Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions polynômes de degré 2
2. Forme canonique du trinôme
3. Signe selon le discriminant
4. Somme et produit des racines
5. Résolution de l’équation du second degré
6. Forme factorisée

📖 1. Fonctions polynômes de degré 2

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ qui associe à tout réel x le nombre $ax^2+bx+c$, avec a réel non nul et b, c réels.

📖 2. Forme canonique du trinôme

📝 Points essentiels

📐 Formule - Tout trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ s’écrit sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=\frac{b^2-4ac}{4a}$.

💡 Astuce mémo

Une parabole se recentre autour de son sommet (α, β).

📖 3. Signe selon le discriminant

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, le polynôme a le signe de a à l’extérieur des deux racines et le signe de −a entre elles.

• Si $\Delta=0$, le polynôme a le signe de a sur ℝ et s’annule uniquement en α.

• Si $\Delta<0$, le polynôme garde le signe de a sur ℝ et ne s’annule jamais.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux zéros ; Δ nul : un zéro double ; Δ négatif : aucun zéro réel.

📖 4. Somme et produit des racines

📝 Points essentiels

📐 Formule - Lorsque $\Delta>0$, la somme des racines vérifie $S=x_1+x_2=-\frac ba$ et leur produit vérifie $P=x_1x_2=\frac ca$.

📌 Deux nombres réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement s’ils sont les racines du polynôme $x^2-Sx+P$.

💡 Astuce mémo

S = somme = −b/a ; P = produit = c/a.

📖 5. Résolution de l’équation du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Réel $\Delta=b^2-4ac$ du trinôme $ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l’équation possède une unique solution réelle double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.

📌 Les racines d’un trinôme sont les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ et correspondent aux abscisses des points d’intersection de sa parabole avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, puis distinguer Δ>0, Δ=0 ou Δ<0.

📖 6. Forme factorisée

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si $\Delta>0$, la forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, la forme factorisée est $f(x)=a(x-\alpha)^2$.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne possède pas de forme factorisée sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Deux racines donnent deux facteurs ; une racine donne un facteur carré ; aucune racine donne aucune factorisation réelle.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et racines