Flashcards : Processus stochastiques et diffusions (91 cartes)

Qu’est-ce qu’un processus stochastique ?

Comment définit-on la trajectoire associée à une réalisation $\omega$ ?

Comment caractérise-t-on $E(X\mid\mathcal{B})$ par rapport aux événements de $\mathcal{B}$ ?

Qu’est-ce qu’une filtration et que représente-t-elle ?

Quelle condition définit les accroissements indépendants d’un processus ?

De quoi dépend la loi de $X_{t+h}-X_t$ pour des accroissements stationnaires ?

Quelle égalité caractérise la propriété de Markov pour un processus adapté ?

Comment la marche aléatoire simple sur ℤ est-elle définie à partir de ses pas ?

Quelle relation lie $S_n$ à une variable $U_n\sim B(n,p)$ ?

Quelles sont l’espérance et la variance de la marche simple au temps $n$ ?

Qu’est-ce qui caractérise une chaîne de Markov concernant le prochain état ?

Quelle condition vérifie chaque ligne de la matrice de transition d’une chaîne de Markov ?

Quelle formule donne les probabilités de transition à n pas d’une chaîne de Markov ?

Quand l’état $j$ est-il accessible depuis l’état $i$ ?

Quand deux états communiquent-ils, et que forment ces classes ?

Qu’est-ce qui distingue une classe fermée d’une chaîne irréductible ?

Comment définit-on la période de l’état $i$ ?

Quand l’état $i$ est-il récurrent ou transitoire selon sa probabilité de retour ?

Quel critère de série distingue récurrence et transience pour l’état $i$ ?

Quelles classes fermées possède une chaîne absorbante ?

Quelle forme bloc prend la matrice de transition d’une chaîne absorbante partitionnée ?

Quelle matrice donne les probabilités d’absorption dans chaque état absorbant ?

Quelle équation définit une loi invariante π pour une matrice P ?

Que possède toute chaîne de Markov finie ?

Quelle est la limite de p⁽ⁿ⁾ᵢⱼ sous les hypothèses d’irréductibilité, d’apériodicité et d’invariance ?

Comment estime-t-on le maximum de vraisemblance de la transition $i\to j$ à partir d’une trajectoire ?

Quelles propriétés définit le processus de comptage $(N_t)$ ?

Quelle est la loi du nombre d’événements en un intervalle de longueur $t$ ?

Quelle loi suit le temps entre deux événements successifs d’un processus de Poisson ?

Quelle est l’intensité de la somme de deux processus de Poisson indépendants d’intensités $\lambda_1$ et $\lambda_2$ ?

Quelles sont les intensités des processus de Poisson conservé et rejeté après une conservation indépendante de probabilité $p$ ?

Pour le dernier bus avant l’heure limite $t_0$, quel choix de $s$ maximise la probabilité de succès ?

Quelle condition sur le temps d’attente du 32e véhicule fait dépasser 250 m à une file de véhicules immobilisés ?

Quelles propriétés caractérisent l’intensité d’un processus de Poisson non homogène ?

Quelle loi suit le nombre d’événements entre $s$ et $t$, pour $s<t$ ?

Comment s’écrit un processus de Poisson composé à partir de ses sauts ?

Quelle est l’espérance de $S_t$ lorsque $E(Y^2)<\infty$ ?

Quelles sont les trois martingales associées au processus de Poisson d’intensité $\lambda$ ?

Quelle est la variance de l’estimateur $\widehat\lambda=N_t/t$ sur $[0,t]$ ?

Quelles hypothèses sur les pas garantissent la convergence de Donsker vers un mouvement brownien ?

Quelle est la loi d’un accroissement du mouvement brownien standard entre s et t ?

Quelles quatre expressions sont des martingales pour la filtration naturelle de $B_t$ ?

Quelle probabilité le principe de réflexion donne-t-il pour $M_t\ge a$ ?

Comment l’intégrale de Wiener d’une fonction en escalier est-elle définie ?

Comment l’intégrale d’Itô d’un processus adapté est-elle définie ?

Quelle forme générale définit une équation différentielle stochastique avec condition initiale ?

Quelles conditions assurent une solution forte unique et continue pour une EDS ?

À temps fixé, que représente l’application $\omega\mapsto X_t(\omega)$ ?

Quels ensembles d’indices caractérisent les temps discret et continu ?

Quel théorème garantit la réalisation d’une famille compatible de lois fini-dimensionnelles ?

Quelles propriétés fondamentales vérifie l’espérance conditionnelle ?

Quand peut-on sortir un facteur de l’espérance conditionnelle par rapport à $\mathcal{B}$ ?

Quelle condition définit un processus adapté à une filtration ?

Quelle loi suit l’accroissement du processus de Poisson sur une durée $h$ ?

Quelle est la moyenne de $X_t$ aux temps entiers ?

Quelle expression centrée de toute marche simple est une martingale ?

Quelle est la parité de $S_n$ dans une marche aléatoire simple ?

Quelles données déterminent la loi d’une chaîne de Markov ?

Quelles fréquences météo observe-t-on sur cent jours simulés en partant du soleil ?

Quelle classe forme à lui seul un état $i$ tel que $p_{ii}=1$ ?

Quand un état récurrent est-il positif plutôt que nul ?

Quelle est la loi de $N_i$ sous $P_i$ pour un état transitoire ?

Quelles propriétés sont communes aux états d’une même classe ?

Que représente l’entrée $D_{ij}$ de la matrice fondamentale ?

Quelles valeurs prend $h_i$ dans la classe cible et dans les autres états absorbants ?

Si X₀ suit une loi invariante π, quelle loi suit Xₙ ?

Que garantit le bilan détaillé πᵢpᵢⱼ = πⱼpⱼᵢ pour tous i et j ?

Vers quelle valeur $\hat p_{ij}$ converge-t-il presque sûrement sous les conditions du théorème ergodique ?

Quelle formule donne l’intervalle de confiance approximatif à 95 % de $p_{ij}$ ?

Quelle est la probabilité d’un événement sur un intervalle court de longueur $h$ ?

Quelle loi suit le nombre d’événements avant $s$, sachant que $N_t=n$ et $s<t$ ?

Quelle est la probabilité qu’un passager prenne le bus dans l’exemple d’intensité 4 par heure ?

Sachant que quatre véhicules passent en trois minutes, quelle loi suit leur nombre pendant les deux premières minutes ?

Selon l’approximation normale, quelle durée d’interruption donne une probabilité de 0,2 que la file dépasse 250 m ?

Quelle est la densité du temps du premier événement d’un processus de Poisson non homogène ?

Quelle est la loi des temps entre événements d’un processus de Poisson non homogène ?

Sachant que $N_t=n$, quelle est la densité des variables dont les statistiques d’ordre donnent les instants des événements ?

Quelle est la fonction caractéristique de $S_t$ ?

Quelles propriétés d’accroissement possède un processus de Poisson composé ?

Quelle est l’espérance annuelle de la charge pour 10 sinistres mensuels et des montants exponentiels de moyenne 0,5 million de FCFA ?

Quelle propriété caractérise le futur du processus de Poisson après $s$ sachant $N_s$ ?

Quelle formule donne l’intervalle de confiance approché à 95 % de l’intensité de Poisson ?

Quel seuil entraîne le rejet normal de $H_0:\lambda=\lambda_0$ au niveau 5 % ?

Quelle loi suit $B_t$ pour un mouvement brownien standard ?

Comment s’écrit un brownien général de dérive $\mu$ et de volatilité $\sigma$ ?

Que devient $(B_{\tau+t}-B_\tau)_{t\ge0}$ après un temps d’arrêt fini presque sûrement $\tau$ ?

Quelle est l’espérance du temps d’atteinte $T_a$ d’un niveau $a>0$ ?

Quelle est la variance de l’intégrale de Wiener de $f$ ?

Quelle est l’espérance du carré de l’intégrale d’Itô de $H$ ?

À quelle filtration une solution forte est-elle adaptée ?

Quelle est la solution explicite du brownien géométrique ?