Fiche de révision : Introduction à la mécanique du point

📋 Plan du Cours

1. Cinématique et dynamique
2. Notion et représentation des forces
3. Interactions fondamentales
4. Lois des forces usuelles
5. Quantité de mouvement
6. Lois de Newton
7. Lois de Newton et leurs limites
8. Référentiels galiléens et pseudo-forces
9. Équations du mouvement et déterminisme
10. Contraintes et degrés de liberté
11. Réactions et frottements

📖 1. Cinématique et dynamique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Galileo Galilée, 1564-1642 - Décrit le mouvement d’un objet à partir de sa trajectoire, de sa vitesse et de son accélération.
• Dynamique : Isaac Newton, 1643-1727 - Détermine le mouvement d’un objet à partir des causes qui le provoquent.

📖 2. Notion et représentation des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Action exercée sur un corps, qui se manifeste par une déformation, le maintien de l’équilibre ou la mise en mouvement.
• Champ de forces : Situation où la force exercée sur une particule peut s’écrire en tout point sous la forme $\vec F=\alpha\vec E$, où α dépend de la particule et $\vec E$ est une propriété vectorielle de l’espace évaluée à sa position.

★ À maîtriser

• Une force est caractérisée par son point d’application, sa direction, son sens et son intensité, et elle est représentée par un vecteur.

Compléments

• Des exemples de champs de forces sont :
  • le champ électrique
  • le champ gravitationnel
  • le champ de pesanteur

📖 3. Interactions fondamentales

★ À maîtriser

• Les quatre interactions fondamentales sont :
  • gravitationnelle
  • faible
  • électromagnétique
  • forte

Compléments

• La portée de l’interaction gravitationnelle est infinie et son ordre de grandeur relatif est 1.

• La portée de l’interaction faible est de $10^{-17}\,\mathrm{m}$ et son ordre de grandeur relatif est $10^{33}$.

• La portée de l’interaction électromagnétique est infinie et son ordre de grandeur relatif est $10^{35}$.

• La portée de l’interaction forte est de $10^{-15}\,\mathrm{m}$ et son ordre de grandeur relatif est $10^{38}$.

📖 4. Lois des forces usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux charges q₁ et q₂ séparées selon $\vec r_2-\vec r_1=r_{12}\vec u_{12}$, la force exercée par q₁ sur q₂ est $\vec f_{1\to2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\vec u_{12}$.

📐 Formule - Une charge q se déplaçant à la vitesse $\vec v$ dans des champs électrique $\vec E$ et magnétique $\vec B$ subit la force de Lorentz $\vec F=q(\vec E+\vec v\wedge\vec B)$.

📐 Formule - Pour deux masses m₁ et m₂ séparées selon $\vec r_2-\vec r_1=r_{12}\vec u_{12}$, la force gravitationnelle exercée par m₁ sur m₂ est $\vec f_{1\to2}=-G\frac{m_1m_2}{r_{12}^2}\vec u_{12}$.

📐 Formule - À faible altitude près de la surface terrestre, le poids d’une particule de masse m est $\vec P=m\vec g=-mg\vec e_r$, avec $g=\frac{GM}{R^2}$.

Compléments

📐 Formule - Les forces électriques entre deux charges vérifient $\vec f_{2\to1}=-\vec f_{1\to2}$.

📐 Formule - La force électrique exercée sur q₂ par le champ créé par q₁ s’écrit $\vec f_{1\to2}=q_2\vec E_1$.

📐 Formule - Un élément de circuit de longueur $d\vec\ell$ parcouru par un courant I dans un champ magnétique $\vec B$ subit la force de Laplace $d\vec F=I d\vec\ell\wedge\vec B$.

• La constante de gravitation universelle vaut $G=6{,}67\times10^{-11}$.

📐 Formule - La force gravitationnelle exercée par m₁ sur m₂ peut s’écrire $\vec f_{1\to2}=m_2\vec E_1$, où $\vec E_1$ est le champ gravitationnel créé par m₁ à la position de m₂.

📐 Formule - Pour un ressort de longueur au repos x₀, la force de rappel est $\vec F=-k(x-x_0)\vec e_x$, où k est la raideur du ressort exprimée en N·m⁻¹.

📖 5. Quantité de mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : Newton - Produit de la masse inertielle mᵢ par la vitesse : $\vec p=m_i\vec v$.
• Masse inertielle : Grandeur scalaire liée à la quantité de matière contenue dans le point matériel et définie à partir de grandeurs dynamiques.

📝 Points essentiels

• La masse inertielle doit être reliée à la masse gravitationnelle.

📖 6. Lois de Newton

★ À maîtriser

📌 Selon le principe d’inertie, un corps isolé sur lequel n’agit aucune force conserve sa quantité de mouvement.

📐 Formule - La deuxième loi de Newton énonce que la force totale appliquée à un corps est la dérivée temporelle de sa quantité de mouvement : $\vec F=\frac{d\vec p}{dt}$.

📐 Formule - Pour une masse inertielle constante, la deuxième loi de Newton s’écrit $\vec F=m_i\vec a$.

📌 Selon le principe de l’action et de la réaction, lorsque deux corps interagissent, la force exercée par le corps 1 sur le corps 2 est égale et opposée à celle exercée par le corps 2 sur le corps 1.

Compléments

• Si un corps isolé est au repos, il reste au repos ; s’il a une vitesse initiale, il conserve cette vitesse et suit un mouvement rectiligne uniforme.

• Dans l’exemple d’un objet lâché dans un train à vitesse constante, l’objet conserve sa vitesse horizontale ; vu de l’extérieur, il décrit une parabole.

• À force appliquée donnée, l’accélération d’un point matériel est d’autant plus faible que sa masse inertielle est grande.

📖 7. Lois de Newton et leurs limites

★ À maîtriser

📌 Les lois de Newton supposent une accélération absolue et ne sont valables qu’après avoir précisé le référentiel considéré.

Compléments

• La première loi de Newton est un cas particulier de la deuxième loi.

• La masse peut ne pas être constante et dépend de la vitesse lorsque celle-ci est proche de celle de la lumière.

• Les rapports mesurés entre masse inertielle et masse gravitationnelle sont toujours identiques ; ces deux masses sont donc identiques en mécanique.

📖 8. Référentiels galiléens et pseudo-forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Référentiel dans lequel les lois de Newton sont applicables.

★ À maîtriser

• Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.

• Un référentiel peut être considéré comme galiléen pour un mouvement donné si la relation fondamentale de la dynamique y est vérifiée avec une précision suffisante.

📐 Formule - Dans un référentiel non galiléen R′, l’équation du mouvement s’écrit $m\vec a_{M/R'}=\vec F+\vec F_c+\vec F_e$, avec $\vec F_e=-m\vec a_e$ et $\vec F_c=-m\vec a_c$.

Compléments

📌 Deux référentiels R et R′ ont la même accélération pour un point M si les accélérations d’entraînement et de Coriolis sont nulles ; cela correspond à une vitesse angulaire nulle et à une accélération de l’origine O′ nulle.

• Les référentiels évalués sont : celui lié à la surface de la Terre, celui dont l’origine est liée au centre de la Terre et dont les directions sont fixes par rapport aux étoiles, celui de Copernic, dont l’origine est au centre du système solaire et dont les axes joignent ce centre à trois étoiles

• La force pseudo-force d’entraînement est $\vec F_e=-m\vec a_e$ et la pseudo-force de Coriolis est $\vec F_c=-m\vec a_c$.

📌 Un référentiel non galiléen peut être considéré comme galiléen lorsque ses pseudo-forces sont négligeables devant les forces réellement appliquées.

💡 Astuce mémo

Pseudo-forces négligeables → référentiel traité comme galiléen

📖 9. Équations du mouvement et déterminisme

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit $\vec F=m\vec a$ et, en coordonnées cartésiennes, $m\frac{d^2x}{dt^2}=F_x$, $m\frac{d^2y}{dt^2}=F_y$ et $m\frac{d^2z}{dt^2}=F_z$.

• Pour des conditions initiales données, la solution du mouvement est unique et la mécanique classique est déterministe.

Compléments

• Les composantes de la force peuvent dépendre de la position, de la vitesse, du temps ou d’autres variables, ce qui conduit à un système d’équations différentielles du second ordre.

• L’intégration du système d’équations différentielles du second ordre fait apparaître six constantes déterminées par les conditions initiales de position et de vitesse.

📌 Le choix du repère, cartésien, polaire ou cylindrique par exemple, doit privilégier la simplicité d’écriture et de résolution des équations.

• Pour une particule chargée dans un champ magnétique uniforme avec $\vec B\perp\vec v(0)$, la force est $\vec F=q\vec v\wedge\vec B$.

📖 10. Contraintes et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré de liberté : Variable indépendante nécessaire pour décrire le mouvement d’une particule.

📝 Points essentiels

• Une particule libre décrite par trois coordonnées possède trois degrés de liberté.

• Une particule astreinte à une surface possède deux degrés de liberté ; sur une sphère de rayon R centrée en O, sa contrainte est $x^2+y^2+z^2-R^2=0$.

• Une particule astreinte à une courbe par deux contraintes possède un degré de liberté, par exemple l’abscisse curviligne.

📖 11. Réactions et frottements

★ À maîtriser

• À l’équilibre d’une particule sur un plan incliné, la réaction du support est égale et opposée au poids et se décompose en une composante normale et une composante tangentielle.

📌 Les frottements visqueux dépendent de la vitesse, tandis que les frottements solides sont indépendants de la vitesse et relèvent des lois de Coulomb.

📌 À l’équilibre, le rapport $\|\vec T\|/\|\vec N\|$ est inférieur au coefficient de frottement statique $f_{st}$, et l’angle Φ du cône de frottement vérifie $f_{st}=\tan\Phi$.

Compléments

📐 Formule - La réaction de liaison vérifie $\vec R=\vec T+\vec N$, où $\vec T$ est sa composante tangentielle et $\vec N$ sa composante normale.

📐 Formule - À faible vitesse en régime de Stokes, la loi de Stokes donne pour une sphère de rayon R $\vec f=-\alpha\vec v$, avec $\alpha=6\pi\eta R$, où η est la viscosité dynamique du fluide et $\vec v$ la vitesse de la sphère par rapport au fluide.

📐 Formule - À grande vitesse en régime turbulent, la force de frottement visqueux est $\vec f=-\frac{C_x\rho}{2}v^2S\frac{\vec v}{\|\vec v\|}$, où $C_x$ est le coefficient de traînée, ρ la masse volumique du fluide et S l’aire du solide perpendiculaire à la vitesse.

📌 Lorsqu’il y a glissement, le rapport $\|\vec T\|/\|\vec N\|$ est égal au coefficient de frottement de glissement ou cinétique $f_c$.

💡 Astuce mémo

Visqueux dépend de la vitesse ; solide suit les lois de Coulomb