Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles
2. Lecture d'un arbre pondéré
3. Probabilités d'un chemin
4. Formule des probabilités totales
5. Indépendance de deux événements

📖 1. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle est une probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est (ou n’est pas) réalisé.
• Événements compatibles d’une même expérience : Des événements d’une même expérience aléatoire permettent de définir la probabilité de leur intersection et donc des probabilités conditionnelles.

📝 Points essentiels

• Si $P(A)\neq 0$, alors la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé vaut $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• Dans l’exemple des 1200 élèves, $P_F(E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(F)}=\dfrac{110/120}{660/1200}=\dfrac{1}{6}$.
• Le piège classique est de confondre $P_A(B)$ avec $P(A\cap B)$, qui sont deux quantités différentes.

💡 Astuce mémo

Penser à $P_A(B)$ comme « l’intersection, ramenée à $P(A)$ ». (intersection ÷ base)

📖 2. Lecture d'un arbre pondéré

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré est un schéma qui modélise une expérience aléatoire avec des probabilités associées aux branches.
• Propriété somme sur les branches : La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
• Chemin : Un chemin est une suite de branches allant de la racine jusqu’à un nœud terminal, associée à un événement.

📝 Points essentiels

• Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
• La probabilité d’un événement décrit par un chemin est le produit des probabilités des branches de ce chemin.
• Avec l’arbre de l’exemple (55% filles, 10% internes parmi les filles), $P(F\cap \overline{I})=0{,}55\times 0{,}90=0{,}495$.
• Dans l’exemple des pièces : $P(B\cap \overline{A})=P(B)\times P_B(\overline{A})=0{,}98\times 0{,}04=0{,}0392$.
• Avec deux événements et des probabilités non nulles, on obtient aussi $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ et $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$.

💡 Astuce mémo

Arbre = contrôles par somme (1) et calcul par produit (chemin).

📖 3. Probabilités d'un chemin

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit des probabilités : Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est calculée comme le produit des probabilités des branches parcourues.

📝 Points essentiels

• Pour un chemin, multiplier les probabilités successives des branches donne la probabilité de l’événement correspondant au chemin.
• Dans l’exemple des 800 élèves, $P(F\cap \overline{I})=0{,}55\times 0{,}90=0{,}495$ illustre directement le produit le long du chemin.
• Dans l’exemple des pièces, le chemin « bonne puis refusée » donne $P(B\cap \overline{A})=0{,}98\times 0{,}04=0{,}0392$.

💡 Astuce mémo

Chemin = trajectoire : probabilité = multiplication des étapes.

📖 4. Formule des probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Une partition de l’univers est un ensemble d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion vaut l’univers.
• Probabilités totales : La formule des probabilités totales exprime la probabilité d’un événement à partir des intersections avec une partition et des probabilités conditionnelles correspondantes.

📝 Points essentiels

• Si $\{A_1,\dots,A_n\}$ est une partition de $\Omega$, alors $P(B)=P(B\cap A_1)+\cdots+P(B\cap A_n)$.
• Si de plus $P(A_i)\neq 0$ pour tout $i$, alors $P(B)=P(A_1)\,P_{A_1}(B)+\cdots+P(A_n)\,P_{A_n}(B)$.
• Dans l’exemple (filles/garçons), $P(I)=P(I\cap F)+P(I\cap \overline{F})=0{,}55\times 0{,}10+0{,}45\times 0{,}10=0{,}10$.
• La formule se traduit aussi sur un arbre : la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins aboutissant à ce nœud terminal.

💡 Astuce mémo

Totales = somme sur une partition : intersections (ou branches) additionnées.

📖 5. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de deux événements : Deux événements de probabilités non nulles sont indépendants quand la probabilité de leur intersection égale le produit de leurs probabilités.
• Égalités de l’indépendance : L’indépendance équivaut à une relation multiplicative entre $P(A\cap B)$, $P(A)$ et $P(B)$.

📝 Points essentiels

• Pour $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Dans l’exemple : $P(F\cap I)=0{,}55\times 0{,}10=0{,}055$ et on vérifie aussi avec la partition que $P(I)=0{,}055+0{,}045=0{,}10$, donc $P(F)\times P(I)=0{,}55\times 0{,}10=0{,}055$.
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ sont aussi indépendants (et donc réciproquement dans le schéma complémentaire).
• Deux événements indépendants ne sont pas forcément sans lien : il peut exister des occurrences des deux en même temps (exemple des filles internes).

💡 Astuce mémo

Indépendants = « intersection = produit » ; compléments restent indépendants.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $P_A(B)$ (probabilité de $B$ sachant $A$) avec $P(A\cap B)$ (probabilité qu’ils se produisent ensemble).
2. Oublier la condition $P(A)\neq 0$ avant d’utiliser la formule $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
3. Calculer la probabilité d’un événement avec un arbre en faisant une somme des branches au lieu d’un produit le long d’un chemin.
4. Vérifier mal l’arbre pondéré : la somme des probabilités issues d’un même nœud doit être égale à 1.
5. Se tromper de formule en probabilités totales : additionner des $P(B\cap A_i)$ nécessite une partition, sinon la somme n’a pas le bon sens.
6. Penser que « indépendants » signifie « sans lien » : l’exemple montre qu’on peut avoir des cas où les deux événements arrivent ensemble.
7. Mélanger les rôles de $A$ et $B$ : en général $P_A(B)$ n’est pas la même quantité que $P_B(A)$.

✅ Checklist Examen

1. Définir une probabilité conditionnelle et écrire $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ quand $P(A)\neq 0$.
2. Identifier sur un énoncé quel est l’événement de conditionnement (celui noté $A$) et quel est l’événement conditionnel (celui noté $B$).
3. Utiliser un tableau de contingence pour obtenir une probabilité conditionnelle de type $P_F(E)$.
4. Lire correctement un arbre pondéré en vérifiant que la somme des branches issues d’un même nœud vaut 1.
5. Calculer la probabilité d’un chemin comme le produit des probabilités des branches parcourues.
6. Écrire et appliquer $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ et $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$.
7. Appliquer la formule des probabilités totales sous forme « somme des intersections » $P(B)=\sum_i P(B\cap A_i)$.
8. Appliquer la formule des probabilités totales sous forme « pondération par conditionnelles » $P(B)=\sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)$ quand tous les $P(A_i)\neq 0$.
9. Traduire les probabilités totales sur un arbre : somme des probabilités des chemins aboutissant au nœud de l’événement.
10. Définir l’indépendance de deux événements (probabilités non nulles) et donner le critère $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
11. Vérifier l’indépendance dans un cas numérique en comparant le produit des probabilités à la probabilité d’intersection.
12. Utiliser le fait que si $A$ et $B$ sont indépendants alors des événements complémentaires restent indépendants.