Fiche de révision : Fonctions trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Formes d’une fonction trinôme
2. Parabole et variations
3. Images et antécédents
4. Discriminant et équations
5. Signe et inéquations
6. Applications et changements de variable

📖 1. Formes d’une fonction trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction trinôme : Fonction polynôme qui s’écrit sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme canonique d’une fonction trinôme s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📐 Formule — Pour $f(x)=x^2-4x+3$, la forme canonique est $f(x)=(x-2)^2-1$ et la forme factorisée est $f(x)=(x-3)(x-1)$.

Compléments

📐 Formule — Pour $f(x)=x^2-2x-8$, on obtient $f(x)=(x-1)^2-9=(x-4)(x+2)$.

💡 Astuce mémo

Développée pour lire a, b, c ; canonique pour lire le sommet ; factorisée pour lire les racines

📖 2. Parabole et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d’une fonction trinôme du second degré.

📝 Points essentiels

📌 Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet de la parabole a pour coordonnées $(\alpha,\beta)$ et son axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$.

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas et la fonction admet un maximum.

• Pour établir les variations à partir de la forme canonique, on repère l’abscisse du sommet, puis on utilise le signe de a pour déterminer les intervalles de décroissance et de croissance.

💡 Astuce mémo

Signe de a → orientation de la parabole → nature de l’extremum

📖 3. Images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Valeur obtenue en remplaçant x par ce nombre dans l’expression de la fonction.
• Antécédent : Valeur x telle que $f(x)=y$.

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre $f(x)=0$, la forme factorisée est particulièrement adaptée car elle permet d’utiliser la propriété du produit nul.

Compléments

📌 Pour résoudre une équation de la forme $f(x)=k$, on peut choisir la forme développée, canonique ou factorisée selon celle qui rend le calcul le plus simple.

📖 4. Discriminant et équations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$, l’équation du second degré possède deux solutions réelles distinctes.

• Si $\Delta=0$, l’équation du second degré possède une solution réelle double.

• Si $\Delta<0$, l’équation du second degré ne possède aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux solutions ; Δ nul : une solution ; Δ négatif : aucune solution réelle

📖 5. Signe et inéquations

📝 Points essentiels

• Pour déterminer le signe d’un trinôme, on recherche ses racines, on les place dans un tableau de signes, puis on déduit le signe du produit selon le signe du coefficient directeur a.

📌 Pour résoudre une inéquation, on transforme l’expression en une étude de signe puis on conserve les intervalles où cette expression est positive ou négative selon l’inégalité.

📖 6. Applications et changements de variable

★ À maîtriser

📌 Pour étudier la position relative de deux courbes représentatives, on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$.

• Dans une étude économique, le bénéfice est calculé comme la différence entre la recette et le coût total de production, puis son signe permet de déterminer quand l’entreprise est bénéficiaire.

Compléments

• Pour déterminer les positions relatives de deux courbes, on calcule la différence des fonctions, on étudie son signe, puis on interprète ce signe graphiquement.

• Pour résoudre une équation se ramenant au second degré, on pose une nouvelle variable, on résout l’équation du second degré obtenue, puis on vérifie les valeurs dans l’équation initiale.

💡 Astuce mémo

Différence des fonctions → signe → position relative ou bénéfice

📊 Tableaux de synthèse

Formes algébriques et usages