Processus stochastiques et diffusions

Qu’est-ce qu’un processus stochastique ?

Une famille de variables aléatoires indexée par le temps et à valeurs dans un espace mesurable.

Comment définit-on la trajectoire associée à une réalisation $\omega$ ?

Par l’application $t\mapsto X_t(\omega)$ du temps vers l’état.

Comment caractérise-t-on $E(X\mid\mathcal{B})$ par rapport aux événements de $\mathcal{B}$ ?

C’est l’unique variable intégrable et $\mathcal{B}$-mesurable, à égalité presque sûre près, telle que $E(E(X\mid\mathcal{B})1_B)=E(X1_B)$ pour tout $B\in\mathcal{B}$.

Qu’est-ce qu’une filtration et que représente-t-elle ?

C’est une famille croissante de sous-tribus représentant l’information disponible au cours du temps.

Quelle condition définit les accroissements indépendants d’un processus ?

Les accroissements sur des intervalles successifs sont indépendants pour tout choix ordonné de temps.

De quoi dépend la loi de $X_{t+h}-X_t$ pour des accroissements stationnaires ?

Elle dépend uniquement de $h$.