QCM : Processus stochastiques et diffusions (58 questions)

Explication

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires à valeurs dans un espace mesurable et indexée par le temps. Une trajectoire correspond à une réalisation fixée, tandis qu’une variable isolée n’est pas une famille indexée.

Explication

Fixer $\omega_0$ donne une trajectoire, c’est-à-dire l’application du temps vers l’état $t\mapsto X_t(\omega_0)$. L’application $\omega\mapsto X_t(\omega)$ est plutôt la variable aléatoire au temps fixé $t$.

Explication

Les lois fini-dimensionnelles sont les lois conjointes des vecteurs observés en tout nombre fini de temps ordonnés, pour tout $k\geq1$. Les seules marginales ou les seuls vecteurs à deux temps ne couvrent pas cette famille.

Explication

L’espérance conditionnelle est caractérisée par l’intégrabilité, la $\mathcal{B}$-mesurabilité et l’égalité des intégrales sur chaque événement de $\mathcal{B}$, avec unicité presque sûre. L’indépendance ou une simple égalité des espérances ne suffit pas.

Explication

Une filtration est croissante : lorsque le temps augmente, les sous-tribus contiennent l’information déjà disponible, d’où $\mathcal{F}_2\subseteq\mathcal{F}_5$. Inverser l’inclusion ou assimiler les tribus aux états du processus méconnaît cette définition.

Explication

Un temps d’arrêt est décidable à partir de l’information disponible à l’instant considéré : l’événement $\{\tau\leq t\}$ appartient à $\mathcal{F}_t$. Un dernier passage exige d’examiner la suite de la trajectoire, contrairement au premier instant d’atteinte.

Explication

Un processus adapté et intégrable est une martingale lorsque son espérance conditionnelle au pas suivant, sachant l’information présente, est égale à sa valeur actuelle. Une espérance non conditionnelle constante ne remplace pas cette condition.

Explication

L’indépendance des accroissements signifie que les accroissements sur des intervalles successifs sont indépendants. La stationnarité des accroissements porte sur leur loi selon la durée, la stationnarité du processus sur ses lois sous translation, et la propriété de Markov sur la prédiction conditionnelle à partir de l’état présent.

Explication

Les accroissements sont stationnaires lorsque la loi de $X_{t+h}-X_t$ dépend de la durée $h$ et non de l’instant de départ. L’indépendance concerne la dépendance entre accroissements, la stationnarité du processus concerne ses lois sous translation temporelle, et la propriété de Markov concerne l’information utile du présent.

Explication

La propriété de Markov affirme que, pour prévoir une fonction de l’état futur, le conditionnement par toute l’information passée peut être remplacé par le conditionnement par l’état présent. Conditionner par $X_t$ ou par l’accroissement change l’information utilisée, tandis que le dernier membre porte sur l’état présent plutôt que futur.

Explication

La stationnarité des accroissements exige que leur loi ne dépende que de leur durée, tandis que la stationnarité du processus exige l’invariance des lois du processus sous translation temporelle. L’indépendance et la propriété de Markov décrivent d’autres relations de dépendance, pas cette distinction.

Explication

La marche aléatoire simple est la somme des pas indépendants et identiquement distribués, avec les probabilités indiquées. Le produit, le renversement systématique des signes et la répétition du dernier pas ne correspondent pas à cette définition.

Explication

Comme $S_6=2U_6-6$, atteindre $2$ exige $U_6=4$ pas positifs et donc deux pas négatifs; le coefficient binomial compte les ordres possibles. Omettre ce coefficient ignore le dénombrement, prendre trois montées donne une autre position, et inverser les exposants échange montées et descentes.

Explication

Les formules donnent $E(S_5)=5(p-q)=5(0{,}7-0{,}3)=2$ et $\operatorname{Var}(S_5)=4npq=4\times5\times0{,}7\times0{,}3=4{,}2$. Les valeurs $0{,}4$ et $0{,}84$ omettent le facteur lié au nombre de pas, tandis que les autres paires permutent ou remplacent les quantités calculées.

Explication

La propriété de Markov stipule que, sachant tout le passé, la loi du prochain état dépend seulement de l’état présent. L’état initial confond origine et situation actuelle, toute la trajectoire passée contredit l’absence de mémoire, et la loi marginale ne conditionne pas sur l’état courant.

Explication

Chaque ligne d’une matrice stochastique donne la loi du prochain état conditionnellement à l’état courant correspondant; ici, les composantes sont positives et leur somme vaut un. La loi de l’état précédent inverse le conditionnement, la loi conjointe est une autre distribution, et des poids sans contrainte ne décrivent pas une ligne stochastique.

Explication

Les probabilités de transition à cinq pas sont les entrées de $P^5$, et la loi au temps cinq est $\mu P^5$. $\mu P$ et $P$ ne décrivent qu’un pas, la puissance six ajoute une transition, et la dernière paire inverse les rôles de la loi et de la matrice.

Explication

Un chemin composé d’arcs de probabilité positive donne une probabilité positive d’atteindre $b$ depuis $a$ en trois pas, donc $b$ est accessible depuis $a$. Un arc direct n’est pas requis, la communication demande aussi un chemin de retour, et ni la fermeture ni l’absorption ne découlent du chemin.

Explication

Deux états communiquent si chacun est accessible depuis l’autre; cette relation d’équivalence forme les classes de communication. L’accessibilité à sens unique ne suffit pas, des chemins indirects sont admis, et une classe fermée est une propriété distincte.

Explication

Une classe est fermée si aucune transition ne la quitte; une classe permettant une sortie est ouverte. Une chaîne n’est irréductible que si elle ne possède qu’une seule classe de communication, donc la présence de deux classes la rend réductible. Inverser les catégories confond leurs définitions, et la fermeture d’une classe ne suffit pas à établir l’irréductibilité.

Explication

La période est le pgcd des temps de retour possibles : $\operatorname{pgcd}(4,6,10)=2$. Le plus petit temps de retour vaut quatre, le plus grand vaut dix, et le nombre de temps listés est trois; aucun de ces choix ne correspond au pgcd.

Explication

Un état est transitoire lorsque sa probabilité de retour est strictement inférieure à 1. La récurrence exige une probabilité de retour égale à 1, tandis que les catégories positif et nul distinguent des états déjà récurrents selon leur temps moyen de retour.

Explication

Le critère de récurrence indique que la série des probabilités de retour diverge pour un état récurrent et converge pour un état transitoire. La finitude de cette somme ne caractérise pas la récurrence positive, qui concerne le temps moyen de retour d’un état récurrent.

Explication

Dans un espace d’états fini, toute classe fermée est récurrente positive; une fois que la chaîne y entre, elle y reste. Une classe ouverte est transitoire, et la récurrence nulle ne s’applique pas aux classes fermées de ce cadre fini.

Explication

Une chaîne absorbante est finie, ses classes fermées sont des états absorbants et chaque état transitoire peut atteindre au moins un état absorbant. L’irréductibilité ne découle pas de ces conditions, et il n’est pas nécessaire que chaque état transitoire atteigne tous les absorbants.

Explication

Dans la forme canonique, $Q$ décrit les transitions entre états transitoires et la matrice fondamentale est $D=(I-Q)^{-1}=\sum_{n\geq0}Q^n$. Employer $R$ à la place de $Q$ confond les transitions vers les absorbants avec les transitions entre transitoires; le signe et l’inversion font aussi partie de la formule.

Explication

Pour un état transitoire $i$ et un état absorbant $k$, l’entrée $(i,k)$ de $DR$ est la probabilité d’absorption en $k$ depuis $i$. Les entrées de $D$ décrivent plutôt des nombres moyens de passages entre états transitoires, et la somme d’une ligne de $D$ donne la durée moyenne avant absorption.

Explication

Une loi est invariante lorsque $\pi P=\pi$ : ici le produit donne $(0{,}6,\,0{,}4)$. La somme égale à 1 vérifie seulement que $\pi$ est une loi, tandis que $P\pi$ inverse l’ordre du produit.

Explication

Une chaîne irréductible finie possède une unique loi invariante, et tous ses coefficients sont strictement positifs. L’existence seule vaut pour toute chaîne finie; l’unicité et la positivité sont garanties ici par l’irréductibilité.

Explication

La convergence des probabilités à $n$ pas vers la loi invariante est garantie si la chaîne est irréductible et apériodique. L’irréductibilité ou l’existence d’une loi invariante ne remplace pas l’apériodicité; une chaîne périodique peut néanmoins posséder une loi invariante.

Explication

Pour une chaîne irréductible possédant une loi invariante, la proportion de temps passée dans $i$ converge presque sûrement vers $\pi_i$, sans hypothèse d’apériodicité. L’apériodicité est requise pour la convergence des probabilités à $n$ pas, pas pour celle des fréquences empiriques.

Explication

L’estimateur est le nombre de transitions observées $i\to j$ divisé par le nombre total de transitions issues de $i$, soit $5/12$. Inverser ces effectifs ou utiliser le total de toute la trajectoire ne correspond pas à cette fréquence conditionnelle.

Explication

Sous les conditions du théorème ergodique, la fréquence observée des transitions $i\to j$ converge presque sûrement vers la probabilité réelle $p_{ij}$. La limite n’est pas la probabilité inverse $p_{ji}$ ni la loi initiale, et la convergence ne signifie pas une égalité immédiate.

Explication

Un processus de comptage part de zéro, prend des valeurs entières et compte les événements survenus dans $]0,t]$. Le temps écoulé et les intervalles sans événement ne sont pas ce que mesure $N_t$.

Explication

Les accroissements sont stationnaires : leur loi dépend de la longueur $t-s$, et $N_t-N_s$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda(t-s)$. Le paramètre $\lambda t$ concerne l’intervalle partant de zéro, tandis que la loi exponentielle décrit les temps d’attente.

Explication

Pour une durée d’une heure, le paramètre de Poisson est $\lambda t=3$, donc la probabilité vaut $e^{-3}\frac{3^2}{2!}$. Omettre l’exponentielle, prendre le paramètre de deux heures ou omettre le factoriel modifie la formule.

Explication

Les temps entre événements successifs sont indépendants et identiquement distribués selon une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La loi gamma concerne le temps jusqu’au n-ième événement, tandis que la loi de Poisson porte sur un nombre d’événements.

Explication

La superposition de processus de Poisson indépendants a pour intensité la somme des intensités : $4+7=11$ événements par heure. Retenir le maximum, multiplier ou faire la moyenne ne correspond pas à la règle de superposition.

Explication

L’amincissement donne une intensité conservée de $p\lambda=0{,}30\times10=3$ par heure et une intensité rejetée de $(1-p)\lambda=7$ par heure. Intervertir les proportions ou attribuer une intensité incorrecte aux flux néglige cette répartition.

Explication

La probabilité de succès est maximale lorsque le délai entre s et l’échéance vaut le temps moyen d’attente, soit 1/λ. Choisir 22 h plus 1/λ place le départ après l’échéance, choisir 22 h ne laisse aucun intervalle et soustraire 2/λ confond le délai optimal avec un multiple de celui-ci.

Explication

La file dépasse 250 m à partir de 32 véhicules, puisque 31 véhicules occupent 248 m; cela se produit si le 32e arrive avant la fin de l’interruption. Le seuil de 31 véhicules ne suffit pas, et les comparaisons avec un temps supérieur ou celui du premier véhicule ne déterminent pas le dépassement.

Explication

La fonction moyenne cumule l’intensité variable depuis zéro jusqu’à t, d’où l’intégrale $\int_0^t\lambda(u)\,du$. L’intensité instantanée n’est pas la moyenne cumulée, et inverser les bornes ou multiplier par la valeur prise à t ne définit pas cette fonction.

Explication

La probabilité d’aucun événement avant t est $e^{-m(t)}$; ici, $m(3)=3^2=9$, donc elle vaut $e^{-9}$. $1-e^{-9}$ correspond à au moins un événement, tandis que les autres réponses ajoutent une mauvaise combinaison des moyennes ou un facteur inutile.

Explication

La variance vaut $\lambda tE(Y^2)=3\times4\times10=120$. Utiliser $E(Y)^2$ donne $48$, oublier le temps donne $30$, et calculer la moyenne donne $24$.

Explication

Lorsque chaque saut vaut $1$, la somme des sauts est le nombre d’événements, donc $S_t=N_t$. Les temps d’attente ne sont pas le processus de comptage, $\lambda t$ est une moyenne déterministe, et le processus obtenu n’est pas un mouvement brownien.

Explication

L’estimateur est $\widehat\lambda=N_t/t$, donc $15/5=3$ événements par unité de temps. $15$ omet la division par la durée, $1/3$ inverse le rapport et $3/5$ ne correspond pas à la formule de l’estimateur.

Explication

Le processus compensé $N_t-\lambda t$ est une martingale, car la soustraction de la tendance moyenne rend les accroissements conditionnellement centrés. $N_t-\lambda t^2$ utilise une compensation inadéquate, $\lambda t$ est déterministe et $N_t+\lambda t$ ajoute au lieu de compenser la tendance.

Explication

Le théorème de Donsker donne la convergence en loi du processus entier dans $C([0,1])$ vers un mouvement brownien. La convergence à un instant fixé ne décrit que des lois marginales, et non la convergence des trajectoires.

Explication

Un brownien standard part de zéro, possède des accroissements indépendants et stationnaires de loi gaussienne, et ses trajectoires sont continues presque sûrement. Des niveaux indépendants ne remplacent pas l’indépendance des accroissements, et les trajectoires ne sont pas dérivables.

Explication

La covariance brownienne vaut le minimum des deux instants : $\operatorname{Cov}(B_2,B_5)=\min(2,5)=2$. Le plus grand instant donne la variance de $B_5$, tandis que la différence correspond à la variance de l’accroissement entre 2 et 5.

Explication

Presque sûrement, les trajectoires browniennes sont continues mais n’ont de dérivée en aucun point, et leur variation quadratique sur $[0,t]$ vaut $t$. La continuité n’implique pas la dérivabilité, et la variation quadratique ne désigne pas la variation totale.

Explication

Le carré compensé $B_t^2-t$ est une martingale, car le terme $t$ compense l’accroissement moyen du carré brownien. Ajouter le temps ne réalise pas cette compensation, et l’exponentielle martingale requiert un exposant avec le terme négatif $-\theta^2t/2$.

Explication

Le principe de réflexion donne $P(M_t\ge a)=2\left(1-\Phi(a/\sqrt t)\right)$. L’absence du facteur deux omet les trajectoires réfléchies, et le seuil doit être normalisé par $\sqrt t$.

Explication

Le logarithme de $S_t$ est une transformation affine de la variable normale $B_t$; ainsi $\log S_t$ est normal et $S_t$ suit une loi log-normale. La loi normale concerne le logarithme, pas le processus exponentié lui-même.

Explication

Pour une fonction en escalier, chaque valeur constante multiplie l’accroissement brownien correspondant, ce qui donne la somme indiquée. Utiliser les valeurs de $B$ aux bornes omet les accroissements, changer le signe perd le coefficient négatif, et les carrés des coefficients ne définissent pas l’intégrale.

Explication

L’intégrale d’Itô est définie comme la limite dans $L^2$ des sommes utilisant la valeur adaptée de $H$ au point gauche. Les valeurs au point droit changent la construction, les moyennes effacent le caractère aléatoire de l’intégrande, et une simple limite trajectorielle ne correspond pas à la définition donnée.

Explication

La formule d’Itô ajoute la correction $\frac12\partial_{xx}f(t,X_t)\sigma_t^2dt$, issue de la variation quadratique du terme brownien. Omettre le facteur un demi, remplacer $\sigma_t^2$ par $\sigma_t$ ou dériver deux fois en temps modifie cette correction.

Explication

La régularité lipschitzienne uniforme en l’état et la croissance au plus linéaire assurent une unique solution forte continue sur tout intervalle borné. Une simple existence faible ne rend pas compte de l’unicité forte, et la conclusion porte sur une solution continue et sur l’intervalle entier.