Fiche de révision : Calcul algébrique et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et opérations
2. Fractions et nombres rationnels
3. Racines carrées et nombres réels
4. Développement et factorisation
5. Inégalités et équations
6. Signes des produits et quotients
7. Fonctions affines et vocabulaire
8. Fonctions affines et polynômes
9. Limites et dérivation
10. Exponentielle, logarithme et intégrales
11. Suites et variations
12. Suites arithmétiques et sommes
13. Suites géométriques et modélisation
14. Statistique et probabilités
15. Schéma et loi binomiale
16. Applications et exercices corrigés

📖 1. Nombres relatifs et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : regroupent les nombres entiers positifs, négatifs et zéro.
• Nombres opposés : Deux nombres sont opposés lorsque leur somme est nulle, ce qui signifie qu’ils ont la même distance à zéro et des signes contraires.
• Entiers naturels : sont les nombres utilisés pour compter et comprennent notamment 0, 1, 2 et 3.
• Inverse : est $\frac{1}{a}$, car le produit d’un nombre et de son inverse vaut 1.

📝 Points essentiels

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on conserve leur signe commun et on additionne leurs distances à zéro, tandis que pour des signes différents, on conserve le signe de la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances.

📐 Formule — Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé : $a-b=a+(-b)$.

📌 Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes contraires est négatif.

📌 Dans une multiplication de plusieurs nombres relatifs, le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif s’il est impair.

💡 Astuce mémo

Même signe : on additionne les distances ; signes contraires : on les soustrait.

📖 2. Fractions et nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^*$, donc $b\neq0$.
• Fraction irréductible : est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

📝 Points essentiels

📌 Deux quotients $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, avec $b\neq0$ et $d\neq0$, sont égaux si et seulement si leurs produits en croix sont égaux : $a\times d=b\times c$.

📌 Pour comparer deux fractions, on compare leurs numérateurs si elles ont le même dénominateur positif, on inverse l’ordre des dénominateurs si elles ont le même numérateur positif, et on les réduit au même dénominateur si leurs dénominateurs sont différents.

📐 Formule — Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, on utilise $\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=\frac{a+b}{d}$, tandis que pour multiplier deux fractions, on utilise $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

📐 Formule — Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Égalité, comparaison, opérations, inverse.

📖 3. Racines carrées et nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : est formé de tous les nombres rationnels et irrationnels.
• Racine carrée : Pour $a\geq0$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$, c’est-à-dire $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$.
• Carré parfait : est un entier positif dont la racine carrée est un entier.

📝 Points essentiels

📌 Dans $\mathbb{R}$, la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas, car le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul.

📐 Formule — Pour $a\geq0$ et $b>0$, les racines carrées vérifient $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📌 En général, la somme de deux racines carrées ne se simplifie pas par séparation : $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$.

💡 Astuce mémo

Le produit et le quotient se séparent ; la somme des racines ne se sépare pas.

📖 4. Développement et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : consiste à le transformer en une somme ou une différence.
• Factorisation : consiste à la transformer sous la forme d’un produit de facteurs.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distributivité simple donne $a(b+c)=ab+ac$ et $a(b-c)=ab-ac$.

📐 Formule — La double distributivité donne $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📌 Pour factoriser par facteur commun, on repère le nombre, la variable ou le bloc parenthésé présent dans tous les termes, puis on le place devant une parenthèse.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 5. Inégalités et équations

📝 Points essentiels

• Si $a<b$, ajouter ou soustraire un même réel aux deux membres conserve le sens de l’inégalité.

• Si $a<b$, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement positif conserve le sens de l’inégalité.

• Si $a<b$, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif inverse le sens de l’inégalité.

📐 Formule — Une équation du premier degré se ramène à $ax+b=0$ avec $a\neq0$ et possède l’unique solution $x=-\frac{b}{a}$.

📌 Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul : $A\times B=0\Longleftrightarrow A=0\text{ ou }B=0$.

📌 Pour $x^2=a$, il y a deux solutions réelles $x=\pm\sqrt a$ si $a>0$, une solution $x=0$ si $a=0$, et aucune solution réelle si $a<0$.

💡 Astuce mémo

Multiplier ou diviser par un négatif entraîne l’inversion du sens.

📖 6. Signes des produits et quotients

📝 Points essentiels

📌 Un quotient $\frac{A}{B}$ est nul si et seulement si $A=0$ et $B\neq0$ ; les valeurs qui annulent $B$ sont interdites.

• Pour résoudre une inéquation produit, on trouve les racines des facteurs, on les ordonne, on remplit le tableau de signes de chaque facteur, puis on détermine le signe du produit.

📐 Formule — Le facteur affine $ax+b$, avec $a\neq0$, s’annule en $x=-\frac{b}{a}$ et possède le signe de $a$ pour les valeurs supérieures à cette racine.

• Pour résoudre une inéquation quotient, on détermine les valeurs interdites, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur, puis on exclut les valeurs interdites des intervalles solutions.

💡 Astuce mémo

Racines, ordre, signes des facteurs, signe global, solutions.

📖 7. Fonctions affines et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : associe à tout nombre $x\in D$ un unique nombre réel noté $f(x)$.
• Domaine de définition : est l’ensemble des nombres réels pour lesquels la fonction est définie.
• Fonction affine : est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont des réels, et sa représentation graphique est une droite.

★ À maîtriser

📌 Dans une fonction, $f(x)$ est l’image de $x$, tandis que $x$ est un antécédent de $f(x)$.

• Dans une fonction affine $f(x)=ax+b$, $a$ est le coefficient directeur et $b$ est l’ordonnée à l’origine, correspondant au point $\left(0,b\right)$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux points distincts $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$ d’une droite, avec $x_1\neq x_2$, le taux d’accroissement vaut $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

💡 Astuce mémo

L’image part de x ; l’antécédent cherche x à partir de y.

📖 8. Fonctions affines et polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : définie sur ℝ par f(x)=ax+b, sa représentation graphique est une droite, a est son coefficient directeur et b son ordonnée à l’origine.
• Polynôme du second degré : une fonction P(x)=ax²+bx+c avec a≠0, dont la représentation graphique est une parabole.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le taux d’accroissement d’une droite passant par A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂), avec x₁≠x₂, est $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

📐 Formule — La forme canonique d’un polynôme du second degré est $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$; son sommet est S(α,β).

📌 Pour résoudre ax²+bx+c=0, on calcule $\Delta=b^2-4ac$ : si Δ>0, il y a deux racines réelles distinctes; si Δ=0, une racine double; si Δ<0, aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Affine : droite ; second degré : parabole

📖 9. Limites et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : La droite x=a est une asymptote verticale si la limite de f(x) en a vaut +∞ ou −∞.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le nombre dérivé de f en a est $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

📐 Formule — La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, on a (u+v)′=u′+v′, (uv)′=u′v+uv′ et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📌 Si f′ est positive sur un intervalle, f y est croissante; si f′ est négative, f y est décroissante; si f′ s’annule en changeant de signe, f possède un extremum local.

💡 Astuce mémo

La limite décrit le comportement ; la dérivée décrit la variation

📖 10. Exponentielle, logarithme et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f′=f et f(0)=1; elle est strictement positive sur ℝ.
• Logarithme népérien : la fonction réciproque de l’exponentielle sur ]0;+∞[, avec y=ln x équivalent à eʸ=x.
• Primitive : Une fonction dérivable sur I telle que F′(x)=f(x) pour tout x de I.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La dérivée de l’exponentielle composée est $(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}$ et ses limites sont $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.

📐 Formule — La dérivée du logarithme composé est $(\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)}$ pour u(x)>0.

📐 Formule — Si F est une primitive de f sur [a,b], alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle augmente et reste positive ; le logarithme inverse l’exponentielle sur ]0;+∞[

📖 11. Suites et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : une application qui à tout entier naturel n≥n₀ associe un unique réel uₙ; n est le rang et uₙ le terme de rang n.

★ À maîtriser

📌 Une suite définie explicitement donne uₙ directement en fonction de n, tandis qu’une suite définie par récurrence calcule uₙ₊₁ à partir d’un ou plusieurs termes précédents et nécessite un premier terme.

📌 Une suite est croissante si uₙ₊₁≥uₙ, décroissante si uₙ₊₁≤uₙ et constante si uₙ₊₁=uₙ pour tout n considéré.

Compléments

• Pour étudier les variations d’une suite, on étudie le signe de uₙ₊₁−uₙ; si les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer uₙ₊₁/uₙ à 1.

💡 Astuce mémo

Explicite : on calcule un terme ; récurrente : on utilise le précédent

📖 12. Suites arithmétiques et sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : s’il existe un réel r appelé raison tel que uₙ₊₁=uₙ+r pour tout n.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, $u_n=u_0+nr$.

📌 Une suite arithmétique est strictement croissante si r>0, strictement décroissante si r<0 et constante si r=0.

📐 Formule — La somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut $S=\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}$.

💡 Astuce mémo

Terme initial → raison → terme général → somme

📖 13. Suites géométriques et modélisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : s’il existe un réel non nul q appelé raison tel que gₙ₊₁=qgₙ pour tout n.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme g₀ et de raison q, $g_n=g_0q^n$.

📌 Pour g₀>0, une suite géométrique est croissante si q>1, constante si q=1, décroissante si 0<q<1 et ses termes alternent de signe si q≤0.

📐 Formule — Pour q≠1, la somme de n+1 termes d’une suite géométrique de premier terme g₀ vaut $S=g_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Coefficient multiplicateur → évolution géométrique → modélisation

📖 14. Statistique et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-type : mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne et vérifie $\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\bar{x})^2}$.
• Loi binomiale : modélise le nombre de succès obtenus lors de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chaque succès ayant une probabilité p.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une série de valeurs xᵢ d’effectifs nᵢ et d’effectif total N, la moyenne pondérée est $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}n_ix_i$.

📐 Formule — Pour deux événements A et B, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ et $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📐 Formule — Si P(A)>0, la probabilité conditionnelle de B sachant A est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, donc $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$.

📐 Formule — Si X suit B(n,p), alors $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ et $E(X)=np$.

💡 Astuce mémo

Décrire les données → calculer les probabilités → conditionner → modéliser par binomiale

📖 15. Schéma et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma de Bernoulli : Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p et une probabilité d'échec 1 − p.
• Loi binomiale : Si X compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes et de probabilité de succès p, alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si X suit la loi B(n,p), alors, pour tout k ∈ {0,1,…,n}, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule — Pour une variable X suivant la loi binomiale B(n,p), l'espérance mathématique est $E(X)=n\cdot p$.

💡 Astuce mémo

Épreuves indépendantes → nombre de succès → loi binomiale

📖 16. Applications et exercices corrigés

★ À maîtriser

• Pour quatre lancers indépendants d'un dé équilibré à six faces, en considérant l'obtention de la face 6 comme un succès, le nombre X de six suit la loi B(4,1/6).

📐 Formule — Dans cet exemple, la probabilité d'obtenir au moins un six se calcule par l'événement contraire et vaut $P(X\geq1)=1-P(X=0)=\frac{671}{1296}\approx0{,}5177$, soit 51,8 %.

📌 Si une population est répartie entre plusieurs catégories, la probabilité d'un événement s'obtient par la formule des probabilités totales en additionnant les probabilités des intersections catégorie-événement.

• Pour les pièces métalliques, 60 % sont produites par la machine A et 40 % par la machine B, avec respectivement 2 % et 4 % de pièces défectueuses.

📐 Formule — La probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse est $P(D)=0{,}60\times0{,}02+0{,}40\times0{,}04=0{,}028$, soit 2,8 %.

• Pour un sachet de 20 pièces tirées avec remise dans un lot contenant 5 % de pièces défectueuses, le nombre Y de pièces défectueuses suit la loi B(20;0,05).

Compléments

📐 Formule — Dans cet exemple, la probabilité d'obtenir exactement un six est $P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{324}\approx 0{,}3858$, soit 38,6 %.

📐 Formule — Pour les quatre lancers du dé, l'espérance du nombre de six est $E(X)=4\times\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\approx0{,}67$.

📐 Formule — Sachant qu'une pièce est défectueuse, la probabilité qu'elle provienne de la machine A est $P_D(A)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}012}{0{,}028}=\frac{3}{7}\approx0{,}4286$, soit 42,9 %.

📐 Formule — La probabilité qu'un sachet contienne exactement zéro pièce défectueuse est $P(Y=0)=(0{,}95)^{20}\approx0{,}3585$, soit 35,85 %.

📐 Formule — L'espérance du nombre de pièces défectueuses dans un sachet est $E(Y)=20\times0{,}05=1$ pièce.

💡 Astuce mémo

Probabilité totale avant conditionnelle : de la population à la cause

📊 Tableaux de synthèse

Types de fonctions affines

Types de suites