Fiche de révision : Suites numériques et puissances

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une suite numérique
2. Formule explicite et récurrence
3. Représentation graphique des suites
4. Définition des puissances
5. Propriétés et calculs de puissances

📖 1. Définition d’une suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur ℕ ou à partir de ℕ qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel noté uₙ.

★ À maîtriser

📌 La suite se note généralement (uₙ), tandis que uₙ désigne le terme de rang n.

Compléments

• Le premier terme d’une suite est le plus souvent le terme de rang 0, noté u₀, ou le terme de rang 1, noté u₁.

• Dans une suite où uₙ désigne le nombre d’abonnés à la fin de l’année n, u₁ vaut 587 abonnés et u₂ vaut 614 abonnés.

💡 Astuce mémo

La suite (uₙ) est l’ensemble, tandis que uₙ est un seul terme.

📖 2. Formule explicite et récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Une suite définie par une formule explicite possède des termes obtenus directement en fonction de n, indépendamment des termes précédents.
• Relation de récurrence : Relation par laquelle chaque terme est obtenu à partir du terme précédent et qui nécessite la connaissance d’un premier terme.

★ À maîtriser

• Pour la suite définie par v₀=3 et $v_{n+1}=4v_n-6$, les quatre premiers termes se calculent successivement : v₀=3, v₁=6, v₂=18 et v₃=66.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_n=5n+4$, on obtient u₀=4, u₁=9, u₂=14 et u₁₀=54.

📌 Les expressions $v_{n+1}=4v_n-6$ et $w_n=3(w_{n-1}+5)$ définissent des suites par récurrence, tandis que $u_n=6n^2-4$ est une formule explicite.

💡 Astuce mémo

Explicite : n suffit ; récurrence : le terme précédent est nécessaire.

📖 3. Représentation graphique des suites

★ À maîtriser

• Pour représenter graphiquement une suite, on place dans un repère les points dont les abscisses sont les entiers naturels n et dont les ordonnées sont les termes correspondants uₙ.

Compléments

• Pour $u_n=\frac{n^2}{2}-3$, la représentation graphique est un nuage de points obtenu éventuellement à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points dont chaque abscisse est un entier naturel n.

📖 4. Définition des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Produit de n facteurs égaux à a pour tout entier naturel non nul n.

★ À maîtriser

📌 Pour a non nul, la puissance négative vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, avec notamment $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

Compléments

• Les cas particuliers sont $a^1=a$ et, pour a non nul, $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

💡 Astuce mémo

Puissance positive : multiplier ; puissance négative : inverser.

📖 5. Propriétés et calculs de puissances

★ À maîtriser

• Pour a non nul et n,p entiers relatifs, le produit de puissances de même base vérifie $a^n\times a^p=a^{n+p}$.

• Pour a non nul et n,p entiers relatifs, une puissance d’une puissance vérifie $(a^n)^p=a^{np}$.

• Pour a réel, b non nul et n entier relatif, on a $(ab)^n=a^n b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Compléments

• Les règles donnent notamment $3^8\times3^{-2}=3^6$, $5^4/5^6=5^{-2}$, $(x^3)^4=x^{12}$, $3^7\times2^7=6^7$ et $10^4/5^4=2^4$.

📌 Le signe d’une puissance dépend du signe de la base et de la parité de l’exposant, tandis qu’un signe placé devant une puissance, comme dans $-15^4$, ne porte pas sur la base.

💡 Astuce mémo

Même base : additionner les exposants ; puissance d’une puissance : multiplier.

📊 Tableaux de synthèse

Modes de génération d’une suite