Fiche de révision : Processus stochastiques et diffusions

📋 Plan du Cours

1. Processus et lois fini-dimensionnelles
2. Information et martingales
3. Familles de processus aléatoires
4. Marche aléatoire simple
5. Chaînes de Markov et transitions
6. Accessibilité, classes de communication et périodes
7. Récurrence et transience des états
8. Chaînes absorbantes et ruine du joueur
9. Lois invariantes et comportement limite
10. Estimation des transitions observées
11. Définitions du processus de Poisson
12. Propriétés du processus de Poisson
13. Applications du processus de Poisson
14. Processus de Poisson non homogène
15. Processus de Poisson composé
16. Martingales et estimation de l’intensité
17. Limite brownienne, définition, covariance et trajectoires
18. Martingales et réflexion browniennes
19. Intégrales stochastiques et formule d’Itô
20. Équations différentielles stochastiques

📖 1. Processus et lois fini-dimensionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus stochastique : Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires $X=(X_t)_{t\in T}$ à valeurs dans un espace mesurable, indexée par le temps.
• Trajectoire : La trajectoire associée à $\omega$ est l’application du temps vers l’état définie par $t\mapsto X_t(\omega)$.
• Lois fini-dimensionnelles : Les lois fini-dimensionnelles d’un processus sont les lois des vecteurs $(X_{t_1},\ldots,X_{t_k})$ pour tout $k\geq1$ et tous temps ordonnés $t_1<\cdots<t_k$.

📝 Points essentiels

📌 À temps fixé, $\omega\mapsto X_t(\omega)$ est une variable aléatoire ; à réalisation $\omega$ fixée, $t\mapsto X_t(\omega)$ est une trajectoire.

• Un processus est à temps discret lorsque son ensemble d’indices est $\mathbb{N}$ et à temps continu lorsque celui-ci est $\mathbb{R}_+$.

• Deux processus ayant les mêmes lois fini-dimensionnelles sont égaux en loi.

• Le théorème d’existence de Kolmogorov affirme que toute famille compatible de lois fini-dimensionnelles sur $\mathbb{R}^d$, ou plus généralement sur un espace polonais, est celle d’un processus défini sur un espace probabilisé convenable.

📖 2. Information et martingales

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance conditionnelle : L’espérance conditionnelle $E(X\mid\mathcal{B})$ est l’unique variable aléatoire intégrable et $\mathcal{B}$-mesurable, à égalité presque sûre près, telle que $E(E(X\mid\mathcal{B})1_B)=E(X1_B)$ pour tout $B\in\mathcal{B}$.
• Filtration : Une filtration est une famille croissante de sous-tribus $(\mathcal{F}_t)_{t\in T}$ telle que $\mathcal{F}_s\subseteq\mathcal{F}_t$ lorsque $s\leq t$ ; elle représente l’information disponible au temps $t$.
• Temps d’arrêt : Une variable aléatoire $\tau$ est un temps d’arrêt pour $(\mathcal{F}_t)$ si $\{\tau\leq t\}\in\mathcal{F}_t$ pour tout $t$ ; en temps discret, il suffit que $\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_n$ pour tout $n$.
• Martingale : Un processus adapté et intégrable $(M_n)$ est une martingale si $E(M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n)=M_n$ presque sûrement pour tout $n$.
• Processus adapté : Un processus est adapté à une filtration si chaque variable $X_t$ est mesurable par rapport à $\mathcal{F}_t$.

★ À maîtriser

📌 Si $M$ est une martingale et $\tau$ un temps d’arrêt borné, alors $E(M_\tau)=E(M_0)$ ; le résultat subsiste si $\tau<\infty$ presque sûrement et si le processus arrêté $(M_{n\wedge\tau})$ est borné. - Doob

Compléments

• L’espérance conditionnelle est linéaire et positive, vérifie $E(E(X\mid\mathcal{B}))=E(X)$ et satisfait l’emboîtement $E(E(X\mid\mathcal{B})\mid\mathcal{C})=E(X\mid\mathcal{C})$ si $\mathcal{C}\subset\mathcal{B}$.

📌 Si $Z$ est bornée et $\mathcal{B}$-mesurable, alors $E(ZX\mid\mathcal{B})=ZE(X\mid\mathcal{B})$ ; si $X$ est indépendante de $\mathcal{B}$, alors $E(X\mid\mathcal{B})=E(X)$.

📌 Une sous-martingale vérifie $E(M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n)\geq M_n$, tandis qu’une sur-martingale vérifie $E(M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n)\leq M_n$.

• Pour une martingale, $E(M_n)=E(M_0)$ et $E(M_{n+p}\mid\mathcal{F}_n)=M_n$ pour tout $p\geq0$.

💡 Astuce mémo

Le temps d’arrêt se décide sans voir le futur ; le dernier passage exige de le connaître.

📖 3. Familles de processus aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Accroissements indépendants : Un processus a des accroissements indépendants si, pour tout choix ordonné de temps, ses accroissements sur les intervalles successifs sont indépendants.
• Accroissements stationnaires : Un processus a des accroissements stationnaires si la loi de $X_{t+h}-X_t$ ne dépend que de $h$.
• Propriété de Markov : Un processus adapté est markovien si, pour $s\leq t$ et toute fonction mesurable bornée $f$, $E(f(X_t)\mid\mathcal{F}_s)=E(f(X_t)\mid X_s)$.
• Stationnarité stricte : Un processus est strictement stationnaire si, pour tout décalage $h$, les vecteurs $(X_{t_1+h},\ldots,X_{t_k+h})$ et $(X_{t_1},\ldots,X_{t_k})$ ont la même loi.
• Stationnarité faible : Un processus est faiblement stationnaire si son second moment est fini, si sa moyenne est constante et si $\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=\gamma(t-s)$ ne dépend que de l’écart entre les temps.

★ À maîtriser

📌 Les accroissements stationnaires signifient que la loi d’un accroissement ne dépend que de sa durée, tandis que la stationnarité du processus exige l’invariance des lois sous translation temporelle.

Compléments

• La marche aléatoire, le processus de Poisson et le mouvement brownien sont des processus à accroissements indépendants et stationnaires ; leurs accroissements sur une durée $h$ suivent respectivement la loi d’un pas, une loi de Poisson de paramètre $\lambda h$ et une loi normale $N(0,h)$.

• Pour un processus à accroissements indépendants et stationnaires tel que $E(X_1)=m$ et $\operatorname{Var}(X_1)=\sigma^2$, on a, pour les temps entiers $t$, $E(X_t)=mt$ et $\operatorname{Var}(X_t)=\sigma^2t$.

• Le processus $X_{n+1}=\varphi X_n+\varepsilon_{n+1}$, avec des innovations indépendantes de loi $N(0,\sigma^2)$ et $|\varphi|<1$, est markovien et stationnaire lorsque $X_0\sim N(0,\sigma^2/(1-\varphi^2))$ ; sa covariance vaut $\gamma(h)=\sigma^2\varphi^{|h|}/(1-\varphi^2)$.

💡 Astuce mémo

Accroissements stationnaires : la variance peut croître ; stationnarité : elle reste constante.

📖 4. Marche aléatoire simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Marche aléatoire simple : La marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$ est définie par $S_0=0$ et $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$, où les pas sont indépendants et identiquement distribués avec $P(\xi_k=1)=p$ et $P(\xi_k=-1)=q=1-p$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $U_n\sim B(n,p)$, la marche vérifie $S_n=2U_n-n$ et $P(S_n=k)=\binom{n}{(n+k)/2}p^{(n+k)/2}q^{(n-k)/2}$ lorsque $k\in\{-n,-n+2,\ldots,n\}$.

📐 Formule - La marche aléatoire simple vérifie $E(S_n)=n(p-q)$ et $\operatorname{Var}(S_n)=4npq$.

Compléments

• La marche aléatoire symétrique est une martingale et, pour toute marche simple, $S_n-n(p-q)$ est une martingale.

📌 La marche aléatoire simple a la même parité que son nombre de pas, donc un retour en zéro ne peut se produire qu’à un instant pair.

• Pour la marche symétrique, $P(S_{2n}=0)\sim1/\sqrt{\pi n}$ ; la somme de ces probabilités diverge, tandis que pour $p\neq1/2$ leur équivalent est $(4pq)^n/\sqrt{\pi n}$ et la série converge.

📐 Formule - Pour un joueur équitable partant avec $a$ francs et s’arrêtant à la ruine ou à $N$ francs, la probabilité d’atteindre $N$ est $a/N$ et la durée moyenne du jeu est $a(N-a)$ parties.

📖 5. Chaînes de Markov et transitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Chaîne de Markov : Une chaîne de Markov est une suite à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable telle que la loi conditionnelle du prochain état, sachant tout le passé, ne dépend que de l’état présent.
• Matrice de transition : La matrice de transition $P=(p_{ij})$ d’une chaîne est stochastique : $p_{ij}\geq0$ et $\sum_jp_{ij}=1$ ; chaque ligne donne la loi du prochain état sachant l’état courant.
• Loi initiale : La loi de la chaîne est déterminée par la loi initiale $\mu$ de $X_0$ et sa matrice de transition $P$ ; la probabilité d’une trajectoire $i_0,\ldots,i_n$ vaut $\mu_{i_0}p_{i_0i_1}\cdots p_{i_{n-1}i_n}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les probabilités de transition à $n$ pas sont les entrées de $P^n$ ; les équations de Chapman–Kolmogorov donnent $P^{m+n}=P^mP^n$ et la loi de $X_n$ vaut $\mu P^n$.

Compléments

• Une récurrence $X_{n+1}=\phi(X_n,Y_{n+1})$, où les variables $Y_1,Y_2,\ldots$ sont indépendantes, de même loi et indépendantes de l’état initial, définit une chaîne de Markov homogène.

📐 Formule - Pour une chaîne à deux états de matrice $P=\begin{pmatrix}1-\alpha&\alpha\beta&1-\beta\end{pmatrix}$, avec $0<\alpha,\beta<1$ et $\lambda=1-\alpha-\beta$, la loi stationnaire est $\pi=(\beta/(\alpha+\beta),\alpha/(\alpha+\beta))$ et $P^n$ converge vers une matrice dont chaque ligne est $\pi$.

• Pour simuler une chaîne, on tire d’abord $X_0$ selon $\mu$, puis, à chaque état $i$, on tire un uniforme et on choisit l’état $j$ selon les probabilités cumulées de la ligne $i$ de $P$, avant de répéter l’étape.

• Sur cent jours simulés avec la chaîne météo en partant de soleil, les fréquences observées sont 49 % de soleil, 26 % de nuageux et 25 % de pluie, à comparer à la loi invariante approximative (0,457, 0,283, 0,261).

💡 Astuce mémo

À chaque état, les arcs sortants portent les probabilités de la prochaine étape.

📖 6. Accessibilité, classes de communication et périodes

🔑 Notions clés & Définitions

• Accessibilité : L’état j est accessible depuis l’état i, noté i → j, s’il existe n ≥ 0 tel que la probabilité de transition en n pas de i vers j soit strictement positive.
• Communication : Deux états i et j communiquent si chacun est accessible depuis l’autre ; cette relation d’équivalence partitionne les états en classes de communication.
• Période : La période d’un état i est le pgcd des entiers n ≥ 1 pour lesquels la probabilité de retour en i en n pas est positive, et vaut +∞ si aucun retour n’est possible.
• État absorbant : Un état i tel que pᵢᵢ = 1 est absorbant et constitue à lui seul une classe fermée.

★ À maîtriser

📌 Une classe est fermée si aucune transition ne la quitte et ouverte sinon ; une chaîne est irréductible si elle ne possède qu’une classe de communication.

• Un état est apériodique si sa période vaut 1 ; en particulier, pᵢᵢ > 0 suffit à rendre i apériodique.

Compléments

• Deux états qui communiquent ont la même période, et si leur période vaut d, leurs retours ne peuvent avoir lieu qu’à des instants multiples de d.

• Dans une chaîne dont les retours en un état se font par des cycles de 4 et 7 pas, la période est pgcd(4,7) = 1 ; si les cycles ont 4 et 6 pas, elle est pgcd(4,6) = 2.

📖 7. Récurrence et transience des états

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence : L’état i est récurrent si, en partant de i, la probabilité d’y revenir est 1 ; il est transitoire si cette probabilité est strictement inférieure à 1.

★ À maîtriser

• L’état i est récurrent si et seulement si la somme des probabilités de retour ∑ₙ≥₁ p⁽ⁿ⁾ᵢᵢ diverge, et transitoire si cette somme converge.

• Dans un espace d’états fini, toute classe fermée est récurrente positive, toute classe ouverte est transitoire, et la chaîne entre presque sûrement dans une classe fermée puis y reste.

Compléments

📌 Un état récurrent est positif si son temps moyen de premier retour est fini et nul si ce temps moyen est infini.

• Pour un état transitoire i, le nombre de visites futures Nᵢ suit sous Pᵢ une loi géométrique de paramètre de non-retour 1 − fᵢᵢ, avec Eᵢ(Nᵢ) = fᵢᵢ/(1 − fᵢᵢ).

• La récurrence, la transience et la récurrence positive sont des propriétés communes à tous les états d’une même classe ; toute classe récurrente est fermée.

💡 Astuce mémo

Récurrent : retours certains et somme des probabilités de retour divergente ; transitoire : visites finies et somme convergente.

📖 8. Chaînes absorbantes et ruine du joueur

🔑 Notions clés & Définitions

• Chaîne absorbante : Une chaîne absorbante est une chaîne finie dont les classes fermées sont des états absorbants et où chaque état transitoire peut atteindre au moins un état absorbant.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une chaîne absorbante partitionnée en états transitoires et absorbants, $P=\begin{pmatrix}Q&R\\0&I\end{pmatrix}$ et la matrice fondamentale est $D=(I-Q)^{-1}=\sum_{n\ge0}Q^n$.

• La probabilité d’être absorbé dans l’état k en partant de l’état transitoire i est l’entrée (i,k) de $DR$.

Compléments

• Pour des états transitoires i et j, Dᵢⱼ est le nombre moyen de passages en j avant absorption en partant de i ; la somme de la ligne i donne la durée moyenne avant absorption.

• L’analyse au premier pas détermine les probabilités d’absorption par les équations hᵢ = ∑ⱼ pᵢⱼhⱼ pour les états transitoires, avec hᵢ = 1 dans la classe cible et 0 dans les autres états absorbants.

• Dans la ruine du joueur avec fortune totale N, probabilité de gain p et q = 1 − p, la probabilité hᵢ de victoire de A vaut [1 − (q/p)ⁱ]/[1 − (q/p)ᴺ] si p ≠ 1/2, et i/N si p = 1/2.

📖 9. Lois invariantes et comportement limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi invariante : Une loi de probabilité π est invariante pour la matrice P si πP = π, soit πⱼ = ∑ᵢ πᵢpᵢⱼ pour tout état j.

★ À maîtriser

• Toute chaîne finie possède au moins une loi invariante ; une chaîne irréductible finie, ou dénombrable et récurrente positive, en possède une seule, dont tous les coefficients sont strictement positifs.

• Si la chaîne est irréductible, apériodique et possède une loi invariante π, alors p⁽ⁿ⁾ᵢⱼ tend vers πⱼ pour tous i et j, quelle que soit la loi initiale.

• Pour une chaîne irréductible possédant une loi invariante π, la proportion de temps passée dans l’état i converge presque sûrement vers πᵢ, sans hypothèse d’apériodicité.

Compléments

• Si X₀ suit une loi invariante π, alors Xₙ suit également π pour tout n.

• Dans une chaîne irréductible possédant une loi invariante, πᵢ = 1/Eᵢ(Tᵢ), l’inverse du temps moyen de retour en i.

📌 Si une loi π vérifie πᵢpᵢⱼ = πⱼpⱼᵢ pour tous i et j, alors π est invariante ; cette condition est appelée bilan détaillé.

📐 Formule - Pour une chaîne de naissance et de mort, le bilan détaillé donne $\pi_n=\pi_0\prod_{i=0}^{n-1}\frac{p_{i,i+1}}{p_{i+1,i}}$, puis π₀ est fixé par la normalisation si la série converge.

💡 Astuce mémo

Irréductibilité + apériodicité + loi invariante → convergence vers cette loi.

📖 10. Estimation des transitions observées

🔑 Notions clés & Définitions

• Estimateur de transition : À partir d’une trajectoire, l’estimateur du maximum de vraisemblance de pᵢⱼ est la fréquence des transitions i → j parmi les Nᵢ transitions issues de i : p̂ᵢⱼ = Nᵢⱼ/Nᵢ.

📝 Points essentiels

• Sous les conditions du théorème ergodique, l’estimateur p̂ᵢⱼ converge presque sûrement vers pᵢⱼ.

📐 Formule - Un intervalle de confiance approximatif à 95 % pour pᵢⱼ est $\hat p_{ij}\pm1{,}96\sqrt{\frac{\hat p_{ij}(1-\hat p_{ij})}{N_i}}$.

📖 11. Définitions du processus de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus de comptage : Un processus de comptage (Nₜ) vérifie N₀ = 0, prend ses valeurs dans les entiers naturels et croît par sauts de taille 1 ; Nₜ compte les événements survenus dans ]0,t].
• Processus de Poisson : Un processus de Poisson d’intensité λ a des accroissements indépendants et stationnaires, et Nₜ − Nₛ suit une loi de Poisson de paramètre λ(t − s) pour 0 ≤ s < t.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre d’événements dans un intervalle de longueur t vérifie $P(N_t=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}$, et E(Nₜ) = Var(Nₜ) = λt.

• Les temps entre événements successifs d’un processus de Poisson sont indépendants et identiquement distribués selon une loi exponentielle de paramètre λ.

Compléments

📌 Sur un intervalle de longueur h tendant vers zéro, la probabilité d’un événement vaut λh + o(h), celle d’au moins deux événements vaut o(h), et celle d’aucun événement vaut 1 − λh + o(h).

• Le temps du n-ième événement suit une loi gamma de paramètres n et λ, de moyenne n/λ et de variance n/λ².

• Conditionnellement à Nₜ = n, les n instants d’arrivée ont la loi des statistiques d’ordre de n variables uniformes indépendantes sur [0,t].

💡 Astuce mémo

Comptage à accroissements de Poisson → petits intervalles → attentes exponentielles.

📖 12. Propriétés du processus de Poisson

★ À maîtriser

• La somme de deux processus de Poisson indépendants d’intensités λ₁ et λ₂ est un processus de Poisson d’intensité λ₁ + λ₂.

• Si chaque événement d’un processus de Poisson d’intensité λ est conservé indépendamment avec probabilité p, les événements conservés et rejetés forment deux processus de Poisson indépendants d’intensités pλ et (1 − p)λ.

Compléments

• Sachant Nₜ = n, le nombre d’événements survenus avant s < t suit une loi binomiale B(n, s/t).

• Pour des bus suivant un processus de Poisson d’intensité 4 par heure, un passager qui monte si un bus arrive entre une minute avant son arrivée et cinq minutes après a une probabilité 1 − e⁻⁰·⁴ ≈ 0,330 de prendre le bus.

💡 Astuce mémo

Sur une ligne de temps, les événements conservés et rejetés forment deux flux indépendants.

📖 13. Applications du processus de Poisson

★ À maîtriser

📐 Formule - Si le succès consiste à prendre le dernier bus avant l’heure limite t₀, choisir s maximise la probabilité $p(s)=\lambda(t_0-s)e^{-\lambda(t_0-s)}$ lorsque $s=t_0-1/\lambda$ ; la probabilité maximale vaut $e^{-1}\approx 0{,}368$.

• Pour qu’une file dépasse 250 m lorsque chaque véhicule immobilisé occupe 8 m, il faut que le temps d’attente du 32e véhicule soit inférieur à la durée d’interruption ; ce temps est une somme de 32 exponentielles de moyenne 1/2 minute et de variance 1/4 minute².

Compléments

• Pour une intensité de 4 bus par heure, la probabilité qu’un passager prenne un bus présent dans l’intervalle de 6 minutes autour de son arrivée est $1-e^{-0{,}4}\approx 0{,}330$.

📐 Formule - Sachant que quatre véhicules passent en trois minutes sous un processus de Poisson homogène, le nombre passé pendant les deux premières minutes suit une loi binomiale $\mathcal{B}(4{,}2/3)$, et la probabilité qu’il y en ait exactement trois est $32/81\approx0{,}395$.

• Par approximation normale, la probabilité que la file dépasse 250 m atteigne 0,2 pour une interruption d’environ 13,6 minutes.

📖 14. Processus de Poisson non homogène

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus de Poisson non homogène : Un processus de Poisson non homogène a une intensité dépendant du temps λ(t), localement intégrable, et une fonction moyenne $m(t)=\int_0^t\lambda(u)\,du$.

★ À maîtriser

• Pour s<t, le nombre d’événements entre s et t suit une loi de Poisson de paramètre $m(t)-m(s)$, et la probabilité qu’aucun événement n’ait lieu avant t vaut $e^{-m(t)}$.

Compléments

📐 Formule - Le temps T₁ du premier événement d’un processus de Poisson non homogène a pour densité $f_{T_1}(t)=\lambda(t)e^{-m(t)}$.

• Dans un processus de Poisson non homogène, les accroissements ne sont pas stationnaires et les temps entre événements ne sont ni indépendants ni de même loi.

• Sachant N_t=n, les instants des n événements sont les statistiques d’ordre de n variables aléatoires indépendantes de densité $\lambda(u)/m(t)$ sur [0,t].

📐 Formule - Si M est un processus de Poisson d’intensité 1, alors $N_t=M_{m(t)}$ réalise le processus non homogène par changement d’horloge.

💡 Astuce mémo

Une intensité variable λ(t) entraîne des accroissements non stationnaires.

📖 15. Processus de Poisson composé

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus de Poisson composé : Un processus de Poisson composé est défini par $S_t=\sum_{k=1}^{N_t}Y_k$, où N est un processus de Poisson d’intensité λ et les Yₖ sont indépendantes de N et indépendantes et identiquement distribuées.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un processus de Poisson composé tel que $E(Y^2)<\infty$, $E(S_t)=\lambda tE(Y)$ et $\operatorname{Var}(S_t)=\lambda tE(Y^2)$.

Compléments

📐 Formule - La fonction caractéristique d’un processus de Poisson composé est $E(e^{iuS_t})=e^{\lambda t(\varphi_Y(u)-1)}$, où $\varphi_Y(u)=E(e^{iuY})$.

• Le processus de Poisson composé a des accroissements indépendants et stationnaires ; si Y vaut toujours 1, il se réduit au processus de comptage N.

• Pour 10 sinistres par mois et des montants exponentiels de moyenne 0,5 million de FCFA, la charge annuelle a une espérance de 60 millions de FCFA, une variance de 60 millions de FCFA au carré et un écart-type d’environ 7,75 millions de FCFA.

📖 16. Martingales et estimation de l’intensité

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de Markov : Le processus de Poisson est un processus de Markov à temps continu : sachant N_s, son futur après s est indépendant de son passé.

★ À maîtriser

• Pour la filtration naturelle du processus de Poisson, $N_t-\lambda t$, $(N_t-\lambda t)^2-\lambda t$ et $\exp(\theta N_t-\lambda t(e^\theta-1))$ sont des martingales.

📐 Formule - Sur [0,t], l’estimateur du maximum de vraisemblance de l’intensité est $\widehat\lambda=N_t/t$, d’espérance λ et de variance $\lambda/t$.

Compléments

📐 Formule - Un intervalle de confiance approché à 95 % pour l’intensité est $\widehat\lambda\pm1{,}96\sqrt{\widehat\lambda/t}$.

📌 Pour tester H₀: λ=λ₀ au niveau 5 %, on rejette selon l’approximation normale si $|N_t-\lambda_0t|/\sqrt{\lambda_0t}>1{,}96$, ou par un calcul exact avec la loi de Poisson de paramètre λ₀t.

• Pour vérifier le modèle homogène, les comptages sur des intervalles de même longueur doivent être indépendants et identiquement distribués selon une loi de Poisson ; la dispersion empirique est alors proche de 1.

📖 17. Limite brownienne, définition, covariance et trajectoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement brownien standard : Un mouvement brownien standard est un processus nul à l’origine, à accroissements indépendants, stationnaires et gaussiens de loi $B_t-B_s\sim\mathcal N(0,t-s)$, et à trajectoires continues presque sûrement.
• Brownien général : Un brownien général de dérive μ et de volatilité σ s’écrit $X_t=x_0+\mu t+\sigma B_t$.
• Processus gaussien : Un processus est gaussien lorsque tout vecteur fini de ses valeurs est gaussien ; sa loi est caractérisée par sa fonction moyenne et sa fonction de covariance.

★ À maîtriser

• Le théorème de Donsker affirme que le processus d’échelle $B_t^{(n)}=S_{\lfloor nt\rfloor}/\sqrt n$ converge en loi dans C([0,1]) vers un mouvement brownien lorsque les pas sont indépendants, identiquement distribués, centrés et de variance 1.

📐 Formule - La covariance du mouvement brownien standard est $\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t)$.

• Presque sûrement, les trajectoires browniennes sont continues mais dérivables en aucun point, et leur variation quadratique sur [0,t] vaut t.

Compléments

• Pour un mouvement brownien standard, $B_t\sim\mathcal N(0,t)$.

• Le mouvement brownien standard est, à égalité en loi près, l’unique processus gaussien centré à trajectoires continues de covariance $\min(s,t)$.

• Les processus $-B_t$, $B_{ct}/\sqrt c$ pour c>0, $B_{t+s}-B_s$ et $tB_{1/t}$ sont eux aussi des mouvements browniens standards.

📖 18. Martingales et réflexion browniennes

★ À maîtriser

• Pour la filtration naturelle du mouvement brownien, $B_t$, $B_t^2-t$, $\exp(\theta B_t-\theta^2t/2)$ et $B_t^3-3tB_t$ sont des martingales.

📐 Formule - Pour $T_a=\inf\{t:B_t=a\}$ et $M_t=\max_{s\le t}B_s$, le principe de réflexion donne $P(M_t\ge a)=P(T_a\le t)=2(1-\Phi(a/\sqrt t))$.

📐 Formule - Le brownien géométrique $S_t=S_0\exp((\mu-\sigma^2/2)t+\sigma B_t)$ a une loi log-normale, d’espérance $S_0e^{\mu t}$ et de variance $S_0^2e^{2\mu t}(e^{\sigma^2t}-1)$.

Compléments

• Pour tout temps d’arrêt fini presque sûrement τ, le processus $(B_{\tau+t}-B_\tau)_{t\ge0}$ est un mouvement brownien indépendant de la filtration au temps τ.

• Pour tout niveau a>0, le temps d’atteinte T_a est fini presque sûrement, mais son espérance est infinie.

📐 Formule - Le temps d’atteinte T_a d’un niveau a>0 a pour densité $f_{T_a}(t)=\frac{a}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-a^2/(2t)}$ sur les temps positifs.

📐 Formule - Pour un brownien avec dérive $X_t=x_0+\mu t+\sigma B_t$, $X_t\sim\mathcal N(x_0+\mu t,\sigma^2t)$ et $\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=\sigma^2\min(s,t)$.

💡 Astuce mémo

Après avoir touché a, refléter la trajectoire autour de la droite horizontale de niveau a.

📖 19. Intégrales stochastiques et formule d’Itô

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale de Wiener : Pour une fonction en escalier f, l’intégrale de Wiener est $\int_0^T f(s)\,dB_s=\sum_i\alpha_i(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})$ ; elle s’étend par densité aux fonctions de L²([0,T]).
• Intégrale d’Itô : Pour un processus adapté H tel que $E\int_0^tH_s^2ds<\infty$, l’intégrale d’Itô est la limite dans L² des sommes de Riemann au point gauche $\sum_kH_{t_k}(B_{t_{k+1}}-B_{t_k})$.
• Processus d’Itô : Un processus d’Itô s’écrit $X_t=X_0+\int_0^tb_sds+\int_0^t\sigma_sdB_s$, ou en notation différentielle $dX_t=b_tdt+\sigma_tdB_t$.

★ À maîtriser

📌 Pour f de classe C¹ en t et C² en x, la formule d’Itô donne $df(t,X_t)=\partial_tf\,dt+\partial_xf\,dX_t+\frac12\partial_{xx}f\,\sigma_t^2dt$.

Compléments

📐 Formule - L’intégrale de Wiener $\int_0^T f\,dB$ est gaussienne centrée de variance $\int_0^T f^2$, et $E[(\int_0^T f\,dB)(\int_0^T g\,dB)]=\int_0^T fg$.

📐 Formule - L’intégrale d’Itô est centrée, vérifie $E[(\int_0^tH_s\,dB_s)^2]=E\int_0^tH_s^2ds$ et définit une martingale continue.

📐 Formule - Pour l’intégrale d’Itô, $\int_0^tB_s\,dB_s=(B_t^2-t)/2$, et non $B_t^2/2$.

• Les règles de calcul d’Itô sont $(dt)^2=0$, $dt\,dB_t=0$ et $(dB_t)^2=dt$ ; le terme en dérivée seconde constitue la correction d’Itô.

💡 Astuce mémo

Point gauche : intégrale d’Itô martingale ; point droit : limite différente.

📖 20. Équations différentielles stochastiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle stochastique : Une équation différentielle stochastique s’écrit $dX_t=b(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dB_t$ avec condition initiale $X_0=x_0$.
• Solution forte : Une solution forte est un processus adapté à la filtration du mouvement brownien qui vérifie l’équation intégrale associée presque sûrement.

★ À maîtriser

📌 Si b et σ sont lipschitziennes en x uniformément en t et à croissance au plus linéaire, l’EDS possède une unique solution forte continue sur tout intervalle borné.

Compléments

• Le brownien géométrique satisfait $dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdB_t$ et sa solution est $S_t=S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)t+\sigma B_t}$.

📐 Formule - Le processus d’Ornstein–Uhlenbeck satisfait $dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigma dB_t$ et a une loi stationnaire $\mathcal N(\mu,\sigma^2/(2\theta))$.

📐 Formule - Le générateur d’une diffusion $dX_t=b(X_t)dt+\sigma(X_t)dB_t$ est $Lf(x)=b(x)f'(x)+\frac12\sigma^2(x)f''(x)$.