Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et lois de probabilité
2. Probabilités conditionnelles
3. Partitions et probabilités totales
4. Arbres pondérés
5. Indépendance des événements
6. Épreuves de Bernoulli répétées

📖 1. Vocabulaire et lois de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Issue : Résultat possible de cette expérience.
• Événement : Partie de l’univers Ω.
• Loi de probabilité : Définir une loi de probabilité sur Ω consiste à associer à chaque issue xi une probabilité pi telle que $0\leq p_i\leq 1$ et $\sum_{i=1}^{n}p_i=1$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est $P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables à }A}{\text{nombre de cas possibles}}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout événement A, $0\leq P(A)\leq 1$, $P(\overline{A})=1-P(A)$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📖 2. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si $P(A)\neq 0$, la probabilité conditionnelle de B sachant A est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité d’une intersection vérifie $P(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)$.

Compléments

📐 Formule - Dans une situation d’équiprobabilité, $P_A(B)=\frac{\text{nombre d’éléments de }A\cap B}{\text{nombre d’éléments de }A}$.

💡 Astuce mémo

B sachant A n’est pas A sachant B

📖 3. Partitions et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Des événements A1, A2, jusqu’à An forment une partition de Ω s’ils sont tous non vides, deux à deux disjoints et si leur réunion est Ω.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A1, A2, jusqu’à An forment une partition de Ω, alors $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i\cap B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\times P_{A_i}(B)$.

Compléments

• Si 60 % des élèves sont inscrits dans un club de sport, que 55 % des inscrits sont des filles et que 60 % des non-inscrits sont des filles, alors la probabilité qu’un élève soit une fille est $0{,}6\times0{,}55+0{,}4\times0{,}6=0{,}57$.

💡 Astuce mémo

Partition de Ω → somme des contributions à P(B)

📖 4. Arbres pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré représente une expérience aléatoire en décomposant les événements en plusieurs niveaux, chaque branche portant une probabilité et chaque chemin complet correspondant à une issue.

★ À maîtriser

📌 La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

• La probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Compléments

• Si la probabilité de réussir un test est 0,8 et celle de ne jamais avoir redoublé sachant la réussite est 0,95, alors $P(T\cap\overline{D})=0{,}8\times0{,}95=0{,}76$.

💡 Astuce mémo

Branches → chemins → produits

📖 5. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements non impossibles A et B sont indépendants si la réalisation de A n’affecte pas la probabilité de B, c’est-à-dire si $P_A(B)=P(B)$.
• Épreuves indépendantes : Deux expériences aléatoires successives sont indépendantes lorsque les résultats de la première n’ont aucune influence sur la seconde, comme dans deux tirages successifs avec remise.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les événements A et B sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$, $P_B(A)=P(A)$ ou $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Compléments

• Dans un jeu de 32 cartes, l’événement « tirer un as » et l’événement « tirer un cœur » sont indépendants car $P(A\cap B)=\frac{1}{32}=\frac{1}{8}\times\frac{1}{4}=P(A)P(B)$.

💡 Astuce mémo

Indépendants : produit des probabilités ; incompatibles : intersection vide

📖 6. Épreuves de Bernoulli répétées

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : un succès S de probabilité p et un échec de probabilité 1-p.
• Répétition d’épreuves de Bernoulli : Répéter n fois, avec n inférieur ou égal à 4, une même épreuve de Bernoulli de façon indépendante et identique signifie conserver la même probabilité de succès p à chaque épreuve.

★ À maîtriser

• Pour une répétition d’épreuves de Bernoulli, on construit un arbre à n niveaux, on calcule chaque chemin par le produit de ses branches, puis on additionne les chemins réalisant l’événement recherché.

Compléments

• Pour trois tirs indépendants avec une probabilité de succès de 0,7 à chaque tir, la probabilité d’obtenir exactement deux succès est $3\times0{,}7\times0{,}7\times0{,}3=0{,}441$.

💡 Astuce mémo

Succès ou échec → répétitions identiques → addition des chemins

📊 Tableaux de synthèse

Notions à ne pas confondre