QCM : Probabilités conditionnelles — 11 questions

Question 1

1. Dans un lycée de 800 élèves, combien de montres sont de type M1 si elles représentent 70 % des montres ?

640 montres

240 montres

530 montres

560 montres

Explication

Le type M1 représente $0{,}70 \times 800 = 560$ montres. Les 240 montres restantes correspondent au type M2, et non au type M1.

Answer

560 montres

Question 2

2. D’après le tableau de contingence, combien de montres de type M2 sont en cuir ?

180 montres

280 montres

60 montres

Aucune

Explication

Le type M2 ne comprend aucune montre en cuir. Les 60 montres en acier et les 180 montres en tissu ne doivent pas être confondues avec la catégorie du cuir.

Answer

La probabilité de B lorsqu'A est réalisé

Answer

$$P(A \cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)$$

Answer

Ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est $$\Omega$$

Answer

$$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots+P(B\cap A_n)$$

Answer

$$P(B)=P_{A_1}(B)\times P(A_1)+P_{A_2}(B)\times P(A_2)+\cdots+P_{A_n}(B)\times P(A_n)$$

Answer

La réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre

Answer

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

Answer

Le second lancer est indépendant du résultat du premier

Answer

$$\frac{1}{64}$$

Question 3

3. Que mesure la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ ?

La probabilité de B lorsqu'A est réalisé

La probabilité qu'A ou B soit réalisé

La probabilité de A lorsque B est réalisé

La probabilité de A et de B sans condition

Explication

$P_A(B)$ mesure la probabilité de l’événement B sous la condition qu'A soit réalisé. Elle se distingue de $P(B)$ , qui ne prend pas cette condition en compte.

Question 4

4. Laquelle des égalités exprime correctement la relation entre une intersection et des probabilités conditionnelles, lorsque les probabilités nécessaires sont non nulles ?

P(A \cap B)=P(A)\times P(B)=P_A(B)\times P_B(A)

P(A \cap B)=P_A(B)-P(A)=P_B(A)-P(B)

P(A \cap B)=P(A)+P_A(B)=P(B)+P_B(A)

P(A \cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)

Explication

L’intersection se calcule en multipliant la probabilité d’un événement par la probabilité conditionnelle de l’autre. La dernière égalité proposée confond cette relation avec une situation d’indépendance et ne constitue pas la formule générale.

Question 5

5. Quelles conditions caractérisent une partition de l’univers $\Omega$ par les événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ?

Ils se recouvrent deux à deux et leur réunion est

\Omega

Ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est

\Omega

Ils ont la même probabilité et leur réunion est

\Omega

Ils sont deux à deux disjoints et leur intersection est

\Omega

Explication

Une partition recouvre tout l’univers sans chevauchement entre ses événements. Des probabilités égales ne sont pas requises, et leur intersection n’a pas à être égale à $\Omega$ .

Question 6

6. Si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle formule permet de calculer $P(B)$ à partir des intersections ?

P(B)=P(B\cap A_1)\times P(B\cap A_2)\times\cdots\times P(B\cap A_n)

P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots+P(B\cap A_n)

P(B)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)-P(B)

P(B)=P(B\cup A_1)+P(B\cup A_2)+\cdots+P(B\cup A_n)

Explication

Les intersections de B avec les parties de la partition sont disjointes et leur réunion est B, donc leurs probabilités s’additionnent. Les probabilités des réunions ou leur produit ne donnent pas cette décomposition.

Question 7

7. Quelle expression applique la formule des probabilités totales à une partition $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en utilisant des probabilités conditionnelles ?

P(B)=P_{A_1}(B)+P_{A_2}(B)+\cdots+P_{A_n}(B)

P(B)=P(A_1)\times P(A_2)\times\cdots+P_{A_n}(B)

P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots+P(B\cap A_n)

P(B)=P_{A_1}(B)\times P(A_1)+P_{A_2}(B)\times P(A_2)+\cdots+P_{A_n}(B)\times P(A_n)

Explication

Chaque terme associe la probabilité conditionnelle de B dans une partie à la probabilité de cette partie, puis les termes sont additionnés. La formule par intersections est équivalente, mais elle utilise directement $P(B\cap A_i)$ plutôt que $P_{A_i}(B)\times P(A_i)$ .

Question 8

8. Que signifie l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

La réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre

La réalisation de l’un rend l’autre moins probable

La réalisation des deux événements devient simultanée

La réalisation de l’un rend l’autre plus probable

Explication

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un n’influence pas celle de l’autre. Une augmentation ou une diminution de la probabilité de l’autre caractériserait une dépendance.

Question 9

9. Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

P(A\cap B)=P(A)-P(B)

P(A\cap B)=P(A)+P(B)

P(A\cap B)=P(A)\div P(B)

P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

Explication

L’indépendance est vérifiée lorsque la probabilité de l’intersection est égale au produit des probabilités des deux événements. Une somme, une différence ou un quotient ne constitue pas le critère général d’indépendance.

Question 10

10. Lors de deux lancers successifs d’un dé équilibré à huit faces numérotées de 1 à 8, quelle affirmation décrit correctement les épreuves ?

Le second lancer dépend du résultat du premier

Le second lancer est indépendant du résultat du premier

Le second lancer reprend nécessairement le résultat du premier

Le second lancer exclut le résultat obtenu au premier

Explication

Les deux lancers successifs sont des épreuves indépendantes : le résultat du premier lancer ne modifie pas les probabilités du second. Le deuxième résultat peut donc coïncider avec le premier ou en être différent.

Question 11

11. Dans deux lancers successifs indépendants d’un dé équilibré à huit faces, quelle est la probabilité d’obtenir un 6 au premier lancer et un 6 au second ?

\frac{1}{8}

\frac{1}{64}

\frac{1}{16}

\frac{2}{8}

Explication

Chaque lancer donne un 6 avec une probabilité de $\frac{1}{8}$ , et l’indépendance permet de multiplier ces probabilités : $\frac{1}{8}\times\frac{1}{8}=\frac{1}{64}$ . La valeur $\frac{1}{8}$ correspond à un seul lancer, pas à la conjonction des deux résultats.

QCM : Probabilités conditionnelles — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans un lycée de 800 élèves, combien de montres sont de type M1 si elles représentent 70 % des montres ?

2. D’après le tableau de contingence, combien de montres de type M2 sont en cuir ?

3. Que mesure la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ ?

4. Laquelle des égalités exprime correctement la relation entre une intersection et des probabilités conditionnelles, lorsque les probabilités nécessaires sont non nulles ?

5. Quelles conditions caractérisent une partition de l’univers $\Omega$ par les événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ?

6. Si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle formule permet de calculer $P(B)$ à partir des intersections ?

7. Quelle expression applique la formule des probabilités totales à une partition $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en utilisant des probabilités conditionnelles ?

8. Que signifie l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

9. Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

10. Lors de deux lancers successifs d’un dé équilibré à huit faces numérotées de 1 à 8, quelle affirmation décrit correctement les épreuves ?

11. Dans deux lancers successifs indépendants d’un dé équilibré à huit faces, quelle est la probabilité d’obtenir un 6 au premier lancer et un 6 au second ?

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QCM : Probabilités conditionnelles — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans un lycée de 800 élèves, combien de montres sont de type M1 si elles représentent 70 % des montres ?

2. D’après le tableau de contingence, combien de montres de type M2 sont en cuir ?

3. Que mesure la probabilité conditionnelle PA(B)P_A(B)PA​(B) ?

4. Laquelle des égalités exprime correctement la relation entre une intersection et des probabilités conditionnelles, lorsque les probabilités nécessaires sont non nulles ?

5. Quelles conditions caractérisent une partition de l’univers Ω\OmegaΩ par les événements A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_nA1​,A2​,…,An​ ?

6. Si A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_nA1​,A2​,…,An​ forment une partition de Ω\OmegaΩ, quelle formule permet de calculer P(B)P(B)P(B) à partir des intersections ?

7. Quelle expression applique la formule des probabilités totales à une partition A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_nA1​,A2​,…,An​ en utilisant des probabilités conditionnelles ?

8. Que signifie l’indépendance de deux événements AAA et BBB ?

9. Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux événements AAA et BBB ?

10. Lors de deux lancers successifs d’un dé équilibré à huit faces numérotées de 1 à 8, quelle affirmation décrit correctement les épreuves ?

11. Dans deux lancers successifs indépendants d’un dé équilibré à huit faces, quelle est la probabilité d’obtenir un 6 au premier lancer et un 6 au second ?

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3. Que mesure la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ ?

5. Quelles conditions caractérisent une partition de l’univers $\Omega$ par les événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ?

6. Si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle formule permet de calculer $P(B)$ à partir des intersections ?

7. Quelle expression applique la formule des probabilités totales à une partition $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en utilisant des probabilités conditionnelles ?

8. Que signifie l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

9. Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?