Fiche de révision : Probabilités et suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Événements et équiprobabilité
2. Probabilités conditionnelles
3. Arbres pondérés
4. Moyenne arithmétique
5. Suites arithmétiques

📖 1. Événements et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Signifie que la probabilité d’un événement est le nombre d’issues de cet événement divisé par le nombre total d’issues.

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité de l’union vérifie $P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)$.

📌 L’intersection A∩B correspond à la réalisation de A et de B, tandis que l’union A∪B correspond à la réalisation de A ou de B.

Compléments

• Dans une classe de 30 élèves, 12 pratiquent le football et 3 pratiquent à la fois le football et le basket ; la probabilité de choisir un élève pratiquant le football est 0,4 et celle de choisir un élève pratiquant les deux sports est 0,1.

💡 Astuce mémo

∩ signifie « et », tandis que ∪ signifie « ou ».

📖 2. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité de A sachant que B est réalisée est $P_B(A)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}$, lorsque P(B) est non nulle.

★ À maîtriser

📌 Lorsque P(B) est non nulle, on a $P(A∩B)=P(B)\times P_B(A)$, et lorsque P(A) est non nulle, on a $P(A∩B)=P(A)\times P_A(B)$.

Compléments

📌 La probabilité conditionnelle d’un événement et de son contraire vérifie $P_B(A)+P_B(\overline{A})=1$.

• Dans une entreprise de 200 salariés, 120 sont des femmes dont 30 fument ; la probabilité qu’une femme fume est $P_H(R)=\frac{30}{120}=0{,}25$, soit 25 %.

💡 Astuce mémo

Condition connue → probabilité ajustée.

📖 3. Arbres pondérés

★ À maîtriser

• Dans un arbre pondéré, on inscrit une probabilité conditionnelle sur chaque branche et la somme des probabilités issues d’un même nœud est toujours égale à 1.

Compléments

📐 Formule — Dans l’exemple d’arbre pondéré, les probabilités des chemins sont obtenues par multiplication : $0{,}7\times0{,}6=0{,}42$, $0{,}7\times0{,}4=0{,}28$, $0{,}3\times0{,}2=0{,}06$ et $0{,}3\times0{,}8=0{,}24$.

💡 Astuce mémo

Branche → multiplication ; nœud → somme égale à 1.

📖 4. Moyenne arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est leur demi-somme, donnée par $m=\frac{a+b}{2}$, et elle est à égale distance des deux nombres.

💡 Astuce mémo

Le nombre moyen se place exactement au milieu de a et b.

📖 5. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation de récurrence d’une suite arithmétique est $u_{n+1}=u_n+r$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, le terme général est $u_n=u_0+n\times r$.

Compléments

• Pour reconnaître trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, il faut vérifier que les différences entre termes consécutifs sont constantes.

• Avec u₀=2 et r=3, les termes successifs sont u₁=5, u₂=8 et u₃=11, soit la suite 2, 5, 8, 11.

• Si Marc possède 90 € et économise 15 € par mois, sa suite d’épargne est $u_n=90+15n$ et son épargne au dix-huitième mois est $u_{18}=360$.

💡 Astuce mémo

Terme initial → ajout constant r → terme suivant.

📊 Tableaux de synthèse

Formules des suites arithmétiques