QCM : Polynômes du second degré (15 questions)

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$. L’expression affine ne contient pas de terme en $x^2$, l’expression cubique est de degré 3 et celle avec un dénominateur n’est pas un polynôme.

Explication

Le degré 2 exige une expression $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$. Ici, le terme en $x^2$ est absent, donc son coefficient est nul et la fonction est de degré 1.

Explication

Dans la forme canonique, $\alpha$ est l’opposé de $b$ divisé par $2a$, tandis que $\beta$ contient le discriminant au numérateur et $4a$ au dénominateur. Les autres formules échangent ces rôles ou comportent un facteur incorrect.

Explication

Pour $\Delta>0$, le polynôme a le signe de $-a$ entre les racines. Comme $a<0$, on a $-a>0$, donc le polynôme est positif dans cet intervalle.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, le trinôme s’annule en une seule valeur $\alpha$, qui est une racine double. Deux racines distinctes correspondent au cas $\Delta>0$, tandis que l’absence de racine réelle correspond au cas $\Delta<0$.

Explication

Le discriminant vaut $\Delta=3^2-4\times2\times4=-23<0$. Le polynôme garde donc le signe de $a=2$ sur $\mathbb{R}$ et ne s’annule pas.

Explication

Pour deux racines réelles distinctes, leur somme est l’opposé du coefficient de degré un rapporté à $a$, tandis que leur produit est $c/a$. La confusion fréquente consiste à intervertir les expressions de la somme et du produit.

Explication

Le polynôme associé à une somme $S$ et à un produit $P$ est construit sous la forme $x^2-Sx+P$. Le signe devant $Sx$ est négatif, contrairement à celui de l’expression souvent confondue $x^2+Sx+P$.

Explication

Le discriminant d’un trinôme est calculé par $\Delta=b^2-4ac$. Ajouter les termes ou inverser leur différence modifierait le critère utilisé pour déterminer les solutions réelles.

Explication

Les racines sont les valeurs de $x$ pour lesquelles le trinôme vaut zéro ; graphiquement, elles correspondent donc aux abscisses des points où la parabole rencontre l’axe des abscisses. L’abscisse du sommet, notée souvent $\alpha$, ne représente pas nécessairement une racine.

Explication

Lorsque le discriminant est positif, les deux solutions s’obtiennent en ajoutant puis en retranchant $\sqrt{\Delta}$ à $-b$, avec un dénominateur $2a$. Le cas $\Delta=0$ ne donne pas deux valeurs distinctes, car les deux signes conduisent alors à la même solution.

Explication

Un discriminant nul signifie que les deux expressions de la formule quadratique se confondent en $x_0=-b/(2a)$, qui est une racine double. Le changement de signe devant $b$ ou l’absence de solution correspond à une autre situation.

Explication

Deux racines distinctes donnent deux facteurs linéaires distincts, d’où $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Un facteur carré correspondrait à une racine double, et les signes des facteurs doivent annuler le trinôme en $x_1$ et en $x_2$.

Explication

Une racine double signifie que le même facteur linéaire apparaît deux fois, ce qui donne $a(x-\alpha)^2$. Deux facteurs de signes opposés ou un facteur $x^2-\alpha$ ne traduisent pas cette multiplicité.

Explication

Un discriminant négatif signifie que le trinôme ne possède aucune racine réelle, donc aucune décomposition en facteurs linéaires réels. La forme avec un carré correspond à une racine double, et celle avec deux facteurs distincts à deux racines réelles.