QCM : Probabilités et variables aléatoires (54 questions)

Explication

La statistique sert à collecter, organiser et analyser les données afin de comprendre leur variabilité et d’éclairer la décision. La collecte seule, la représentation seule et la certitude causale réduisent ou déforment ce rôle.

Explication

La statistique inférentielle utilise un échantillon pour tirer des conclusions sur une population et quantifier l’incertitude. La statistique descriptive résume les observations, tandis que les probabilités partent d’un modèle connu.

Explication

Les probabilités partent d’un modèle connu pour étudier les observations possibles, alors que l’inférence part des observations d’un échantillon pour estimer une caractéristique inconnue. La statistique descriptive résume les données observées sans effectuer cette estimation de population.

Explication

La population est l’ensemble des individus concernés par l’étude, ici tous les plants de la serre. Les plants prélevés forment l’échantillon, les hauteurs sont des mesures et les données complètes ne redéfinissent pas la population.

Explication

Un nombre obtenu par comptage prend des valeurs séparées et constitue une variable quantitative discrète; une masse peut varier dans un intervalle et est mesurée avec une précision limitée, donc elle est continue. Les catégories ordinales ou nominales ne conviennent pas à ces mesures.

Explication

Les degrés de douleur suivent un ordre naturel, ce qui en fait une variable qualitative ordinale; les groupes sanguins sont des catégories sans ordre naturel, donc nominaux. Les catégories ne deviennent pas quantitatives du fait de leur classement ou de leur codage.

Explication

Les catégories se représentent par un diagramme en barres; une mesure quantitative par un histogramme ou une boîte à moustaches; et la relation entre deux mesures quantitatives par un nuage de points. L’histogramme n’est pas destiné aux catégories, et le nuage de points correspond à deux mesures quantitatives.

Explication

La moyenne est la somme des observations divisée par leur nombre : $(4+7+9+12)/4=32/4=8$. La division par trois confond observations et intervalles, l’omission d’une valeur modifie la somme, et la valeur centrale relève de la médiane.

Explication

Avec un nombre impair d’observations ordonnées, la médiane est la valeur centrale, ici $8$. La moyenne des deux valeurs centrales ne s’applique pas à cet effectif, tandis que $8,4$ est la moyenne de toutes les mesures.

Explication

La moyenne utilise toutes les observations et réagit donc fortement à une valeur extrême, alors que la médiane est moins sensible. Dire que la médiane utilise toutes les valeurs confond son rôle avec celui de la moyenne; inverser leur sensibilité constitue l’erreur opposée, et le mode n’est pas une moyenne.

Explication

L’écart interquartile est $Q_3-Q_1$, donc $20-12=8$ minutes; il mesure la largeur de l’intervalle couvrant approximativement les 50 % centraux. Additionner les quartiles ou retenir un quartile isolé n’effectue pas cette différence, et l’étendue utilise les valeurs extrêmes.

Explication

Une probabilité attribue à chaque événement une valeur comprise entre 0 et 1, et l’univers entier a une probabilité de 1. Fixer $P(\Omega)=0$ confond l’univers avec un événement nul; les probabilités négatives ou supérieures à 1 sont hors de l’intervalle permis, et l’égalité des probabilités n’est pas une exigence.

Explication

La formule de l’union est $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, soit $0,4+0,3-0,1=0,6$. Omettre le chevauchement donne $0,7$, le soustraire deux fois donne $0,5$, et soustraire une probabilité marginale ne correspond pas à la formule.

Explication

La formule des probabilités totales donne $0,30\times0,8+0,70\times0,5=0,24+0,35=0,59$. La moyenne non pondérée donne $0,65$; inverser les proportions produit $0,56$; additionner les probabilités conditionnelles sans pondération ignore la composition du lot.

Explication

Une variable aléatoire réelle associe bien un nombre réel à chaque résultat de l’expérience. Le résultat brut n’est pas la variable, et une probabilité n’est pas le nombre associé par définition.

Explication

Une mesure variant dans un intervalle relève d’une variable à densité, pour laquelle les probabilités portent sur des intervalles. La liste de valeurs isolées et les probabilités ponctuelles caractérisent plutôt le cas discret.

Explication

Pour une variable à densité, la probabilité d’un intervalle est l’intégrale de la densité sur cet intervalle. Évaluer la densité en une borne ne donne pas cette probabilité, et inverser les bornes change le signe de l’intégrale.

Explication

Une densité doit être positive ou nulle et avoir une intégrale totale égale à 1, mais sa hauteur peut dépasser 1. Pour une variable à densité, la probabilité d’une valeur exacte est nulle; confondre hauteur et probabilité ponctuelle conduit à la valeur 1,4.

Explication

Une densité peut augmenter puis diminuer, alors que la fonction de répartition ne diminue jamais. La monotonie appartient à la fonction cumulée, et non à la densité.

Explication

On calcule directement $E[X^2]=0^2\times0,5+2^2\times0,5=2$, alors que $E(X)=1$ et donc $h(E(X))=1^2=1$. L’égalité des deux quantités confond espérance et transformation, et les valeurs 1 ou 4 résultent d’une pondération ou d’une transformation incorrecte.

Explication

Par linéarité, $E(3X+4)=3E(X)+4=3\times12+4=40$ unités. La réponse 36 oublie le décalage, 48 multiplie aussi la constante par 3, et 32 traite le décalage comme une soustraction.

Explication

La linéarité donne $E(X+Y)=E(X)+E(Y)=8+5=13$, sans condition d’indépendance. La valeur 40 applique la règle d’un produit, 3 effectue une soustraction et 8 néglige la contribution de $Y$.

Explication

La variance est l’espérance du carré des écarts à la moyenne théorique et mesure donc la dispersion autour de cette moyenne. La position de la moyenne décrit le centre, tandis que la médiane et l’écart moyen absolu renvoient à d’autres repères.

Explication

L’écart-type est la racine carrée de la variance et conserve donc l’unité de la variable mesurée. Le centimètre carré correspond à l’unité de la variance, et l’écart-type ne devient ni inverse ni sans unité.

Explication

Le quantile d’ordre $p$ est le plus petit seuil $x$ tel que $F(x)\ge p$; il s’agit donc ici du premier seuil atteignant ou dépassant $0{,}40$. Exiger un dépassement strict confond la définition avec une inégalité stricte, et $0{,}60$ correspond à un autre ordre.

Explication

Pour une fonction de répartition continue et strictement croissante, le quantile vérifie $F(q_p)=p$ et vaut $F^{-1}(p)$; on prend donc ici $F^{-1}(0{,}75)$. Le niveau $0{,}25$ est un autre quantile, tandis que résoudre une équation sur la densité ou utiliser $0{,}50$ ne répond pas à la demande.

Explication

La fonction de répartition conjointe est la probabilité que les deux inégalités soient satisfaites simultanément. Une probabilité conditionnelle ou une probabilité marginale ne décrit pas cet événement conjoint.

Explication

La probabilité du rectangle s’obtient en intégrant la densité jointe sur les bornes de chaque variable : celles de $X$ sont $1$ à $3$ et celles de $Y$ sont $2$ à $4$. L’inversion des bornes associe chaque intervalle à la mauvaise variable, tandis que l’intégrande doit être la densité.

Explication

Avec des variances finies, l’indépendance implique une covariance nulle, mais la réciproque n’est pas garantie : une dépendance non linéaire peut subsister. L’indépendance ne se déduit donc pas de la seule covariance nulle.

Explication

La corrélation vaut la covariance divisée par le produit des écarts-types : $6/(2\times3)=1$. Multiplier la covariance par ce produit ou additionner les écarts-types ne correspond pas à la formule.

Explication

Spearman est la corrélation de Pearson appliquée aux rangs : elle décrit une association monotone, qui n’a pas besoin d’être linéaire. L’option « association nécessairement linéaire » confond monotonicité et linéarité, tandis que « absence d’association » écarte à tort les relations monotones non linéaires et que « effet causal » confond corrélation et causalité.

Explication

En présence d’ex æquo, chaque valeur concernée reçoit un rang moyen et la corrélation de Pearson est ensuite calculée sur les rangs obtenus. Les rangs arbitraires déforment le classement, la suppression écarte des observations, et la formule sans ex æquo ne respecte pas la règle prévue.

Explication

Une comparaison avant-après sans groupe témoin ne permet pas d’isoler l’effet du médicament, car la fièvre peut aussi évoluer spontanément. « A causé l’amélioration » transforme l’observation en causalité, « supérieur » suppose une comparaison absente et « ne peut pas évoluer spontanément » nie une explication concurrente possible.

Explication

La probabilité de l’union vaut $\frac{36+24-10}{200}=\frac{50}{200}=0,25$ : les 10 patients ayant les deux symptômes sont retranchés une fois pour éviter de les compter deux fois. La valeur 0,30 omet ce retranchement, 0,20 retranche l’intersection deux fois, et 0,417 correspond à une probabilité conditionnelle différente.

Explication

Dans une loi uniforme discrète, chacune des n valeurs a une probabilité de $\frac{1}{n}$, donc ici $\frac{1}{8}$. Le dénominateur 7 confond le nombre de valeurs avec le plus grand numéro, et $\frac{6}{8}$ prend le numéro pour une probabilité.

Explication

Pour une variable de Bernoulli, $P(X=0)=1-p$; avec $p=0,3$, cette probabilité vaut 0,7. La valeur 0,3 est la probabilité du succès, tandis que 1,3 provient d’une soustraction incorrecte.

Explication

Le nombre de succès parmi un nombre fixe d’essais indépendants ayant la même probabilité de succès suit une loi binomiale, ici $B(12,0,25)$. Bernoulli décrit une seule épreuve binaire, et la loi uniforme ne représente pas le comptage des succès.

Explication

Avec la convention qui compte les essais succès compris, l’espérance géométrique est $E(X)=\frac{1}{p}$, soit $\frac{1}{0,2}=5$ essais. La valeur 4 correspond à la confusion avec le nombre moyen d’échecs avant le succès.

Explication

La densité uniforme sur [a,b] vaut $\frac{1}{b-a}$ à l’intérieur de l’intervalle; ici, $b-a=10-2=8$, donc elle vaut $\frac{1}{8}$. L’expression $\frac{x-2}{8}$ est la fonction de répartition, et non la densité.

Explication

Dans le modèle exponentiel, le taux instantané d’événement est constant au cours du temps. Un taux qui augmente ou diminue décrit un risque dépendant du temps, et une densité uniforme n’est pas la propriété caractéristique de l’exponentielle.

Explication

L’absence de mémoire signifie que, sachant que l’attente dépasse déjà s, la probabilité d’attendre encore plus de t est $P(X>t)$. L’égalité ne s’étend pas aux durées dont le risque change avec le temps, et les autres expressions modifient la condition ou la relation de probabilité.

Explication

La densité Gamma de forme α et de taux β comprend le facteur $\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}$, la puissance $x^{\alpha-1}$ et l’exponentielle $e^{-\beta x}$. L’interversion des paramètres change forme et taux, tandis que l’omission de $\Gamma(\alpha)$ supprime un facteur de normalisation.

Explication

Dans une loi normale, μ fixe le centre et σ la dispersion. Le centre correspond à μ, la variance à σ², et l’aire totale sous la densité vaut 1.

Explication

La standardisation donne $Z=(60-50)/5=2$, puis la probabilité recherchée s’écrit $\Phi(2)$. La valeur 12 omet la soustraction de la moyenne, 0,4 utilise la variance, et −2 inverse la différence.

Explication

Sous les conditions d’indépendance, de même loi et de variance finie positive, la moyenne d’échantillon standardisée converge vers $N(0,1)$ lorsque la taille augmente. Le résultat porte sur la moyenne standardisée, et non sur une observation isolée ou une variance infinie.

Explication

La somme des carrés de ν variables normales centrées réduites indépendantes suit une loi du khi-deux à ν degrés de liberté ; ici, ν vaut 4. Le nombre 2 confond degrés de liberté et moyenne, tandis que les lois normale et khi-deux ne sont pas interchangeables.

Explication

La loi de Student obtenue par ce quotient est symétrique autour de zéro et possède des queues plus épaisses que la normale. Elle ne correspond donc ni au khi-deux, qui est non négatif, ni à une loi asymétrique ou à queues plus fines.

Explication

Pour un échantillon indépendant normal et un écart-type corrigé, la statistique suit une loi de Student à $n-1$ degrés de liberté ; avec $n=12$, cela donne 11. Douze degrés de liberté oublie la correction, la normale suppose un écart-type de population connu, et le khi-deux décrit une autre statistique.

Explication

Le rapport de deux khi-deux indépendantes, chacune divisée par ses degrés de liberté, suit une loi F dont les degrés de liberté respectifs sont ceux du numérateur et du dénominateur : 5 et 9. Inverser le rapport échange ces paramètres, tandis que leur somme caractérise la somme de khi-deux indépendantes.

Explication

Pour une loi de Cauchy, la médiane et le centre de symétrie sont tous deux égaux au paramètre de position $m$, ici $4$. Le paramètre d’échelle $2$ décrit l’étalement, tandis que $6$ et $8$ résultent de combinaisons erronées des paramètres.

Explication

La loi de Cauchy n’a ni espérance ni variance définies, même si elle est symétrique. L’idée que la symétrie assure une moyenne confond symétrie et existence de l’espérance; une variance finie ne caractérise pas la Cauchy.

Explication

Le préfixe q sert à calculer un quantile et le préfixe r à simuler des valeurs. Le préfixe p calcule une fonction de répartition et d une probabilité ou une densité.

Explication

Le choix d’une loi exige d’identifier la variable et ses valeurs possibles, d’évaluer la plausibilité des hypothèses, puis de confronter le modèle aux graphiques, à la dispersion et aux valeurs extrêmes. Se fonder uniquement sur le type de variable ou sur une partie des vérifications néglige des étapes importantes.

Explication

Une loi de probabilité est un modèle du phénomène : son choix doit être justifié par le contexte et confronté aux observations. Un bon ajustement ne remplace pas l’examen de la plausibilité contextuelle, et le contexte ne dispense pas de vérifier les données.