Fiche de révision : Probabilités et statistiques 1

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la statistique
2. Population et observations
3. Types de variables statistiques
4. Modalités et classes
5. Tables des observations
6. Tables d’effectifs
7. Fréquences et proportions
8. Valeurs cumulées
9. Fonctions cumulées et complémentaires

📖 1. Fondements de la statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Ensemble de méthodes et d’outils permettant d’analyser des données, notamment de les collecter, les arranger, les présenter, les résumer et les analyser.

★ À maîtriser

📌 La statistique descriptive résume l’essentiel de l’information contenue dans les données, tandis que la statistique inférentielle utilise les données pour tester des hypothèses, rechercher des modèles ou faire des prévisions.

Compléments

• Les premières enquêtes statistiques datent du XVIII siècle.

💡 Astuce mémo

Collecter → arranger → présenter → résumer → analyser

📖 2. Population et observations

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble de référence dont les éléments, appelés individus, peuvent être des personnes ou des entités.
• Observation : Ensemble des valeurs des caractères relevés chez un individu.
• Modalité : Valeur prise par un caractère, choisie pour que chaque individu reçoive une valeur unique.
• Jeu de données : Les observations sont rassemblées dans des bases de données fréquemment appelées jeux de données.

📖 3. Types de variables statistiques

★ À maîtriser

📌 Un caractère qualitatif ne peut pas être représenté par une mesure, tandis qu’un caractère quantitatif peut être mesuré et représenté numériquement.

📌 Un caractère quantitatif discret prend généralement une valeur entière ou appartenant à un ensemble fini, tandis qu’un caractère quantitatif continu prend généralement une valeur réelle dans un intervalle.

Compléments

• Les exemples de caractères qualitatifs sont:

  • la couleur des yeux
  • le sexe
  • la situation familiale
  • la mention au baccalauréat
  • la catégorie socio-professionnelle

• Le nombre d’enfants et le nombre de pièces sont des exemples de caractères quantitatifs discrets, tandis que la taille, le poids, la température, le chiffre d’affaire et le montant imposable sont des exemples de caractères quantitatifs continus.

💡 Astuce mémo

Qualitatif = catégorie ; quantitatif = mesure numérique

📖 4. Modalités et classes

★ À maîtriser

📌 Une variable qualitative nominale possède des modalités qui ne peuvent pas être ordonnées, tandis qu’une variable qualitative ordinale possède des modalités ordonnables.

📌 Pour une variable quantitative continue, les valeurs sont souvent regroupées dans des intervalles contigus, disjoints et couvrant toutes les valeurs possibles, par exemple de la forme $[e_i;e_{i+1}[$.

📐 Formule — Le centre de l’intervalle $[e_i;e_{i+1}[$ est $c_i=\frac{e_i+e_{i+1}}{2}$ et son amplitude est $a_i=e_{i+1}-e_i$.

Compléments

• Le sexe et l’état-civil sont des variables nominales, tandis que le niveau d’études est une variable ordinale.

• Pour les poids observés, le minimum est 48 kg, le maximum est 94 kg et les classes d’amplitude 10 commençant à 45 kg ont pour centres 50, 60, 70, 80 et 90 kg.

💡 Astuce mémo

Une règle graduée découpée en intervalles sans chevauchement

📖 5. Tables des observations

🔑 Notions clés & Définitions

• Table des observations : Tableau représentant l’intégralité des observations collectées auprès des individus d’une population ou d’un échantillon extrait.

📝 Points essentiels

• Une table des observations peut contenir des colonnes de nature différente, comme des variables qualitatives et quantitatives, et ne constitue donc pas une matrice.

• Une table des observations peut présenter une variable, deux variables ou trois variables pour chaque observation.

📖 6. Tables d’effectifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : Nombre d’individus présentant une modalité ou une valeur, ou appartenant à une classe.
• Distribution statistique : Ensemble des couples (v_i,n_i).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le nombre total d’observations est $N=n_1+n_2+\cdots+n_k=\sum_{i=1}^{k}n_i$.

📖 7. Fréquences et proportions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : La fréquence f_i, ou proportion, d’une modalité ou d’une classe est le rapport entre son effectif n_i et l’effectif total N.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence d’une modalité ou d’une classe vérifie $f_i=\frac{n_i}{N}$.

📌 Toute fréquence vérifie $0\leq f_i\leq1$ et la somme des fréquences vaut $\sum_{i=1}^{k}f_i=1$, soit 100 % en pourcentage.

Compléments

• Pour les résidences principales, l’effectif total est N = 27 347 626 et les fréquences associées à 1, 2, 3, 4, 5 et 6 pièces sont respectivement 5.75 %, 12.50 %, 20.93 %, 25.29 %, 19.44 % et 16.10 %.

💡 Astuce mémo

Effectif ÷ total → proportion comprise entre 0 et 1

📖 8. Valeurs cumulées

★ À maîtriser

• Les effectifs cumulés s’obtiennent en additionnant successivement les effectifs de chaque modalité ou classe.

📌 Les effectifs cumulés ne sont définissables que pour une variable quantitative ou une variable qualitative ordinale.

• Les fréquences cumulées s’obtiennent en additionnant successivement les fréquences de chaque modalité ou classe.

Compléments

• Pour 150 familles ayant respectivement 5, 27, 63, 38, 14 et 3 enfants de 0 à 5, les effectifs cumulés sont 5, 32, 95, 133, 147 et 150.

💡 Astuce mémo

Additionner de gauche à droite jusqu’au total

📖 9. Fonctions cumulées et complémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence cumulée : Proportion d’individus dont la valeur est inférieure ou égale à v_i ou qui appartiennent aux classes allant jusqu’à c_i.

★ À maîtriser

📌 La dernière fréquence cumulée vaut toujours 100 %, car elle comprend toutes les observations.

📐 Formule — La fréquence des observations inférieures ou égales à a se note $F(a)=P(X\leq a)$, tandis que la fréquence des observations strictement supérieures à a est $G(a)=1-P(X\leq a)=P(X>a)$.

Compléments

• Dans l’exemple des logements, 64,47 % est la proportion de logements ayant au plus 4 pièces, tandis que 60,82 % est la proportion de logements ayant strictement plus de 3 pièces, c’est-à-dire au moins 4 pièces.

💡 Astuce mémo

F(a) : au plus a ; G(a) : strictement plus que a

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables