fonction obtenue en remplaçant

x

par

x_0

Le taux d’accroissement calculé entre deux points distincts fixes

La limite du taux d’accroissement lorsque

x

tend vers

x_0

Explication

Le nombre dérivé est la limite de $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ . Un taux d’accroissement à deux points distincts n’est qu’une valeur intermédiaire, pas cette limite.

Answer

La limite du taux d’accroissement lorsque $$x$$ tend vers $$x_0$$

Question 8

8. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ ?

y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

y=f'(x)(x-x_0)+f(x_0)

y=f(x_0)(x-x_0)+f'(x_0)

y=f(x)+f'(x_0)x_0

Explication

La tangente utilise la pente $f'(x_0)$ et passe par le point $(x_0,f(x_0))$ , ce qui donne cette équation. Employer $f'(x)$ ferait varier la pente avec le point considéré au lieu de fixer la tangente en $x_0$ .

Answer

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

Question 9

9. Si $f$ et $g$ sont dérivables et si $g$ ne s’annule pas, quelle formule donne la dérivée de leur quotient ?

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g}

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{fg'-f'g}{g^2}

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2}

Explication

La dérivée d’un quotient est obtenue en soustrayant le produit de la fonction par la dérivée du dénominateur, puis en divisant par le carré du dénominateur. Le signe, le dénominateur au carré et l’ordre des produits sont donc essentiels.

Answer

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$

Question 10

10. Pour une petite valeur de $h$ , quelle expression fournit l’approximation affine de $f(x_0+h)$ ?

f(x_0+h)\approx f(x_0)+h f'(x_0)

f(x_0+h)\approx f(x_0-h)+h f'(x_0)

f(x_0+h)\approx f(x_0)+h^2 f'(x_0)

f(x_0+h)\approx f'(x_0)+h f(x_0)

Explication

Au voisinage de $x_0$ , la variation de la fonction est approximativement $h f'(x_0)$ , ajoutée à $f(x_0)$ . Cette approximation devient plus précise lorsque $h$ se rapproche de zéro.

Answer

$$f(x_0+h)\approx f(x_0)+h f'(x_0)$$

Question 11

11. Pour le polynôme $P(x)=4x^5-2x^3+x^2$ , quel couple indique correctement son degré et sa valuation ?

Degré 5 et valuation 0

Degré 3 et valuation 2

Degré 5 et valuation 2

Degré 2 et valuation 5

Explication

Le degré correspond au plus grand exposant dont le coefficient est non nul, tandis que la valuation correspond au plus petit. Ici, les termes extrêmes sont $4x^5$ et $x^2$ , donc le couple recherché est 5 et 2.

Answer

Degré 5 et valuation 2

Question 12

12. Lors de la division euclidienne de $P_1$ par un polynôme non nul $P_0$ , quelle propriété caractérise le reste et le couple obtenu ?

Le reste a un degré inférieur à celui du diviseur et le couple est unique

Le reste a le même degré que le diviseur et le quotient est choisi librement

Le reste est toujours constant et le quotient dépend de l’ordre des termes

Le reste est nul dans chaque division et le quotient est toujours de même degré

Explication

La division euclidienne s’écrit $P_1=P_0Q+R$ , avec un reste nul ou de degré strictement inférieur à celui de $P_0$ , et le couple $(Q,R)$ est unique. Le reste n’est donc pas forcément constant ni nul.

Answer

Le reste a un degré inférieur à celui du diviseur et le couple est unique

Question 13

13. Quelle condition permet d’affirmer qu’un réel $\alpha$ est une racine du polynôme $P$ ?

On a

P(0)=\alpha

, ce qui équivaut à la divisibilité par

x+\alpha

On a

P'(\alpha)=0

, ce qui équivaut à la divisibilité par

x-\alpha

On a

P(\alpha)=1

, ce qui équivaut à la divisibilité par

x+\alpha

On a

P(\alpha)=0

, ce qui équivaut à la divisibilité par

x-\alpha

Explication

Un réel $\alpha$ est une racine lorsque la valeur du polynôme en ce point est nulle. Cette condition est équivalente à la divisibilité de $P$ par $x-\alpha$ , et non à une condition portant nécessairement sur la dérivée.

Answer

On a $$P(\alpha)=0$$, ce qui équivaut à la divisibilité par $$x-\alpha$$

Question 14

14. Sur quel ensemble le logarithme népérien est-il défini et dérivable ?

Sur

\mathbb{R}_+^*

, avec une dérivée égale à

1/x

et

\ln(1)=0

Sur

\mathbb{R}^*

, avec une dérivée égale à

-1/x

et

\ln(1)=0

Sur

\mathbb{R}

, avec une dérivée égale à

x

et

\ln(0)=1

Sur

\mathbb{R}_-^*

, avec une dérivée égale à

1/x

et

\ln(-1)=0

Explication

Le logarithme népérien est défini sur les réels strictement positifs, sa dérivée vaut $1/x$ et sa valeur en 1 est nulle. Les valeurs nulles et négatives ne font pas partie de son domaine réel.

Answer

Sur $$\mathbb{R}_+^*$$, avec une dérivée égale à $$1/x$$ et $$\ln(1)=0$$

Question 15

15. Pour $x>0$ et $y>0$ , comment se transforme $\ln\left(\frac{x}{y}\right)$ ?

\ln x+\ln y

\ln(x-y)

\frac{\ln x}{\ln y}

\ln x-\ln y

Explication

Le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes du numérateur et du dénominateur. La somme correspond au logarithme d’un produit, et non à celui d’un quotient.

Answer

$$\ln x-\ln y$$

Question 16

16. Quel comportement décrit correctement la fonction $\ln$ sur $\mathbb{R}_+^*$ ?

Elle est strictement croissante, tend vers

-\infty

quand

x\to0^+

et vers

+\infty

quand

x\to+\infty

Elle est strictement décroissante, tend vers

+\infty

quand

x\to0^+

et vers

-\infty

quand

x\to+\infty

Elle est constante et tend vers 0 aux deux extrémités de son domaine

Elle est croissante jusqu’à 1 puis décroissante lorsque

x

devient grand

Explication

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur les réels strictement positifs. Ses limites sont $-\infty$ près de 0 par valeurs positives et $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

Answer

Elle est strictement croissante, tend vers $$-\infty$$ quand $$x\to0^+$$ et vers $$+\infty$$ quand $$x\to+\infty$$

Question 17

17. Quelle relation exprime le mieux que l’exponentielle est la fonction réciproque du logarithme népérien ?

\ln(\exp x)=\exp x

pour tout réel

x

et

\exp(\ln x)=\ln x

pour

x>0

\ln(\exp x)=x

pour tout réel

x

et

\exp(\ln x)=x

pour

x>0

\ln(\exp x)=x^2

pour tout réel

x

et

\exp(\ln x)=\sqrt{x}

pour

x>0

\ln(\exp x)=0

pour tout réel

x

et

\exp(\ln x)=1

pour

x>0

Explication

Les deux compositions réciproques redonnent leur argument sur les domaines appropriés. En outre, l’exponentielle est définie pour tout réel et prend des valeurs strictement positives.

Answer

$$\ln(\exp x)=x$$ pour tout réel $$x$$ et $$\exp(\ln x)=x$$ pour $$x>0$$

Question 18

18. Dans la définition $a^x=e^{x\ln a}$ d’une puissance réelle de base $a$ , quelles sont les conditions sur $a$ et $x$ ?

La base vérifie

a\geq0

et l’exposant

x

doit être entier

La base vérifie

a<0

et l’exposant

x

peut être réel

La base vérifie

a>0

et l’exposant

x

peut être réel

La base vérifie

a>1

et l’exposant

x

doit être positif

Explication

La définition par $e^{x\ln a}$ exige que $\ln a$ soit défini, donc que $a>0$ . En revanche, l’exposant peut prendre toute valeur réelle, y compris des valeurs négatives ou non entières.

Answer

La base vérifie $$a>0$$ et l’exposant $$x$$ peut être réel

Question 19

19. Comment varie la fonction $x\mapsto a^x$ lorsque $0<a<1$ ?

Elle est constante et positive

Elle change de sens de variation en

x=0

Elle est strictement croissante

Elle est strictement décroissante

Explication

Lorsque la base appartient à l’intervalle $]0,1[$ , augmenter l’exposant diminue la valeur de la puissance, ce qui rend la fonction strictement décroissante. La croissance stricte correspond aux bases supérieures à 1.

Answer

Elle est strictement décroissante

Question 20

20. Pour un réel non nul $r$ , sur quel domaine la puissance réelle $x^r=e^{r\ln x}$ est-elle définie ?

Sur

[0,+\infty[

, car la valeur

x=0

est admise par la définition

Sur

\mathbb{R}_+^*

, car

\ln x

exige

x>0

Sur

\mathbb{R}^*

, car les valeurs négatives ont un logarithme réel

Sur

\mathbb{R}

, car l’exponentielle accepte toute valeur de

x

Explication

La formule utilise $\ln x$ , qui n’est défini dans le cadre réel que pour $x>0$ . Il ne faut pas confondre cette puissance réelle avec certaines puissances entières, qui peuvent être définies pour des bases négatives.

Answer

Sur $$\mathbb{R}_+^*$$, car $$\ln x$$ exige $$x>0$$

Question 21

21. Sur $\mathbb{R}_+^*$ , quel est le sens de variation de $x\mapsto x^r$ lorsque $r<0$ ?

La fonction est constante et égale à 1

La fonction est strictement décroissante

La fonction est croissante jusqu’à 1 puis décroissante

La fonction est strictement croissante

Explication

Pour un exposant réel négatif, augmenter $x$ fait diminuer $x^r$ sur les réels strictement positifs. La puissance est strictement croissante lorsque l’exposant est positif.

Answer

La fonction est strictement décroissante

Question 22

22. Pour des nombres positifs $x$ et $y$ , quelle égalité applique correctement les propriétés des puissances réelles ?

x^r y^r=x^{ry}

x^r y^r=(xy)^r

x^r y^r=x^{r+y}

x^r y^r=(x+y)^r

Explication

Lorsque le même exposant réel porte sur deux facteurs positifs, leur produit peut être regroupé sous cet exposant. Les autres expressions confondent les règles relatives au produit, à la somme ou à la multiplication des exposants.

Answer

$$x^r y^r=(xy)^r$$

Question 23

23. Pour résoudre $x^r=a$ avec $r\neq 0$ et une expression définie, quelle expression de $x$ convient ?

x=a^r

x=\frac{a}{r}

x=r^{1/a}

x=a^{1/r}

Explication

Élever les deux membres à la puissance $1/r$ donne $x=a^{1/r}$ , sous les conditions indiquées. Les autres transformations ne sont pas l’opération inverse générale de l’élévation à la puissance $r$ .

Answer

$$x=a^{1/r}$$

Question 24

24. Que signifie $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ?

Les valeurs de

f(x)

restent bornées lorsque

x

est suffisamment grand.

Les valeurs de

f(x)

deviennent négatives lorsque

x

est suffisamment grand.

Les valeurs de

f(x)

deviennent aussi grandes que l’on veut lorsque

x

est suffisamment grand.

Les valeurs de

f(x)

se rapprochent d’un nombre fixe lorsque

x

est suffisamment grand.

Explication

Une limite égale à $+\infty$ signifie que les valeurs de la fonction dépassent toute grandeur choisie pour des valeurs suffisamment grandes de $x$ . Se rapprocher d’un nombre fixe correspond à une limite réelle finie, tandis que les deux autres descriptions ne définissent pas cette limite.

Answer

Les valeurs de $$f(x)$$ deviennent aussi grandes que l’on veut lorsque $$x$$ est suffisamment grand.

Question 25

25. Quel comportement possède $x^\alpha$ lorsque $x\to+\infty$ et que $\alpha>0$ ?

La fonction tend vers

+\infty

.

La fonction n’a pas de limite.

La fonction tend vers

1

.

La fonction tend vers

0

.

Explication

Une puissance $x^\alpha$ d’exposant strictement positif croît sans borne lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . La confusion fréquente consiste à attribuer à tort la limite $0$ , qui correspond au cas d’un exposant négatif.

Answer

La fonction tend vers $$+\infty$$.

Question 26

26. Comment caractérise-t-on une fonction dont la limite en $+\infty$ est le réel $\ell$ ?

Ses valeurs deviennent égales à

\ell

dès une certaine valeur de

x

.

Ses valeurs dépassent toute valeur positive pour

x

suffisamment grand.

Ses valeurs peuvent être rendues aussi proches de

\ell

que l’on veut pour

x

suffisamment grand.

Ses valeurs s’éloignent de

\ell

lorsque

x

devient grand.

Explication

Une limite finie signifie que les valeurs de la fonction se rapprochent autant que souhaité du nombre réel $\ell$ lorsque $x$ devient grand. Cette notion se distingue d’une limite infinie, qui décrit une croissance sans borne plutôt qu’un rapprochement vers un nombre.

Answer

Ses valeurs peuvent être rendues aussi proches de $$\ell$$ que l’on veut pour $$x$$ suffisamment grand.

Question 27

27. Laquelle de ces formes de limite est indéterminée et ne permet donc pas de conclure directement ?

\infty-\infty

0\times 5

\frac{8}{2}

2+3

Explication

La forme $\infty-\infty$ est indéterminée : les deux termes peuvent se compenser de différentes manières, ce qui impose une analyse supplémentaire. Les autres expressions correspondent à des opérations numériques déterminées.

Answer

$$\infty-\infty$$

Question 28

28. Quel élément détermine le comportement à l’infini d’un polynôme ?

Le nombre de termes du polynôme.

Le coefficient de son terme de degré nul.

Son terme constant.

Son monôme de plus haut degré.

Explication

À l’infini, le monôme de plus haut degré domine les autres termes et détermine la limite du polynôme. Le terme constant, même s’il est facile à identifier, devient négligeable devant les puissances de degré supérieur.

Answer

Son monôme de plus haut degré.

Question 29

29. Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et si $f$ et $h$ tendent vers la même limite $\ell$ , quelle conclusion donne le théorème des gendarmes ?

g(x)

tend vers

+\infty

.

g(x)

n’a pas de limite déterminable.

g(x)

tend vers

\ell

.

g(x)

tend vers la limite de

f(x)-h(x)

.

Explication

La fonction $g$ est encadrée entre deux fonctions qui se rapprochent toutes deux de $\ell$ , ce qui force son propre rapprochement vers $\ell$ . L’encadrement ne conduit donc pas à une divergence ni à une absence de conclusion lorsque les deux bornes ont la même limite.

Answer

$$g(x)$$ tend vers $$\ell$$.

Question 30

30. Quelle condition caractérise la droite $y=\ell$ comme asymptote horizontale à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$ ?

f(\ell)=0

\lim_{x\to\ell}f(x)=+\infty

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

Explication

La droite horizontale $y=\ell$ est une asymptote au voisinage de $+\infty$ lorsque les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de $\ell$ quand $x$ devient grand. Une limite infinie ou une limite prise en $\ell$ décrit un autre comportement.

Answer

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$$

Question 31

31. Quel ordre décrit correctement les principales étapes d’une étude globale de fonction ?

Domaine, dérivée et signe, courbe, limites aux bords, asymptotes, variations

Dérivée et signe, domaine, asymptotes, courbe, limites aux bords, variations

Domaine, limites aux bords, asymptotes, dérivée et signe, variations, courbe

Limites aux bords, domaine, variations, asymptotes, dérivée et signe, courbe

Explication

L’étude commence par le domaine, puis examine les limites et les asymptotes avant d’étudier la dérivée, les variations et le tracé. Le tableau des variations ne peut pas être établi avant l’étude du signe de la dérivée.

Answer

Domaine, limites aux bords, asymptotes, dérivée et signe, variations, courbe

Question 32

32. Pour une fonction rationnelle définie près de $x_0$ , que conclut-on si $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ?

La droite

x=x_0

est une asymptote verticale

La droite

x=\infty

est une asymptote horizontale

La droite

y=\infty

est une asymptote verticale

La droite

y=x_0

est une asymptote horizontale

Explication

Une limite infinie lorsque $x$ tend vers la valeur interdite $x_0$ indique que la courbe se rapproche de la droite verticale $x=x_0$ . Une asymptote horizontale concerne plutôt le comportement de la fonction lorsque $x$ tend vers l’infini.

Answer

La droite $$x=x_0$$ est une asymptote verticale

Question 33

33. Quelle est l’entrée d’une fonction de deux variables $f:D_f\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ ?

Un couple ordonné

(x,y)

appartenant à son domaine

Une valeur

z

appartenant à l’ensemble image

Un réel

x

appartenant à un intervalle de définition

Un point

M(x,y,z)

appartenant à l’espace

Explication

Une fonction de deux variables prend comme entrée un couple ordonné $(x,y)$ du domaine et lui associe un unique réel. Le point $M(x,y,z)$ appartient à l’espace et décrit plutôt un point de la représentation géométrique.

Answer

Un couple ordonné $$(x,y)$$ appartenant à son domaine

Question 34

34. Que représente géométriquement une équation $F(x,y,z)=0$ dans $\mathbb{R}^3$ ?

L’ensemble des couples dont les coordonnées vérifient cette équation

L’ensemble des valeurs de

z

obtenues à partir de

x

et

y

L’ensemble des points dont les coordonnées vérifient cette équation

L’ensemble des points du plan

xOy

où la fonction vaut zéro

Explication

Une surface définie par $F(x,y,z)=0$ regroupe les points $M(x,y,z)$ de l’espace dont les coordonnées satisfont la relation. Un ensemble de couples appartient au plan des variables, et non directement à la surface de $\mathbb{R}^3$ .

Answer

L’ensemble des points dont les coordonnées vérifient cette équation

Question 35

35. Lequel décrit correctement le graphe d’une fonction $f$ de deux variables ?

Les valeurs

z

obtenues lorsque

(x,y)

parcourt le domaine

Les couples

(x,y)

du domaine pour lesquels

f(x,y)=0

Les points

M(x,y,z)

tels que

(x,y)\in D_f

et

z=f(x,y)

Les points

M(x,y,z)

tels que

z

soit indépendant de

(x,y)

Explication

Le graphe associe à chaque couple du domaine le point de l’espace dont la cote vaut $f(x,y)$ , ce qui forme une surface représentative. L’ensemble des valeurs $z$ constitue l’image, qui est un sous-ensemble de l’axe des cotes.

Answer

Les points $$M(x,y,z)$$ tels que $$(x,y)\in D_f$$ et $$z=f(x,y)$$

Question 36

36. Quelle relation caractérise une fonction homogène de degré $k$ ?

Pour tout

(x,y)

,

f(tx,ty)=t+k+f(x,y)

Pour tout

k>0

,

f(kx,ky)=t^k f(x,y)

Pour tout

t>0

,

f(tx,ty)=k^t f(x,y)

Pour tout

t>0

,

f(tx,ty)=t^k f(x,y)

Explication

L’homogénéité de degré $k$ signifie que la multiplication des variables par $t$ multiplie la valeur de la fonction par $t^k$ . Le nombre $k$ est le degré, tandis que $t$ est le facteur de changement d’échelle.

Answer

Pour tout $$t>0$$, $$f(tx,ty)=t^k f(x,y)$$

Question 37

37. Comment définit-on la courbe de niveau de valeur $k$ d’une fonction $f$ ?

L’ensemble des points de la surface situés à distance

k

de l’origine

L’ensemble des points

(x,y)

du domaine tels que

f(x,y)=k

L’ensemble des points

(x,y,k)

de la surface tels que

f(x,y)=0

L’ensemble des valeurs

z

obtenues lorsque

f(x,y)=k

Explication

La courbe de niveau $k$ se trouve dans le plan des variables et rassemble les couples vérifiant $f(x,y)=k$ . Sa section correspondante est une courbe située sur la surface représentative, ce qui constitue une notion géométrique différente.

Answer

L’ensemble des points $$(x,y)$$ du domaine tels que $$f(x,y)=k$$

Question 38

38. Comment nomme-t-on une courbe de niveau selon le contexte économique ?

Une contrainte budgétaire en production et une frontière de production en consommation

Une courbe d’indifférence en production et une isoquante en consommation

Une isoquante en production et une courbe d’indifférence en consommation

Une frontière de production en production et une contrainte budgétaire en consommation

Explication

En théorie de la production, une courbe de niveau est appelée isoquante, tandis qu’en théorie de la consommation elle est appelée courbe d’indifférence. Les contraintes budgétaires décrivent une limitation des choix et ne sont pas le nom général de ces courbes de niveau.

Answer

Une isoquante en production et une courbe d’indifférence en consommation

Question 39

39. Lorsqu’on calcule la dérivée partielle de $f(x,y)$ par rapport à $x$ , quelle variable est maintenue constante ?

La variable

x

Aucune variable

Les deux variables

La variable

y

Explication

La dérivée partielle par rapport à $x$ mesure la variation selon $x$ en considérant $y$ comme constant. Pour une dérivée par rapport à $y$ , c’est au contraire $x$ qui resterait constant.

Answer

La variable $$y$$

Question 40

40. Quelle expression définit la dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ au point $(x,y)$ ?

\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}

\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y)}{h}

\lim_{h\to0}\frac{f(x,y)-f(x,y+h)}{h}

\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}

Explication

La dérivée partielle selon $y$ est obtenue en faisant varier $y$ de $h$ tout en gardant $x$ fixe. L’expression avec $x+h$ correspond à la dérivée partielle selon $x$ .

Answer

$$\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$$

Question 41

41. Comment s’écrit le gradient de $f$ au point $(x_0,y_0)$ ?

\nabla f(x_0,y_0)=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)

\nabla f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\end{pmatrix}

\nabla f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix}

\nabla f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}f(x_0,y_0)\x_0+y_0\end{pmatrix}

Explication

Le gradient rassemble les deux dérivées partielles d’ordre un dans un vecteur, selon les composantes $x$ puis $y$ . Une dérivée seconde ou la valeur de la fonction ne constitue pas le gradient.

Answer

$$\nabla f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix}$$

Question 42

42. Quelle information contient le gradient d’une fonction $C^1$ de deux variables en un point donné ?

Ses deux dérivées partielles d’ordre un en ce point

La valeur de la fonction et celle de sa dérivée seconde

Ses deux dérivées partielles d’ordre deux en ce point

Les coefficients de sa matrice hessienne complète

Explication

Pour une fonction $C^1$ , le gradient est le vecteur formé par les dérivées partielles selon $x$ et selon $y$ . Les dérivées secondes appartiennent plutôt à la matrice hessienne.

Answer

Ses deux dérivées partielles d’ordre un en ce point

Question 43

43. Pour que l’équation $f(x,y)=0$ définisse localement $y=\varphi(x)$ autour de $(x_0,y_0)$ , quelle condition différentielle doit être satisfaite en plus de $f(x_0,y_0)=0$ ?

\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ne0

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0

\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\ne0

Explication

La condition $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ne0$ permet de résoudre localement l’équation par rapport à $y$ . L’annulation de cette dérivée ne fournit pas la condition requise pour cette représentation.

Answer

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ne0$$

Question 44

44. Si $f(x,\varphi(x))=0$ et si $\frac{\partial f}{\partial y}\ne0$ , quelle formule donne la dérivée de la fonction implicite ?

\varphi'(x)=-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)

\varphi'(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)

\varphi'(x)=\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)}{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}

\varphi'(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)}

Explication

La dérivation implicite de $f(x,\varphi(x))=0$ conduit à $\varphi'(x)=-f_x/f_y$ , lorsque $f_y$ est non nul. Inverser le quotient ou remplacer la division par une multiplication ne respecte pas cette relation.

Answer

$$\varphi'(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)}$$

Question 45

45. Que représente l’intégrale d’une fonction positive $f$ entre $a$ et $b$ lorsque l’aire considérée est finie ?

La longueur de la courbe entre les abscisses

a

et

b

La différence entre les valeurs de la fonction aux bornes

a

et

b

L’aire limitée par l’axe des abscisses, la courbe et les droites verticales d’abscisses

a

et

b

La pente moyenne de la courbe entre les abscisses

a

et

b

Explication

Pour une fonction positive, l’intégrale correspond à l’aire située sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses entre les deux bornes. Elle ne mesure ni la longueur de la courbe ni une pente moyenne.

Answer

L’aire limitée par l’axe des abscisses, la courbe et les droites verticales d’abscisses $$a$$ et $$b$$

Question 46

46. Si $c$ est compris entre $a$ et $b$ , quelle égalité exprime la relation de Chasles ?

\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt

\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b f(c)\,dc

\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt-\int_c^b f(t)\,dt

\int_a^b f(t)\,dt=\int_c^a f(t)\,dt+\int_b^c f(t)\,dt

Explication

La relation de Chasles décompose l’intégrale sur un intervalle en additionnant les intégrales sur deux intervalles adjacents. Elle ne consiste pas à inverser les bornes, opération qui modifierait le signe.

Answer

$$\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt$$

Question 47

47. Quelle propriété permet de calculer l’intégrale de $\alpha f(t)+\beta g(t)$ sur $[a,b]$ ?

\int_a^b(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\int_a^b f(t)\,dt+\int_a^b g(t)\,dt

\int_a^b(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\alpha\beta\int_a^b f(t)g(t)\,dt

\int_a^b(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\alpha\int_a^b f(t)\,dt+\beta\int_a^b g(t)\,dt

\int_a^b(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\alpha\int_a^b f(t)g(t)\,dt+\beta

Explication

La linéarité permet de sortir chaque coefficient constant et de séparer la somme en deux intégrales. Cette règle ne transforme pas une somme pondérée en intégrale du produit des fonctions.

Answer

$$\int_a^b(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\alpha\int_a^b f(t)\,dt+\beta\int_a^b g(t)\,dt$$

Question 48

48. Quelle condition caractérise une primitive $F$ d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ ?

Elle est dérivable sur

I

, avec

F'(x)=f(x)+c

pour un réel

c

.

Elle est continue sur

I

, avec

F(x)=f'(x)

pour tout

x\in I

.

Elle est définie sur

I

, avec

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt

pour tout

x\in I

.

Elle est définie et dérivable sur

I

, avec

F'(x)=f(x)

pour tout

x\in I

.

Explication

Une primitive doit être définie et dérivable sur l’intervalle, et sa dérivée doit être égale à la fonction considérée. L’intégrale indéfinie désigne plutôt l’ensemble des primitives, tandis que l’expression avec une borne dépend d’un choix particulier de primitive.

Answer

Elle est définie et dérivable sur $$I$$, avec $$F'(x)=f(x)$$ pour tout $$x\in I$$.

Question 49

49. Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle, comment s’écrivent toutes les autres primitives de $f$ ?

Elles s’écrivent

G(x)=F(x)+c(x)

, où

c

est une fonction dérivable.

Elles s’écrivent

G(x)=F(x)+x+c

, où

c

est un réel constant.

Elles s’écrivent

G(x)=cF(x)

, où

c

est un réel non nul.

Elles s’écrivent

G(x)=F(x)+c

, où

c

est un réel constant.

Explication

Deux primitives d’une même fonction ont la même dérivée, donc leur différence est constante sur l’intervalle. Ajouter une fonction variable de $x$ modifierait généralement la dérivée et ne préserverait pas la propriété de primitive.

Answer

Elles s’écrivent $$G(x)=F(x)+c$$, où $$c$$ est un réel constant.

Question 50

50. Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle contenant $[a,b]$ , quelle formule permet de calculer $\int_a^b f(t)\,dt$ ?

\int_a^b f(t)\,dt=F(a)+F(b)

\int_a^b f(t)\,dt=F(b)F(a)

\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)

\int_a^b f(t)\,dt=F(a)-F(b)

Explication

Le théorème fondamental du calcul intégral relie l’intégrale définie à la variation de la primitive entre les bornes. La valeur se calcule donc en soustrayant la valeur en borne inférieure de celle en borne supérieure.

Answer

$$\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)$$

Question 51

51. Que peut-on affirmer d’une fonction continue sur un intervalle ?

Elle possède une primitive qui est nécessairement un polynôme.

Elle admet une primitive dont la dérivée est constante.

Elle admet au moins une primitive sur cet intervalle.

Elle est nécessairement strictement monotone sur cet intervalle.

Explication

Toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives sur cet intervalle. La continuité n’impose ni que la primitive soit polynomiale, ni que la fonction soit monotone ou que sa dérivée soit constante.

Answer

Elle admet au moins une primitive sur cet intervalle.

Question 52

52. Quelle primitive convient à $\frac{u'}{u^n}$ lorsque $n\ge 2$ et que $u$ ne s’annule pas ?

\frac{1}{n}u^n

-\frac{1}{n-1}\frac{1}{u^{n-1}}

\frac{1}{n-1}u^{n-1}

\ln|u|

Explication

La dérivation de $u^{-(n-1)}$ fait apparaître le facteur $u'$ et donne la primitive indiquée. La forme logarithmique correspond plutôt à l’intégrande $u'/u$ , qui est le cas distinct associé à l’exposant un.

Answer

$$-\frac{1}{n-1}\frac{1}{u^{n-1}}$$

Question 53

53. Quelle égalité exprime l’intégration par parties pour deux fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$ ?

\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx

\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)

\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b+\int_a^b u(x)v'(x)\,dx

\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=\int_a^b u(x)v'(x)\,dx

Explication

La formule découle de la dérivée du produit $uv$ et comporte le terme de bord ainsi qu’une soustraction de l’intégrale restante. Le signe moins est essentiel ; le remplacer par un plus ou supprimer le second terme donne une formule incorrecte.

Answer

$$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx$$

Question 54

54. Comment définit-on l’intégrale impropre d’une fonction qui devient infinie en $b$ sur $[a,b]$ lorsque la limite existe ?

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx

\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b\lim_{t\to b^-}f(t)\,dx

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to b^+}\int_a^t f(x)\,dx

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx

Explication

Lorsque la singularité se trouve en borne droite, on approche cette borne par des valeurs $t<b$ et on prend la limite des intégrales sur $[a,t]$ . Une intégrale impropre se définit ainsi par une limite, et non par l’intégration directe d’une valeur infinie.

Answer

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx$$

Question 55

55. Quelle définition correspond à l’intégrale impropre sur un intervalle non borné $[a,+\infty[$ lorsque la limite est finie ?

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\int_a^{+\infty}\lim_{b\to+\infty}f(b)\,dx

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_b^a f(x)\,dx

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to a^+}\int_b^{+\infty}f(x)\,dx

Explication

On remplace la borne infinie par une borne finie $b$ , puis on fait tendre $b$ vers $+\infty$ . Les autres expressions inversent les bornes ou déplacent la limite sur la fonction, ce qui ne constitue pas la définition de cette intégrale.

Answer

$$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$

Question 56

56. Pour quelles valeurs de $\alpha$ l’intégrale $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ , avec $a>0$ , converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si

\alpha\ge 1

.

Elle converge si et seulement si

\alpha>1

.

Elle converge si et seulement si

\alpha\ge 0

.

Elle converge si et seulement si

\alpha<1

.

Explication

La décroissance de $x^{-\alpha}$ est suffisamment rapide à l’infini lorsque $\alpha>1$ , ce qui rend la limite de l’intégrale finie. Pour $\alpha\le 1$ , cette intégrale diverge, y compris dans le cas limite $\alpha=1$ .

Answer

Elle converge si et seulement si $$\alpha>1$$.

QCM : Mathématiques fonctions et calcul (56 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise un intervalle de R\mathbb{R}R ?

2. Que signifie l’affirmation « une fonction numérique est définie sur EEE » ?

3. Pour quelle condition l’expression x+1x−2\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}x−2x+1​​ est-elle définie ?

4. Une fonction définie sur un domaine centré en zéro vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x) pour tout xxx. Quelle propriété possède-t-elle ?

5. Si f(x)=x+1f(x)=x+1f(x)=x+1 et g(x)=x2g(x)=x^2g(x)=x2, quelle expression représente la composée de fff suivie de ggg ?

6. Quelle condition garantit qu’une fonction possède une réciproque sur son ensemble d’arrivée ?

7. Que représente le nombre dérivé f′(x0)f'(x_0)f′(x0​) lorsque la fonction est dérivable en x0x_0x0​ ?

8. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse x0x_0x0​ ?

9. Si fff et ggg sont dérivables et si ggg ne s’annule pas, quelle formule donne la dérivée de leur quotient ?

10. Pour une petite valeur de hhh, quelle expression fournit l’approximation affine de f(x0+h)f(x_0+h)f(x0​+h) ?

11. Pour le polynôme P(x)=4x5−2x3+x2P(x)=4x^5-2x^3+x^2P(x)=4x5−2x3+x2, quel couple indique correctement son degré et sa valuation ?

12. Lors de la division euclidienne de P1P_1P1​ par un polynôme non nul P0P_0P0​, quelle propriété caractérise le reste et le couple obtenu ?

13. Quelle condition permet d’affirmer qu’un réel α\alphaα est une racine du polynôme PPP ?

14. Sur quel ensemble le logarithme népérien est-il défini et dérivable ?

15. Pour x>0x>0x>0 et y>0y>0y>0, comment se transforme ln⁡(xy)\ln\left(\frac{x}{y}\right)ln(yx​) ?

16. Quel comportement décrit correctement la fonction ln⁡\lnln sur R+∗\mathbb{R}_+^*R+∗​ ?

17. Quelle relation exprime le mieux que l’exponentielle est la fonction réciproque du logarithme népérien ?

18. Dans la définition ax=exln⁡aa^x=e^{x\ln a}ax=exlna d’une puissance réelle de base aaa, quelles sont les conditions sur aaa et xxx ?

19. Comment varie la fonction x↦axx\mapsto a^xx↦ax lorsque 0<a<10<a<10<a<1 ?

20. Pour un réel non nul rrr, sur quel domaine la puissance réelle xr=erln⁡xx^r=e^{r\ln x}xr=erlnx est-elle définie ?

21. Sur R+∗\mathbb{R}_+^*R+∗​, quel est le sens de variation de x↦xrx\mapsto x^rx↦xr lorsque r<0r<0r<0 ?

22. Pour des nombres positifs xxx et yyy, quelle égalité applique correctement les propriétés des puissances réelles ?

23. Pour résoudre xr=ax^r=axr=a avec r≠0r\neq 0r=0 et une expression définie, quelle expression de xxx convient ?

24. Que signifie lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\inftylimx→+∞​f(x)=+∞ ?

25. Quel comportement possède xαx^\alphaxα lorsque x→+∞x\to+\inftyx→+∞ et que α>0\alpha>0α>0 ?

26. Comment caractérise-t-on une fonction dont la limite en +∞+\infty+∞ est le réel ℓ\ellℓ ?

27. Laquelle de ces formes de limite est indéterminée et ne permet donc pas de conclure directement ?

28. Quel élément détermine le comportement à l’infini d’un polynôme ?

29. Si f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)\leq g(x)\leq h(x)f(x)≤g(x)≤h(x) et si fff et hhh tendent vers la même limite ℓ\ellℓ, quelle conclusion donne le théorème des gendarmes ?

30. Quelle condition caractérise la droite y=ℓy=\elly=ℓ comme asymptote horizontale à la courbe de fff au voisinage de +∞+\infty+∞ ?

31. Quel ordre décrit correctement les principales étapes d’une étude globale de fonction ?

32. Pour une fonction rationnelle définie près de x0x_0x0​, que conclut-on si lim⁡x→x0f(x)=∞\lim_{x\to x_0}f(x)=\inftylimx→x0​​f(x)=∞ ?

33. Quelle est l’entrée d’une fonction de deux variables f:Df⊆R2→Rf:D_f\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}f:Df​⊆R2→R ?

34. Que représente géométriquement une équation F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 dans R3\mathbb{R}^3R3 ?

35. Lequel décrit correctement le graphe d’une fonction fff de deux variables ?

36. Quelle relation caractérise une fonction homogène de degré kkk ?

37. Comment définit-on la courbe de niveau de valeur kkk d’une fonction fff ?

38. Comment nomme-t-on une courbe de niveau selon le contexte économique ?

39. Lorsqu’on calcule la dérivée partielle de f(x,y)f(x,y)f(x,y) par rapport à xxx, quelle variable est maintenue constante ?

40. Quelle expression définit la dérivée partielle de fff par rapport à yyy au point (x,y)(x,y)(x,y) ?

41. Comment s’écrit le gradient de fff au point (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) ?

42. Quelle information contient le gradient d’une fonction C1C^1C1 de deux variables en un point donné ?

43. Pour que l’équation f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0 définisse localement y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) autour de (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​), quelle condition différentielle doit être satisfaite en plus de f(x0,y0)=0f(x_0,y_0)=0f(x0​,y0​)=0 ?

44. Si f(x,φ(x))=0f(x,\varphi(x))=0f(x,φ(x))=0 et si ∂f∂y≠0\frac{\partial f}{\partial y}\ne0∂y∂f​=0, quelle formule donne la dérivée de la fonction implicite ?

45. Que représente l’intégrale d’une fonction positive fff entre aaa et bbb lorsque l’aire considérée est finie ?

46. Si ccc est compris entre aaa et bbb, quelle égalité exprime la relation de Chasles ?

47. Quelle propriété permet de calculer l’intégrale de αf(t)+βg(t)\alpha f(t)+\beta g(t)αf(t)+βg(t) sur [a,b][a,b][a,b] ?

48. Quelle condition caractérise une primitive FFF d’une fonction fff sur un intervalle III ?

49. Si FFF est une primitive de fff sur un intervalle, comment s’écrivent toutes les autres primitives de fff ?

50. Si FFF est une primitive de fff sur un intervalle contenant [a,b][a,b][a,b], quelle formule permet de calculer ∫abf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt∫ab​f(t)dt ?

51. Que peut-on affirmer d’une fonction continue sur un intervalle ?

52. Quelle primitive convient à u′un\frac{u'}{u^n}unu′​ lorsque n≥2n\ge 2n≥2 et que uuu ne s’annule pas ?

53. Quelle égalité exprime l’intégration par parties pour deux fonctions uuu et vvv de classe C1C^1C1 sur [a,b][a,b][a,b] ?

54. Comment définit-on l’intégrale impropre d’une fonction qui devient infinie en bbb sur [a,b][a,b][a,b] lorsque la limite existe ?

55. Quelle définition correspond à l’intégrale impropre sur un intervalle non borné [a,+∞[[a,+\infty[[a,+∞[ lorsque la limite est finie ?

56. Pour quelles valeurs de α\alphaα l’intégrale ∫a+∞dxxα\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}∫a+∞​xαdx​, avec a>0a>0a>0, converge-t-elle ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Lieux et types d’écoute musicale

Calcul des volumes et dimensions

Ingénierie de la tâche motrice

Biologie cellulaire et moléculaire

Pourcentages et taux de variation

Activité physique et santé

Crée tes propres QCM

1. Quelle propriété caractérise un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

2. Que signifie l’affirmation « une fonction numérique est définie sur $E$ » ?

3. Pour quelle condition l’expression $\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$ est-elle définie ?

4. Une fonction définie sur un domaine centré en zéro vérifie $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$ . Quelle propriété possède-t-elle ?

5. Si $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^2$ , quelle expression représente la composée de $f$ suivie de $g$ ?

7. Que représente le nombre dérivé $f'(x_0)$ lorsque la fonction est dérivable en $x_0$ ?

8. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ ?

9. Si $f$ et $g$ sont dérivables et si $g$ ne s’annule pas, quelle formule donne la dérivée de leur quotient ?

10. Pour une petite valeur de $h$ , quelle expression fournit l’approximation affine de $f(x_0+h)$ ?

11. Pour le polynôme $P(x)=4x^5-2x^3+x^2$ , quel couple indique correctement son degré et sa valuation ?

12. Lors de la division euclidienne de $P_1$ par un polynôme non nul $P_0$ , quelle propriété caractérise le reste et le couple obtenu ?

13. Quelle condition permet d’affirmer qu’un réel $\alpha$ est une racine du polynôme $P$ ?

15. Pour $x>0$ et $y>0$ , comment se transforme $\ln\left(\frac{x}{y}\right)$ ?

16. Quel comportement décrit correctement la fonction $\ln$ sur $\mathbb{R}_+^*$ ?

18. Dans la définition $a^x=e^{x\ln a}$ d’une puissance réelle de base $a$ , quelles sont les conditions sur $a$ et $x$ ?

19. Comment varie la fonction $x\mapsto a^x$ lorsque $0<a<1$ ?

20. Pour un réel non nul $r$ , sur quel domaine la puissance réelle $x^r=e^{r\ln x}$ est-elle définie ?

21. Sur $\mathbb{R}_+^*$ , quel est le sens de variation de $x\mapsto x^r$ lorsque $r<0$ ?

22. Pour des nombres positifs $x$ et $y$ , quelle égalité applique correctement les propriétés des puissances réelles ?

23. Pour résoudre $x^r=a$ avec $r\neq 0$ et une expression définie, quelle expression de $x$ convient ?

24. Que signifie $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ?

25. Quel comportement possède $x^\alpha$ lorsque $x\to+\infty$ et que $\alpha>0$ ?

26. Comment caractérise-t-on une fonction dont la limite en $+\infty$ est le réel $\ell$ ?

29. Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et si $f$ et $h$ tendent vers la même limite $\ell$ , quelle conclusion donne le théorème des gendarmes ?

30. Quelle condition caractérise la droite $y=\ell$ comme asymptote horizontale à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$ ?

32. Pour une fonction rationnelle définie près de $x_0$ , que conclut-on si $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ?

33. Quelle est l’entrée d’une fonction de deux variables $f:D_f\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ ?

34. Que représente géométriquement une équation $F(x,y,z)=0$ dans $\mathbb{R}^3$ ?

35. Lequel décrit correctement le graphe d’une fonction $f$ de deux variables ?

36. Quelle relation caractérise une fonction homogène de degré $k$ ?

37. Comment définit-on la courbe de niveau de valeur $k$ d’une fonction $f$ ?

39. Lorsqu’on calcule la dérivée partielle de $f(x,y)$ par rapport à $x$ , quelle variable est maintenue constante ?

40. Quelle expression définit la dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ au point $(x,y)$ ?

41. Comment s’écrit le gradient de $f$ au point $(x_0,y_0)$ ?

42. Quelle information contient le gradient d’une fonction $C^1$ de deux variables en un point donné ?

43. Pour que l’équation $f(x,y)=0$ définisse localement $y=\varphi(x)$ autour de $(x_0,y_0)$ , quelle condition différentielle doit être satisfaite en plus de $f(x_0,y_0)=0$ ?

44. Si $f(x,\varphi(x))=0$ et si $\frac{\partial f}{\partial y}\ne0$ , quelle formule donne la dérivée de la fonction implicite ?

45. Que représente l’intégrale d’une fonction positive $f$ entre $a$ et $b$ lorsque l’aire considérée est finie ?

46. Si $c$ est compris entre $a$ et $b$ , quelle égalité exprime la relation de Chasles ?

47. Quelle propriété permet de calculer l’intégrale de $\alpha f(t)+\beta g(t)$ sur $[a,b]$ ?

48. Quelle condition caractérise une primitive $F$ d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ ?

49. Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle, comment s’écrivent toutes les autres primitives de $f$ ?

50. Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle contenant $[a,b]$ , quelle formule permet de calculer $\int_a^b f(t)\,dt$ ?

52. Quelle primitive convient à $\frac{u'}{u^n}$ lorsque $n\ge 2$ et que $u$ ne s’annule pas ?

53. Quelle égalité exprime l’intégration par parties pour deux fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$ ?

54. Comment définit-on l’intégrale impropre d’une fonction qui devient infinie en $b$ sur $[a,b]$ lorsque la limite existe ?

55. Quelle définition correspond à l’intégrale impropre sur un intervalle non borné $[a,+\infty[$ lorsque la limite est finie ?

56. Pour quelles valeurs de $\alpha$ l’intégrale $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ , avec $a>0$ , converge-t-elle ?