Fiche de révision : Coordonnées et cinématique du point

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la mécanique du point
2. Démarche scientifique en mécanique
3. Définition, caractéristiques, égalité et addition des vecteurs
4. Produit scalaire de deux vecteurs
5. Repère cartésien orthonormé, composantes et produit scalaire
6. Calculs sur les vecteurs
7. Coordonnées polaires et repérage spatial cartésien et cylindrique
8. Abscisse curviligne et base de Frenet
9. Notions fondamentales de cinématique
10. Mesure des longueurs et du temps
11. Trajectoire et déplacement
12. Expressions de la vitesse
13. Accélération du point matériel
14. Accélération selon les coordonnées
15. Exemples de mouvements cinématiques

📖 1. Fondements de la mécanique du point

🔑 Notions clés & Définitions

• Mécanique : Science qui étudie les représentations du mouvement des objets et les causes qui le provoquent, le modifient ou l'empêchent.
• Mécanique du point : Étude d'objets de dimensions très petites, assimilables à des points.

★ À maîtriser

• Les grands domaines de la mécanique sont :
  • La statique étudie les conditions d'équilibre
  • La cinématique étudie les représentations du mouvement
  • La dynamique étudie les relations entre le mouvement et ses causes
  • La cinétique étudie la géométrie des masses

Compléments

• La mécanique newtonienne correspond au domaine des vitesses faibles devant celle de la lumière, à des dimensions supérieures aux échelles quantiques et inférieures aux échelles cosmologiques représentées dans le schéma.

• Isaac Newton (1643-1727) a formulé les lois de l'attraction universelle et de la dynamique.

• Albert Einstein (1879-1955) a développé la relativité restreinte puis générale.

💡 Astuce mémo

La cinématique décrit le mouvement ; la dynamique en cherche les causes.

📖 2. Démarche scientifique en mécanique

📝 Points essentiels

• La démarche scientifique comprend l'observation et la collecte de données empiriques, la synthèse et la modélisation, l'analyse du modèle et la prédiction de phénomènes, la vérification expérimentale, puis la nécessité éventuelle d'une nouvelle approche.

💡 Astuce mémo

Observer → modéliser → prédire → vérifier.

📖 3. Définition, caractéristiques, égalité et addition des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Un vecteur est défini par un couple de points (A, B) et caractérisé par son origine A, sa direction, son sens et sa norme ou longueur.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux s'ils ont le même module ou norme, la même direction et le même sens, ou si l'un peut être obtenu de l'autre par translation.

Compléments

• La somme de deux vecteurs est le vecteur résultant de leur addition, noté $\vec V=\vec V_1+\vec V_2$.

📖 4. Produit scalaire de deux vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec V_1$ et $\vec V_2$ est le nombre algébrique égal au produit de leurs normes par le cosinus de l'angle arithmétique θ compris entre eux, avec $0<\theta<\pi$.
• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de $\vec V_1$ et $\vec V_2$ est le vecteur $\vec W=\vec V_1\wedge\vec V_2$, perpendiculaire au plan qu’ils définissent et orienté de sorte que $\vec V_1,\vec V_2,\vec W$ forment un trièdre direct.
• Moment d’un vecteur : Le moment du vecteur $\overrightarrow{AB}$ par rapport au point $O$ est $\vec M_O(\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{AB}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le produit scalaire de deux vecteurs vérifie $\vec V_1\cdot\vec V_2=\|\vec V_1\|\,\|\vec V_2\|\cos\theta$.

📐 Formule - La projection du vecteur $\vec V$ sur une droite de vecteur directeur unitaire $\vec e$ est $\vec V_\delta=(\vec V\cdot\vec e)\vec e$.

📐 Formule - La norme du produit vectoriel vérifie $\|\vec V_1\wedge\vec V_2\|=\|\vec V_1\|\,\|\vec V_2\|\sin\theta$, où $\theta$ est l’angle entre les deux vecteurs.

📌 La règle de la main droite fixe l’orientation du produit vectoriel : $\vec A\wedge\vec B=\vec C$ et $\vec B\wedge\vec A=-\vec C$.

Compléments

• Si deux vecteurs sont perpendiculaires, leur produit scalaire est nul.

📐 Formule - Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même vérifie $\vec V\cdot\vec V=\|\vec V\|^2$.

📌 Tout vecteur $\vec V$ se décompose en $\vec V=\vec V_\delta+\vec W$, où $\vec W$ est perpendiculaire à sa projection $\vec V_\delta$ sur la droite.

• La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est l’aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs.

📖 5. Repère cartésien orthonormé, composantes et produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Dans l’espace à trois dimensions, un repère cartésien est défini par une origine $O$ et une base orthonormée $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère cartésien, un vecteur se décompose de manière unique selon $\vec V=V_x\vec e_x+V_y\vec e_y+V_z\vec e_z$, où $V_k=\vec V\cdot\vec e_k$ sont ses composantes cartésiennes.

📐 Formule - Le produit scalaire de deux vecteurs s’écrit avec leurs composantes $\vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$.

📐 Formule - Le produit vectoriel en composantes cartésiennes est $\vec A\wedge\vec B=(A_yB_z-A_zB_y)\vec e_x+(A_zB_x-A_xB_z)\vec e_y+(A_xB_y-A_yB_x)\vec e_z$.

Compléments

📌 Dans une base orthonormée, chaque vecteur de base est unitaire et $\vec e_i\cdot\vec e_j=\delta_{i,j}$, avec $\delta_{i,j}=1$ si $i=j$ et $0$ sinon.

• Les composantes d’un vecteur nul sont nulles : si $\vec A=\vec 0$, alors $A_k=0$ pour $k=x,y,z$.

📐 Formule - Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs composantes correspondantes sont égales : $\vec A=\vec B\iff A_k=B_k$ pour $k=x,y,z$.

📐 Formule - Les composantes d’une somme de vecteurs s’additionnent : si $\vec V=\vec A+\vec B$, alors $V_k=A_k+B_k$ pour $k=x,y,z$.

📐 Formule - La multiplication d’un vecteur par un scalaire multiplie chacune de ses composantes : si $\vec V=\lambda\vec A$, alors $V_k=\lambda A_k$ pour $k=x,y,z$.

📐 Formule - La norme d’un vecteur de composantes $V_x,V_y,V_z$ est $\|\vec V\|=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}$.

📌 Pour les vecteurs de base, $\vec e_i\wedge\vec e_j=0$ si $i=j$; si $i\ne j$, leur produit vectoriel est le troisième vecteur de base avec le signe déterminé par l’orientation directe.

📖 6. Calculs sur les vecteurs

★ À maîtriser

• La valeur absolue du produit mixte $\vec A\cdot(\vec B\wedge\vec C)$ est égale au volume du parallélépipède construit sur $\vec A,\vec B,\vec C$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux vecteurs non nuls, le cosinus de leur angle se calcule par $\cos\theta=\frac{A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z}{\|\vec A\|\,\|\vec B\|}$.

📐 Formule - Le produit mixte peut se calculer par $\vec A\cdot(\vec B\wedge\vec C)=A_x(B_yC_z-B_zC_y)-A_y(B_xC_z-B_zC_x)+A_z(B_xC_y-B_yC_x)$.

📖 7. Coordonnées polaires et repérage spatial cartésien et cylindrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Les coordonnées cartésiennes et polaires d’un point du plan sont liées par $x=\rho\cos\varphi$ et $y=\rho\sin\varphi$.

• En coordonnées cartésiennes dans l’espace, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$, où $x$, $y$ et $z$ sont les coordonnées cartésiennes.

• En coordonnées cylindriques, $x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$ et la coordonnée verticale reste $z$ ; le vecteur position vaut $\overrightarrow{OM}=\rho\vec e_\rho+z\vec e_z$, avec $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\tan\varphi=\frac{y}{x}$.

• En coordonnées sphériques, $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$ et $z=r\cos\theta$ ; le vecteur position vaut $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$, avec $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $\tan\varphi=\frac{y}{x}$ et $\tan\theta=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$.

Compléments

📐 Formule - Le vecteur position dans le plan s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y=\rho\vec e_\rho$.

📐 Formule - En coordonnées polaires, $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\tan\varphi=\frac{y}{x}$.

• Les vecteurs $\vec e_\rho$ et $\vec e_\varphi$ constituent la base locale polaire.

• Les coordonnées cylindriques sont $\rho$, $\varphi$ et $z$, et la base locale cylindrique est $(\vec e_\rho,\vec e_\varphi,\vec e_z)$.

• Les coordonnées sphériques sont $r$, $\theta$ et $\varphi$, et la base locale sphérique est $(\vec e_r,\vec e_\theta,\vec e_\varphi)$.

📖 8. Abscisse curviligne et base de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse curviligne : L’abscisse curviligne $s(t)$ indique la distance parcourue le long de la trajectoire, comme le ferait le compteur kilométrique d’une voiture.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le vecteur élémentaire le long de la trajectoire est $d\vec\ell=ds\,\vec e_\tau$, où $\vec e_\tau$ est le vecteur unitaire tangent à la courbe.

• Le vecteur unitaire normal est défini par $\vec e_n=R\frac{d\vec e_\tau}{ds}$, où $R$ est le rayon du cercle tangent à la courbe en $M$ dans le plan osculateur, et il est dirigé vers la concavité.

• Le vecteur binormal est $\vec e_B=\vec e_\tau\wedge\vec e_n$ ; avec $\vec e_\tau$ et $\vec e_n$, il forme le trièdre de Serret-Frenet.

💡 Astuce mémo

Imaginez un mobile suivi par une flèche tangente, une flèche vers la concavité et une flèche perpendiculaire aux deux.

📖 9. Notions fondamentales de cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Point matériel : Un point matériel est un objet dont les dimensions sont négligeables par rapport à celles de sa trajectoire.
• Mouvement : Le mouvement est la variation au cours du temps de la position d’un objet par rapport à un autre objet.
• Référentiel : Un référentiel est le système physique par rapport auquel le mouvement est décrit.
• Cinématique : La cinématique est l’étude du mouvement des objets sans référence aux causes du mouvement.
• Repère : Un repère est le système géométrique attaché à un référentiel qui permet d’y représenter la position d’un point matériel.

💡 Astuce mémo

Le référentiel est le système physique observé ; le repère est la grille géométrique qui lui est attachée.

📖 10. Mesure des longueurs et du temps

★ À maîtriser

• Le mètre est la longueur parcourue par la lumière pendant une durée de $\frac{1}{299\,792\,458}$ seconde.

• En mécanique classique, le temps est universel et identique dans tous les référentiels.

• La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la transition entre deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133.

Compléments

• L’échelle des longueurs présentée va de $10^{-15}\,\mathrm m$ pour une particule élémentaire à $10^{27}\,\mathrm m$ pour la dimension de l’Univers.

• L’échelle des temps présentée va de $10^{-25}\,\mathrm s$ pour la durée de vie des bosons à environ $4{,}35\times10^{17}\,\mathrm s$ pour l’âge de l’Univers.

📖 11. Trajectoire et déplacement

🔑 Notions clés & Définitions

• Trajectoire : La trajectoire est le lieu géométrique des points successivement occupés par un point matériel.
• Vecteur position : Le vecteur position est le vecteur $\overrightarrow{OM}(t)=\vec r(t)$ qui relie l’origine $O$ au point matériel $M$.
• Vitesse instantanée : Dérivée de son vecteur position par rapport au temps, soit $\vec v=\frac{d\vec r}{dt}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, le déplacement élémentaire est tangent à la trajectoire et s’écrit $d\overrightarrow{OM}=d\rho\,\vec e_\rho+\rho\,d\varphi\,\vec e_\varphi+dz\,\vec e_z$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, le déplacement élémentaire est tangent à la trajectoire et s’écrit $d\overrightarrow{OM}=dr\,\vec e_r+r\,d\theta\,\vec e_\theta+r\sin\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi$.

📌 Les composantes du vecteur vitesse dépendent du repère choisi, mais sa norme reste la même quel que soit le repère.

📌 Le repère cartésien est le plus approprié pour un mouvement rectiligne ; pour un mouvement plan, on peut choisir un repère cartésien ou polaire ; pour un mouvement spatial, on peut choisir un repère cartésien, cylindrique ou sphérique selon la géométrie du mouvement.

Compléments

• Une trajectoire rectiligne est inscrite sur une droite, tandis qu’une trajectoire plane est inscrite dans un plan.

📌 Le vecteur position ne mesure pas la distance parcourue le long de la trajectoire, laquelle est liée à l’abscisse curviligne.

• Une trajectoire générale est une courbe continue qui peut être gauche, c’est-à-dire ne pas être inscrite dans un plan de l’espace.

💡 Astuce mémo

Le vecteur position relie l’origine au point ; l’abscisse curviligne suit le chemin parcouru.

📖 12. Expressions de la vitesse

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, la vitesse s’écrit $\vec v=\dot{x}\vec e_x+\dot{y}\vec e_y+\dot{z}\vec e_z$ et, en coordonnées polaires, $\vec v=\dot{\rho}\vec e_\rho+\rho\dot{\phi}\vec e_\phi$.

📐 Formule - En coordonnées curvilignes, la vitesse s’écrit $\vec v=\dot{s}\vec e_\tau$ et sa norme vaut $\|\vec v\|=\dot{s}$, où $s$ est l’abscisse curviligne.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, la vitesse s’écrit $\vec v=\dot{\rho}\vec e_\rho+\rho\dot{\phi}\vec e_\phi+\dot{z}\vec e_z$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, la vitesse s’écrit $\vec v=\dot{r}\vec e_r+r\dot{\theta}\vec e_\theta+r\sin\theta\dot{\phi}\vec e_\phi$.

• La vitesse instantanée est portée par la tangente à la trajectoire.

📖 13. Accélération du point matériel

★ À maîtriser

📐 Formule - L’accélération moyenne entre deux instants est $\vec a_{12}=\frac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2-t_1}$ et l’accélération instantanée est $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}$.

📌 L’accélération tangentielle est liée à la variation de la valeur algébrique de la vitesse, tandis que l’accélération normale est liée à la variation de la direction de la vitesse.

Compléments

📐 Formule - Pour un mouvement rectiligne, l’accélération s’écrit $\vec a=\frac{d^2x(t)}{dt^2}\vec e_x$.

📐 Formule - Dans un mouvement rectiligne uniforme, $\vec a=\vec 0$, $\vec v=v_0\vec e_x$ et $\vec{OM}=(v_0t+x_0)\vec e_x$.

📐 Formule - Dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré, $\vec a=a_0\vec e_x$, $\vec v=(a_0t+v_0)\vec e_x$ et $\vec{OM}=\left(\frac{1}{2}a_0t^2+v_0t+x_0\right)\vec e_x$.

💡 Astuce mémo

Tangente : variation de la valeur de la vitesse ; normale : variation de sa direction.

📖 14. Accélération selon les coordonnées

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, l’accélération vaut $\vec a=\ddot{x}\vec e_x+\ddot{y}\vec e_y+\ddot{z}\vec e_z$.

📐 Formule - En coordonnées polaires, l’accélération vaut $\vec a=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^{2})\vec e_\rho+(2\dot{\rho}\dot{\phi}+\rho\ddot{\phi})\vec e_\phi$.

📐 Formule - En coordonnées curvilignes, $\vec a=\ddot{s}\vec e_\tau+\frac{\dot{s}^{2}}{R}\vec e_n=\vec a_t+\vec a_n$, où $s$ est l’abscisse curviligne et $R$ le rayon de courbure.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, l’accélération vaut $\vec a=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^{2})\vec e_\rho+(2\dot{\rho}\dot{\phi}+\rho\ddot{\phi})\vec e_\phi+\ddot{z}\vec e_z$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, l’accélération vaut $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2-r\sin^2\theta\dot\phi^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta-r\sin\theta\cos\theta\dot\phi^2)\vec e_\theta+(2\dot r\dot\phi\sin\theta+2r\cos\theta\dot\theta\dot\phi+r\sin\theta\ddot\phi)\vec e_\phi$.

📐 Formule - En coordonnées curvilignes, les normes des accélérations tangentielle et normale vérifient $\|\vec a_t\|=\left|\frac{dv}{dt}\right|$ et $\|\vec a_n\|=\frac{v^2}{R}$.

📖 15. Exemples de mouvements cinématiques

📝 Points essentiels

• La cycloïde est décrite en coordonnées cartésiennes par $x(t)=R(\omega t-\sin\omega t)$ et $y(t)=R(1-\cos\omega t)$.

• La spirale logarithmique est décrite en coordonnées polaires par $\rho(t)=a\exp(\phi)$ avec $\phi=\omega t$.

• Pour un mouvement circulaire centré en O de rayon $R$, la vitesse curviligne vérifie $\dot{s}=R\dot{\phi}$.

• Un mouvement circulaire décentré est décrit en coordonnées polaires par $\rho=a\cos\phi$ et $\phi=\omega t$, avec $a$ et $\omega$ constants.

• Un mouvement hélicoïdal uniforme est décrit en coordonnées cylindriques par $\rho=a$, $\phi=\omega t$ et $z=v_0t$.

• Le mouvement d’un point à la surface de la Terre est décrit en coordonnées sphériques par $r=a$, $\theta=\theta_0$ et $\phi=\omega t$.