QCM : Calcul algébrique et inéquations — 62 questions

Explication

Les entiers relatifs regroupent les entiers positifs, les entiers négatifs et zéro. Les entiers naturels, eux, ne comprennent pas les entiers négatifs.

Explication

Deux nombres opposés ont des signes contraires et la même distance à zéro, leur somme étant nulle. L’opposé de $-7$ est donc $7$.

Explication

Les termes ont des signes différents : on soustrait leurs distances à zéro et on conserve le signe de la plus grande distance. On obtient donc $8-3=5$ avec le signe négatif.

Explication

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé, selon $a-b=a+(-b)$. L’opposé de $-4$ étant $4$, l’expression devient $6+4$.

Explication

Un nombre rationnel peut s’écrire $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers et $b\neq0$. L’écriture $\frac{5}{0}$ n’est pas définie, tandis que $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels.

Explication

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Ici, $18$ et $24$ ont notamment le diviseur commun $6$, donc la fraction est simplifiable.

Explication

Deux quotients sont égaux si leurs produits en croix sont égaux : $a\times d=b\times c$. Ici, $3\times12=36$ et $4\times9=36$.

Explication

Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur. Ainsi, $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}$.

Explication

Les nombres réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Les rationnels ne constituent donc qu’une partie de l’ensemble $\mathbb{R}$.

Explication

La racine carrée désigne le nombre positif ou nul dont le carré vaut le nombre donné. Comme $7^2=49$, on a $\sqrt{49}=7$, tandis que $\pm7$ représente les deux solutions de l’équation $x^2=49$.

Explication

Dans $\mathbb{R}$, le carré d’un nombre est toujours positif ou nul, donc aucun réel n’a pour carré $-9$. La racine carrée de $-9$ n’existe donc pas parmi les nombres réels.

Explication

La propriété $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ permet de décomposer $12$ en $3\times4$. La séparation d’une racine carrée en une somme de racines n’est pas une règle générale.

Explication

Développer consiste à transformer une multiplication entre facteurs en addition ou soustraction de termes. La transformation inverse, d’une somme vers un produit, correspond à la factorisation.

Explication

Le facteur extérieur multiplie chacun des deux termes de la parenthèse, donc $5(x-3)=5x-15$. Écrire $5x-3$ reviendrait à ne pas multiplier le second terme par 5.

Explication

La double distributivité donne $x^2+5x+2x+10$, qui se réduit en $x^2+7x+10$. Le terme constant provient du produit des deux constantes et vaut donc 10.

Explication

Il s’agit d’une différence de deux carrés : $x^2-5^2=(x-5)(x+5)$. L’écriture $(x-5)^2$ développerait un terme en $-10x$, absent de l’expression donnée.

Explication

Ajouter ou soustraire un même réel aux deux membres conserve le sens de l’inégalité. L’inversion se produit lors d’une multiplication ou d’une division par un nombre négatif.

Explication

La multiplication par un nombre strictement négatif inverse le sens de l’inégalité, d’où $-4a>-4b$. Cette règle distingue un facteur négatif d’un facteur positif, qui conserve le sens.

Explication

L’équation est de la forme $ax+b=0$ avec $a=3$ et $b=-12$, donc $x=-\frac{b}{a}=4$. La valeur $-4$ résulterait d’une erreur de signe.

Explication

Un quotient est nul lorsque son numérateur vaut zéro et que son dénominateur est non nul. La condition $B=0$ est interdite, car une division par zéro n’est pas définie.

Explication

La résolution repose sur les racines des facteurs, leur ordre et l’étude du signe de chaque facteur afin de déterminer le signe du produit. Les valeurs interdites constituent une étape propre aux quotients.

Explication

Le facteur s’annule en $x=-\frac{-6}{2}=3$ et possède le signe de son coefficient directeur positif à droite de cette racine. Il est donc positif lorsque $x>3$.

Explication

Les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites et doivent être retirées des intervalles solutions. Elles ne peuvent pas être incluses, même si l’étude des signes semble favorable autour de ces valeurs.

Explication

Une fonction attribue à chaque élément de son domaine une unique valeur réelle. L’existence d’un unique antécédent pour chaque sortie n’est pas exigée par la définition d’une fonction.

Explication

Le domaine de définition regroupe les nombres réels que l’on peut utiliser comme valeurs d’entrée. Les valeurs de sortie constituent l’image de la fonction, et non son domaine.

Explication

Dans l’égalité $f(3)=7$, la valeur obtenue $7$ est l’image de l’entrée $3$, tandis que $3$ est un antécédent de $7$. Les autres propositions inversent ces rôles ou utilisent des notions qui ne conviennent pas.

Explication

Dans une expression $f(x)=ax+b$, $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine. La droite coupe donc l’axe des ordonnées au point $(0,5)$.

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$, et sa courbe est une parabole. Une expression affine donne une droite, tandis que les autres formes ne correspondent pas à cette définition.

Explication

Le coefficient directeur vaut $\frac{11-2}{4-1}=\frac{9}{3}=3$. L’expression $\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$ inverserait le calcul du taux d’accroissement.

Explication

On utilise $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$. La valeur $4$ correspond à $-b$ sans division par $2a$, ce qui ne donne pas l’abscisse du sommet.

Explication

Lorsque le discriminant est négatif, l’équation du second degré n’a aucune solution réelle. Deux racines réelles distinctes correspondent à $\Delta>0$, tandis qu’une racine double correspond à $\Delta=0$.

Explication

Le nombre dérivé est défini par la limite du quotient des variations lorsque l’accroissement $h$ tend vers zéro. Une variation sur un intervalle non nul décrit plutôt un taux de variation moyen.

Explication

La tangente a pour pente $f'(a)$ et passe par le point $(a,f(a))$, ce qui conduit à l’équation donnée. La valeur $f(a)$ est l’ordonnée du point de contact, et non la pente.

Explication

La dérivée d’un produit suit la règle $(uv)'=u'v+uv'$. Multiplier les dérivées ou les additionner ne tient pas compte des deux contributions nécessaires à la variation du produit.

Explication

Une dérivée positive sur un intervalle indique que la fonction y est croissante. Une dérivée négative indiquerait une décroissance, tandis qu’un extremum local nécessite notamment un changement de signe de la dérivée.

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$, et elle est strictement positive. La fonction proposée avec $f(0)=0$ correspondrait à une autre condition initiale et ne caractériserait pas l’exponentielle.

Explication

La dérivée d’une exponentielle composée est $u'(x)e^{u(x)}$ ; ici, $u'(x)=6x$. Le facteur $3x$ ne correspond pas à la dérivée de $3x^2-1$.

Explication

Le logarithme népérien est défini sur ]0;+\infty[\ et vérifie $y=\ln x$ si et seulement si $e^y=x$. L’exponentielle est définie pour tout réel, mais cela ne rend pas le logarithme défini en $x=0$ ou pour les valeurs négatives.

Explication

La dérivée du logarithme composé est $\frac{u'(x)}{u(x)}$ ; avec $u'(x)=2x$, on obtient $\frac{2x}{x^2+1}$. L’expression $\frac{1}{x^2+1}$ oublie le facteur provenant de la dérivée de la fonction intérieure.

Explication

Une définition explicite fournit directement le terme de rang $n$, alors qu’une définition par récurrence permet de calculer le terme suivant à partir d’un ou plusieurs termes antérieurs et d’un premier terme. Le mode de définition ne dépend pas du sens de variation de la suite.

Explication

Une suite est décroissante lorsque chaque terme est inférieur ou égal au terme précédent, c’est-à-dire lorsque $u_{n+1}\leq u_n$. L’égalité à chaque rang serait nécessaire pour conclure qu’elle est constante.

Explication

Lorsque les termes sont strictement positifs, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ peut être comparé à $1$ pour déterminer les variations. Cette méthode ne s’applique pas de la même manière si les termes peuvent être nuls ou négatifs.

Explication

Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut la raison $r$, donc $u_{n+1}=u_n+r$. La relation multiplicative caractérise plutôt une suite géométrique.

Explication

La formule d’une suite arithmétique est $u_n=u_0+nr$ ; ainsi, $u_4=5+4\times3=17$. La valeur $20$ correspondrait à un décalage d’indice ou à une addition supplémentaire de la raison.

Explication

Le signe de la raison détermine les variations : une raison négative rend chaque terme inférieur au précédent. La valeur du premier terme déplace la suite, mais ne modifie pas son sens de variation.

Explication

La somme vaut $\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}$, soit $\frac{10\times(4+31)}{2}=175$. La valeur $350$ oublie de diviser le produit par $2$.

Explication

Une suite est géométrique lorsque le quotient entre deux termes successifs est constant et égal à une raison non nulle $q$. L’ajout d’une constante caractérise plutôt une suite arithmétique.

Explication

Le terme général d’une suite géométrique est $g_n=g_0q^n$, donc ici $g_n=3\times 2^n$. L’expression $3+2n$ correspondrait à une évolution arithmétique.

Explication

Lorsque le premier terme est positif et que $0<q<1$, chaque multiplication par $q$ réduit la valeur du terme, donc la suite décroît. Une raison supérieure à $1$ produirait une croissance.

Explication

La somme de $n+1$ termes, du rang $0$ au rang $n$, vaut $g_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. L’exposant doit être $n+1$, car la somme contient précisément $n+1$ termes.

Explication

La moyenne pondérée tient compte de l’effectif de chaque valeur et se calcule par $\frac{1}{N}\sum n_ix_i$. Diviser par le nombre de valeurs distinctes ignorerait les effectifs.

Explication

L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne, notamment à partir des carrés des écarts à cette moyenne. La moyenne décrit plutôt la position centrale de la série.

Explication

La réunion se calcule avec $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, soit $0,6+0,5-0,2=0,9$. Additionner les deux probabilités sans retrancher l’intersection compterait celle-ci deux fois.

Explication

Par définition, la probabilité de $B$ sachant $A$ est le rapport entre la probabilité de leur intersection et celle de $A$. Le produit $P(A)P_A(B)$ permet ensuite de retrouver $P(A\cap B)$.

Explication

Un schéma de Bernoulli répète des épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès $p$. La dépendance entre les épreuves ou la variation de leurs probabilités ne respecte pas cette définition.

Explication

La variable $X$ compte le nombre de succès obtenus au cours des $n$ épreuves et suit alors la loi binomiale $B(n,p)$. La probabilité $p$ décrit une épreuve individuelle, tandis que $X$ décrit l’ensemble du schéma.

Explication

La loi binomiale combine le nombre de façons de placer les $k$ succès et la probabilité de chaque configuration, d’où $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. La probabilité $p$ seule concerne un succès isolé et ne tient pas compte des $n$ épreuves.

Explication

Pour une loi binomiale, l’espérance vaut $E(X)=n\cdot p$, donc $E(X)=20\times0,3=6$. La valeur $0,3$ est la probabilité d’un succès individuel, pas le nombre moyen de succès.

Explication

Chaque lancer constitue un essai indépendant dont le succès est l’obtention d’un six, avec une probabilité de $\frac{1}{6}$, et il y a quatre essais. Le nombre de résultats non égaux à six ne correspond pas à la variable définie comme le nombre de succès.

Explication

On utilise l’événement contraire : la probabilité d’obtenir au moins un six vaut $1-P(X=0)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{671}{1296}\approx0,5177$. La valeur $\frac{625}{1296}$ correspond à la probabilité de n’obtenir aucun six, et non à celle d’en obtenir au moins un.

Explication

La formule des probabilités totales additionne les probabilités des intersections entre chaque catégorie et l’événement étudié. Une moyenne non pondérée néglige les proportions de production, qui sont nécessaires au calcul.

Explication

La probabilité totale pondère chaque taux de défaut par la part de production correspondante, ce qui donne $0,028$, soit 2,8 %. L’expression $0,60\times0,04+0,40\times0,02$ attribue les taux de défaut aux mauvaises machines.