Fiche de révision : Probabilités et variables aléatoires

📋 Plan du Cours

1. Rôle et démarches statistiques
2. Population, variables et graphiques
3. Indicateurs de position et dispersion
4. Événements et calcul des probabilités
5. Variables aléatoires et leurs lois
6. Densité et fonction de répartition continues
7. Espérance et transformations
8. Linéarité et produits d’espérances
9. Variance et écart-type
10. Quantiles et seuils de probabilité
11. Lois conjointes et densité jointe
12. Covariance et corrélation
13. Corrélation de Spearman
14. Applications des probabilités et des variables
15. Lois discrètes de comptage
16. Lois continues positives et uniformes
17. Loi normale et approximations
18. Lois de référence pour l’inférence
19. Cauchy et limites des moments
20. Calcul et choix des lois

📖 1. Rôle et démarches statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Discipline qui permet de collecter, organiser et analyser des données pour comprendre la variabilité et aider à la décision.

★ À maîtriser

📌 La statistique descriptive organise, représente et résume les données observées, tandis que la statistique inférentielle utilise un échantillon pour tirer des conclusions sur une population en quantifiant l’incertitude.

📌 Les probabilités partent d’un modèle connu pour étudier les observations possibles, tandis que la statistique inférentielle utilise les observations d’un échantillon pour estimer une caractéristique inconnue de la population.

Compléments

📌 Les statistiques désignent des données chiffrées, la statistique désigne une discipline et une statistique désigne une quantité calculée sur un échantillon.

• Une démarche statistique consiste à poser une question biologique, planifier l’expérience, recueillir et vérifier les données, décrire et explorer les résultats, puis analyser et conclure en discutant les limites.

• La statistique aide à distinguer les effets biologiques de la variabilité naturelle et de l’incertitude liée à l’échantillonnage.

💡 Astuce mémo

Les probabilités vont du modèle aux observations ; l’inférence remonte des observations au modèle.

📖 2. Population, variables et graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble des individus concernés par l’étude.
• Échantillon : Ensemble des individus effectivement étudiés.
• Variable : Caractéristique mesurée ou observée sur les individus étudiés.

★ À maîtriser

📌 Une variable quantitative discrète prend des valeurs séparées généralement obtenues par comptage, tandis qu’une variable quantitative continue peut varier dans un intervalle et est mesurée avec une précision limitée.

📌 Une variable qualitative nominale regroupe des catégories sans ordre naturel, tandis qu’une variable qualitative ordinale regroupe des catégories ordonnées.

• Un diagramme en barres convient aux catégories, un histogramme et une boîte à moustaches aux mesures quantitatives, et un nuage de points à deux mesures quantitatives.

Compléments

• Coder des catégories par des nombres comme 1, 2 et 3 ne les transforme pas en quantités mesurables.

📌 Pour des classes d’histogramme de largeurs différentes, il faut comparer les densités d’effectif, égales à l’effectif divisé par la largeur, afin que l’aire représente l’effectif.

• Dans une boîte à moustaches selon la règle de Tukey, la boîte va de Q1 à Q3 et les moustaches rejoignent les valeurs observées extrêmes situées dans $[Q_1-1{,}5\,IQR;Q_3+1{,}5\,IQR]$ ; les valeurs au-delà sont affichées séparément.

• Un point au-delà des moustaches d’une boîte à moustaches est une valeur à examiner, mais pas automatiquement une erreur.

📖 3. Indicateurs de position et dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Valeur ou catégorie ayant l’effectif le plus élevé.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne empirique de n observations est $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

• Pour n observations ordonnées, la médiane usuelle est la valeur centrale si n est impair et la moyenne des deux valeurs centrales si n est pair.

• La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne, tandis que la moyenne utilise toutes les observations.

📐 Formule - L’écart interquartile est $IQR=Q_3-Q_1$ et mesure la largeur de l’intervalle couvrant approximativement les 50 % centraux des observations.

📐 Formule - La variance empirique avec dénominateur n est $s_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$ et l’écart-type empirique est $s_n=\sqrt{s_n^2}$.

📌 Diviser la somme des carrés des écarts par n décrit la dispersion des données observées, tandis que la division par n−1 sert souvent à estimer la variance de la population.

Compléments

📌 Pour des mesures continues regroupées en classes de largeurs différentes, la classe modale se choisit en comparant les densités d’effectif plutôt que les seuls effectifs.

• La moyenne conserve l’unité de la variable, ne correspond pas nécessairement à une valeur observée et est sensible aux valeurs extrêmes.

📐 Formule - L’étendue est $e=x_{\max}-x_{\min}$ et s’exprime dans la même unité que la variable.

• Pour des observations indépendantes et de même loi, la variance calculée avec le dénominateur n−1 est un estimateur sans biais de la variance de population si celle-ci est finie, mais l’écart-type corrigé n’est généralement pas sans biais.

• Dans l’exemple fictif des groupes placebo et paracétamol, les baisses moyennes sont respectivement de 0,30 °C et 0,65 °C, soit une différence de 0,35 °C ; cette différence seule n’établit pas l’efficacité du traitement.

💡 Astuce mémo

La moyenne est un point d’équilibre, tandis que la médiane marque le centre des données ordonnées.

📖 4. Événements et calcul des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Nombre P(A) compris entre 0 et 1 associé à chaque événement A, avec P(Ω)=1.
• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ; lorsque P(B)>0, cela équivaut à P(A|B)=P(A).
• Événement : Ensemble de résultats d’une expérience aléatoire correspondant à une condition donnée.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des événements deux à deux incompatibles, $P\left(\bigcup_i A_i\right)=\sum_i P(A_i)$ ; en particulier, si A et B sont incompatibles, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

📐 Formule - La probabilité d’une union vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📐 Formule - Pour P(B)>0, la probabilité conditionnelle est $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

📐 Formule - Si B1,…,Bn forment une partition de Ω et ont des probabilités positives, alors $P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)$.

📐 Formule - Pour P(A)>0 et P(B)>0, la formule de Bayes est $P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}$.

Compléments

📌 Les probabilités conditionnelles P(A|B) et P(B|A) sont généralement différentes.

📐 Formule - Si A1,…,An forment une partition et P(Ai)>0, alors $P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A_j)P(B\mid A_j)}$.

📌 Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble et, s’ils ont tous deux une probabilité positive, ils ne sont pas indépendants.

📖 5. Variables aléatoires et leurs lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d’une expérience aléatoire.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition de X est $F(x)=P(X\leq x)$.

★ À maîtriser

📌 Une variable discrète prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs et attribue une probabilité à chacune, tandis qu’une variable à densité décrit une mesure dont les probabilités se calculent sur des intervalles.

📐 Formule - Pour une variable à densité f, la probabilité d’un intervalle est $P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)\,dx$.

• Une densité f est positive ou nulle et son intégrale sur ℝ vaut 1 ; elle peut dépasser 1, et pour une variable à densité P(X=x)=0 pour toute valeur x.

Compléments

📌 Une variable aléatoire X désigne la variable avant observation, tandis que x désigne une valeur observée, appelée réalisation.

📐 Formule - Pour une variable discrète prenant les valeurs xi, la probabilité associée à chaque valeur est $p_i=P(X=x_i)$.

📐 Formule - Pour une densité continue en x et un petit intervalle de largeur δ>0, $P(x\leq X\leq x+\delta)\approx f(x)\delta$.

• Pour une loi discrète, les probabilités pi sont positives ou nulles et leur somme vaut 1 ; la probabilité que X appartienne à un ensemble de valeurs est la somme des probabilités correspondantes.

• Une fonction de répartition est comprise entre 0 et 1, est non décroissante et continue à droite, et tend vers 0 en −∞ et vers 1 en +∞.

• Dans une loi discrète, la hauteur d’une barre représente P(X=xi), tandis que chaque saut de la fonction de répartition correspond à une probabilité ponctuelle et F(x) cumule les probabilités des valeurs inférieures ou égales à x.

📖 6. Densité et fonction de répartition continues

★ À maîtriser

📌 La densité f décrit la répartition des probabilités par des aires, tandis que la fonction de répartition F donne la probabilité cumulée jusqu’à x, soit F(x)=P(X≤x).

Compléments

• La fonction de répartition F ne diminue jamais, alors que la densité peut augmenter puis diminuer.

💡 Astuce mémo

La densité dessine les aires ; la répartition les cumule.

📖 7. Espérance et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire est la moyenne de ses valeurs possibles pondérée par leurs probabilités, calculée par somme dans le cas discret et par intégrale dans le cas continu, si E(|X|)<∞.
• Théorème de transfert : Le théorème de transfert calcule l’espérance de h(X) directement à partir de la loi de X, par somme discrète ou intégrale continue, si E(|h(X)|)<∞.

📝 Points essentiels

• Pour le nombre de graines germées parmi deux, l’espérance vaut 1,60 graine par paire et représente une moyenne sur un grand nombre de répétitions indépendantes, non une valeur possible pour une paire unique.

📌 En général, E[h(X)] n’est pas égal à h(E(X)).

📖 8. Linéarité et produits d’espérances

★ À maîtriser

📌 Pour une variable d’espérance finie et des constantes a et b, E(aX+b)=aE(X)+b.

📌 Pour deux variables d’espérance finie, E(X+Y)=E(X)+E(Y), même si X et Y ne sont pas indépendantes.

Compléments

📌 En général, E(XY) n’est pas égal à E(X)E(Y), mais cette égalité vaut si X et Y sont indépendantes et intégrables.

💡 Astuce mémo

Somme : toujours linéaire ; produit : seulement si indépendance.

📖 9. Variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : La variance d’une variable X, si E(X²)<∞, est Var(X)=E[(X−E(X))²] et mesure sa dispersion autour de sa moyenne théorique.
• Écart-type : L’écart-type de X est la racine carrée de sa variance et conserve l’unité de X, contrairement à la variance exprimée dans l’unité au carré.

📝 Points essentiels

📌 L’écart-type théorique décrit la dispersion de la loi de probabilité, tandis que l’écart-type empirique décrit les observations et peut servir à estimer l’écart-type théorique.

📐 Formule - La formule de König–Huygens donne $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ lorsque E(X²)<∞.

📌 La variance est non négative et une transformation affine vérifie Var(aX+b)=a²Var(X).

📌 Pour deux variables de variances finies, Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y), et leur covariance est nulle si elles sont indépendantes.

📖 10. Quantiles et seuils de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantile : Pour 0<p<1, le quantile d’ordre p est q_p=inf{x∈R : F(x)≥p}, le premier seuil où la probabilité cumulée atteint ou dépasse p.

📝 Points essentiels

📌 Si F est continue et strictement croissante, le quantile q_p vérifie F(q_p)=p et q_p=F^{-1}(p).

• La médiane est le quantile d’ordre 0,50 et les quartiles sont les quantiles d’ordres 0,25, 0,50 et 0,75.

📖 11. Lois conjointes et densité jointe

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition conjointe : La fonction de répartition conjointe de X et Y est F_{X,Y}(x,y)=P(X≤x,Y≤y), soit la probabilité que les deux conditions soient satisfaites simultanément.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un couple de densité jointe f_{X,Y}, la probabilité du rectangle [a,b]×[c,d] est $P(a≤X≤b,c≤Y≤d)=\int_a^b\int_c^d f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx$.

Compléments

📌 Les distributions séparées de X et Y ne suffisent pas à décrire leur dépendance conjointe.

• Dans une densité jointe, les zones élevées concentrent davantage de probabilité par unité de surface et la probabilité d’une région correspond au volume sous la surface au-dessus de cette région.

💡 Astuce mémo

Une surface en relief : les zones hautes au-dessus d’une région forment le volume de probabilité.

📖 12. Covariance et corrélation

🔑 Notions clés & Définitions

• Corrélation de Pearson : Si les variances sont finies et strictement positives, la corrélation de Pearson est ρ_{X,Y}=Cov(X,Y)/(σ_Xσ_Y), elle est sans unité et comprise entre −1 et 1.

★ À maîtriser

📌 L’indépendance implique une covariance nulle si les variances sont finies, mais une covariance nulle n’implique pas l’indépendance.

Compléments

• Une covariance positive indique que les écarts aux moyennes tendent à avoir le même signe, tandis qu’une covariance négative indique qu’ils tendent à avoir des signes opposés.

📌 Une covariance nulle indique l’absence d’association linéaire, mais une dépendance non linéaire reste possible.

• Une corrélation proche de +1 indique une forte association linéaire croissante, une corrélation proche de −1 une forte association linéaire décroissante et une corrélation proche de 0 une faible association linéaire.

📌 Une corrélation ne démontre pas une causalité et le nuage de points doit être examiné, car les valeurs extrêmes et les relations non linéaires peuvent rendre le coefficient trompeur.

💡 Astuce mémo

Covariance nulle n’implique pas indépendance ; corrélation décrit l’association linéaire.

📖 13. Corrélation de Spearman

🔑 Notions clés & Définitions

• Corrélation de Spearman : Le coefficient de Spearman est la corrélation de Pearson calculée sur les rangs et décrit une association monotone, qui n’est pas nécessairement linéaire.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour n couples observés sans ex æquo, si d_i est la différence entre les deux rangs de l’individu i, le coefficient de Spearman vaut $r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}$ et appartient à [−1,1].

Compléments

📌 En présence d’ex æquo, on attribue des rangs moyens puis on calcule leur corrélation de Pearson.

• Le coefficient de Spearman n’est pas défini si tous les rangs d’une des deux variables sont identiques.

📖 14. Applications des probabilités et des variables

📝 Points essentiels

• Dans la comparaison avant-après de six patients, les baisses de température observées sont 0,4 ; 0,8 ; 0,6 ; 1,0 ; 0,6 et 0,6 °C, avec une moyenne d’environ 0,67 °C et une médiane de 0,6 °C.

📌 Une comparaison avant-après sans groupe témoin ne suffit pas à attribuer la baisse de température au médicament, car la fièvre peut évoluer spontanément.

• Parmi 200 patients, 36 rapportent des nausées, 24 des maux de tête et 10 les deux ; la probabilité d’au moins un symptôme est 0,25, celle d’aucun symptôme est 0,75 et P(N|C) vaut environ 0,417.

• Dans un essai de 200 patients répartis en deux groupes de 100, les proportions d’amélioration observées sont 0,72 sous le nouveau traitement et 0,60 sous la référence, soit une différence de 12 points de pourcentage et un rapport de 1,20.

📌 Une différence observée entre traitements ne suffit pas à démontrer une supériorité : il faut quantifier l’incertitude et examiner la pertinence clinique.

• Pour les lignes L1, L2 et L3 représentant respectivement 50 %, 30 % et 20 % de la production avec des taux de défaut de 1 %, 2 % et 4 %, le taux global de défaut est 1,9 % et P(L3|D) vaut environ 42,1 %.

• Pour le nombre hebdomadaire de prises oubliées de loi (0,50 ; 0,30 ; 0,15 ; 0,05) aux valeurs 0, 1, 2 et 3, P(X≥1)=0,50 et P(X≤1)=0,80.

• Pour cette loi de prises oubliées, l’espérance est 0,75, la variance 0,7875 et l’écart-type environ 0,887 prise par semaine.

• Pour un temps de dissolution uniforme sur [10,20] minutes, P(T≤15)=0,50, P(12≤T≤18)=0,60, le quantile d’ordre 0,90 vaut 19 minutes et l’espérance vaut 15 minutes.

• Dans l’exemple des concentrations 0, 1, 2, 3 et 4 et réponses 0, 3, 4, 3 et 0, la corrélation de Pearson est nulle alors que la relation est exactement y_i=4−(x_i−2)², donc non linéaire et non monotone.

• Coder les traitements placebo, médicament A et médicament B par 0, 1 et 2 ne transforme pas la variable qualitative nominale en variable quantitative : ces nombres restent des étiquettes.

• Dans l’étude de 40 souris, le traitement est qualitatif nominal, la masse corporelle quantitative continue, le nombre de parasites quantitatif discret et l’intensité de l’inflammation qualitative ordinale.

• Pour les hauteurs 8, 10, 10, 12, 14 et 18 cm, la moyenne vaut 12 cm, la médiane 11 cm et le mode 10 cm.

• Avec la convention Q1=x(⌈n/4⌉) et Q3=x(⌈3n/4⌉), les hauteurs de l’exemple donnent Q1=10 cm, Q3=14 cm et un écart interquartile de 4 cm.

• Pour les hauteurs de l’exemple, la variance empirique avec dénominateur n vaut environ 10,67 cm² et l’écart-type environ 3,27 cm ; avec correction, ils valent 12,8 cm² et 3,58 cm.

• Sur 100 plants, 30 présentent des feuilles jaunes, 20 des taches et 10 les deux ; la probabilité d’au moins un symptôme est 0,40, d’aucun symptôme 0,60 et de feuilles jaunes sans taches 0,20.

📖 15. Lois discrètes de comptage

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme discrète : Variable X dont chaque valeur de {1, …, n} a la même probabilité, soit $P(X=k)=\frac{1}{n}$ pour k = 1, …, n.
• Loi de Bernoulli : Variable qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, avec $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$, où 0 ≤ p ≤ 1.
• Loi de Poisson : Variable de paramètre λ > 0 telle que $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ pour k = 0, 1, 2, …, et dont l’espérance comme la variance valent λ.
• Loi géométrique : Dans la convention où X compte les essais, succès compris, jusqu’au premier succès, X suit G(p) et $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ pour k = 1, 2, …, avec $E(X)=\frac{1}{p}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$.
• Loi binomiale négative : Pour des essais indépendants de probabilité de succès p, X compte les essais, succès compris, nécessaires pour obtenir r succès, et $P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$ pour k = r, r + 1, ….

★ À maîtriser

📌 Le nombre de succès parmi n épreuves indépendantes ayant chacune la même probabilité p de succès suit une loi binomiale B(n,p).

Compléments

📐 Formule - Pour une loi uniforme discrète sur {1, …, n}, $E(X)=\frac{n+1}{2}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{n^2-1}{12}$.

📐 Formule - Pour une variable de Bernoulli(p), $E(X)=p$ et $\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$.

📐 Formule - Pour X suivant B(n,p), $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour k = 0, …, n, et $E(X)=np$, $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$.

• La somme de variables de Poisson indépendantes de paramètres λ₁ et λ₂ suit une loi de Poisson de paramètre λ₁ + λ₂.

• Dans R, la loi géométrique compte les échecs Y = X − 1 avant le premier succès, donc rgeom produit Y et il faut ajouter 1 pour obtenir le nombre d’essais X.

• Si X suit B(n,p), l’approximation normale $X\approx N(np,np(1-p))$ est utilisée lorsque np et n(1−p) sont suffisamment grands, avec comme repère np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5.

• Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ suffisamment grand, on peut l’approcher par $N(\lambda,\lambda)$; pour la correction de continuité, $P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)$.

📖 16. Lois continues positives et uniformes

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme continue : Pour a < b, X suit la loi uniforme sur [a,b] si sa densité vaut $f(x)=\frac{1}{b-a}$ pour a ≤ x ≤ b et 0 ailleurs; des intervalles de même longueur inclus dans [a,b] ont la même probabilité.
• Loi exponentielle : Pour λ > 0, X suit Exp(λ) si sa densité vaut $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ pour x ≥ 0 et 0 pour x < 0; son taux instantané d’événement est constant.
• Loi Gamma : Pour α > 0 et β > 0, X suit Gamma(α,β) de forme α et de taux β si sa densité est $f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$ pour x > 0.

★ À maîtriser

📌 La loi exponentielle est sans mémoire : pour s,t ≥ 0, $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$.

Compléments

📐 Formule - Pour X uniforme sur [a,b], $E(X)=\frac{a+b}{2}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$.

📐 Formule - Pour X uniforme sur [a,b], sa fonction de répartition vaut 0 si x < a, $\frac{x-a}{b-a}$ si a ≤ x ≤ b, et 1 si x > b; son quantile d’ordre p est $q_p=a+p(b-a)$ pour 0 < p < 1.

📐 Formule - Pour X suivant Exp(λ), $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ et $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ pour x ≥ 0; $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}$.

📌 La somme de r durées exponentielles indépendantes de même taux λ suit Gamma(r,λ) dans le paramétrage forme–taux.

📐 Formule - Pour X suivant Gamma(α,β) au paramétrage forme–taux, $E(X)=\frac{\alpha}{\beta}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{\alpha}{\beta^2}$; dans R, l’échelle vaut 1/β.

📖 17. Loi normale et approximations

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Une variable suit N(μ,σ²), avec σ > 0, si sa densité est $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$; μ fixe son centre et σ sa dispersion.

★ À maîtriser

📐 Formule - La standardisation d’une variable X suivant N(μ,σ²) donne $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0{,}1)$, et $P(X\le x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$.

• Le théorème central limite affirme que, pour des variables indépendantes de même loi, de moyenne μ et de variance finie σ² > 0, la moyenne d’échantillon standardisée converge vers N(0,1) lorsque n augmente.

Compléments

📐 Formule - Pour X suivant N(μ,σ²), $E(X)=\mu$ et $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$; environ 68,3 %, 95 % et 99,7 % des valeurs se trouvent respectivement à moins de 1σ, 1,96σ et 3σ de μ.

📐 Formule - Pour Z suivant N(0,1), $\phi(-z)=\phi(z)$ et $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$; pour z ≥ 0, $P(|Z|\le z)=2\Phi(z)-1$ et $P(|Z|\ge z)=2[1-\Phi(z)]$.

📌 Une transformation affine d’une variable normale, aX+b avec a ≠ 0, suit $N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$; si a = 0, elle est constante égale à b.

📌 La somme de variables normales indépendantes suit une loi normale dont la moyenne est la somme des moyennes et la variance est la somme des variances.

📐 Formule - Pour un échantillon suffisamment grand satisfaisant les hypothèses du théorème central limite, $\bar X\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$ et l’écart-type de la moyenne vaut $\frac{\sigma}{\sqrt n}$.

💡 Astuce mémo

La cloche normale se resserre pour les moyennes d’échantillons, tandis que les observations individuelles gardent leur distribution.

📖 18. Lois de référence pour l’inférence

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi du khi-deux : Si Z₁, …, Zν sont des variables indépendantes suivant N(0,1), alors $Y=\sum_{i=1}^{\nu}Z_i^2\sim\chi^2_{\nu}$, où ν est le nombre de degrés de liberté.
• Loi de Student : Si Z suit N(0,1) et U suit χ²ν indépendamment, alors $T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t_\nu$; cette loi est symétrique autour de zéro et possède des queues plus épaisses que la normale.
• Loi de Fisher–Snedecor : Si U et V sont des khi-deux indépendantes à ν₁ et ν₂ degrés de liberté, alors $F=\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F(\nu_1,\nu_2)$.

★ À maîtriser

📌 Pour un échantillon indépendant de loi normale, la statistique $\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}$ suit tₙ₋₁ lorsque S est l’écart-type corrigé de l’échantillon.

Compléments

📐 Formule - Pour Y suivant χ²ν, Y ≥ 0, $E(Y)=\nu$ et $\operatorname{Var}(Y)=2\nu$; la somme de khi-deux indépendants a pour degrés de liberté la somme des degrés de liberté.

📌 Pour un échantillon indépendant de loi N(μ,σ²), la variance corrigée S² vérifie $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$.

📐 Formule - La loi de Student converge vers N(0,1) lorsque ν augmente; $E(T)=0$ si ν > 1 et $\operatorname{Var}(T)=\frac{\nu}{\nu-2}$ si ν > 2.

📌 Pour F suivant F(ν₁,ν₂), son inverse suit F(ν₂,ν₁), et si T suit tν, alors T² suit F(1,ν).

• La loi de Fisher est utilisée pour comparer des variances sous normalité ainsi qu’en analyse de variance et en régression.

📖 19. Cauchy et limites des moments

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Cauchy : La loi de Cauchy de position m et d’échelle s > 0 a pour densité $f(x)=\frac{s}{\pi[(x-m)^2+s^2]}$; elle est symétrique autour de m et sa médiane vaut m.

📝 Points essentiels

• La loi de Cauchy n’a ni espérance ni variance définies, et la loi de Student à un degré de liberté est une loi de Cauchy standard.

💡 Astuce mémo

Symétrie autour de m, mais ni moyenne ni variance : la Cauchy sépare symétrie et existence des moments.

📖 20. Calcul et choix des lois

★ À maîtriser

• Dans R, les préfixes d, p, q et r servent respectivement à obtenir une probabilité ou densité, une fonction de répartition, un quantile et une simulation.

• Pour choisir une loi, il faut déterminer ce que représente la variable, examiner ses valeurs possibles, vérifier la plausibilité des hypothèses du modèle, puis confronter celui-ci aux graphiques, à la dispersion et aux valeurs extrêmes des données.

📌 Une loi de probabilité est un modèle du phénomène; son choix doit être justifié par le contexte et confronté aux observations.

Compléments

📌 Dans R, d… donne P(X=x) pour une variable discrète, mais la densité f(x) pour une variable continue.

• Un quantile discret correspond au premier seuil où la fonction de répartition atteint ou dépasse la probabilité demandée, et ne vérifie donc pas toujours F(qp)=p.

• Pour 20 patients indépendants ayant chacun une probabilité 0,10 d’effet indésirable, le nombre de patients concernés suit B(20,0,10), son espérance vaut 2 et la probabilité d’au moins un cas est environ 0,8784.

• Pour un échantillon normal de taille 10, de moyenne observée 50 mg/L et d’écart-type corrigé 4 mg/L, l’intervalle de confiance à 95 % de la moyenne utilisant t₉;₀,₉₇₅ ≈ 2,262 est [47,14 ; 52,86] mg/L.

💡 Astuce mémo

Décrire la variable → vérifier ses valeurs possibles → contrôler les hypothèses → confronter le modèle aux données.