QCM : Coordonnées et cinématique du point (42 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour analyser le déplacement d'une petite bille dont les dimensions n'interviennent pas dans le problème, quel modèle relève de la mécanique du point ?

La bille représentée par sa forme détaillée
La bille décrite à l'échelle d'un astre
La bille assimilée à un point
La bille étudiée comme un système à l'équilibre

La bille assimilée à un point

Explication

La mécanique du point modélise des objets de dimensions très petites en les assimilant à des points. La forme détaillée relève d'une modélisation étendue, l'équilibre de la statique et l'échelle d'un astre ne correspondent pas à cette approximation.

2. Une équipe cherche à déterminer si un objet reste en équilibre sous l'action de forces. Quelle branche de la mécanique correspond à cette étude ?

La statique
La cinématique
La cinétique
La dynamique

La statique

Explication

La statique étudie les conditions d'équilibre. La cinématique représente le mouvement, la dynamique relie le mouvement à ses causes et la cinétique étudie la géométrie des masses.

3. Après avoir mesuré le mouvement d'un objet, une chercheuse construit un modèle, en déduit un phénomène à observer puis le confronte à une expérience. Si cette vérification échoue, quelle étape est prévue ensuite dans la démarche scientifique ?

Recommencer la collecte des données à l'identique
Conclure sans modifier le modèle
Envisager une nouvelle approche
Tenir la prédiction pour expérimentalement vérifiée

Envisager une nouvelle approche

Explication

La démarche prévoit qu'après la vérification expérimentale, une nouvelle approche peut devenir nécessaire si le modèle ne rend pas compte des observations. Reprendre les mesures à l'identique ou tenir la prédiction pour confirmée ne répond pas à l'échec de la vérification.

4. Un couple de points AA et BB définit le vecteur AB→\overrightarrow{AB}. Quelles caractéristiques permettent de décrire ce vecteur ?

Son origine, son extrémité, son sens et son angle
Son origine, sa direction, son sens et sa norme
Son origine, sa direction, son extrémité et sa position
Sa direction, son sens, son extrémité et sa vitesse

Son origine, sa direction, son sens et sa norme

Explication

Un vecteur défini par AA et BB est caractérisé par son origine AA, sa direction, son sens et sa norme. L’extrémité ne remplace pas la norme, et la vitesse ne fait pas partie de ces caractéristiques.

5. Deux vecteurs représentés à des endroits différents ont la même longueur, des droites supports parallèles et pointent dans le même sens. Quelle conclusion s’applique ?

Ils sont égaux seulement si leurs origines coïncident
Ils sont égaux, car une translation peut les faire coïncider
Ils sont opposés, car leurs origines sont distinctes
Ils sont opposés, car leurs directions sont parallèles

Ils sont égaux, car une translation peut les faire coïncider

Explication

Deux vecteurs de même norme, direction et sens sont égaux, même s’ils sont représentés à des endroits différents : l’un se déduit de l’autre par translation. Des origines distinctes n’impliquent pas qu’ils soient opposés, et des directions parallèles ne suffisent pas à établir l’égalité.

6. Deux vecteurs ont des normes de 5 et 4 unités et forment un angle de 60∘60^\circ. Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

20 unités carrées
10 unités carrées
0 unité carrée
9 unités carrées

10 unités carrées

Explication

Le produit scalaire vaut le produit des normes multiplié par le cosinus de l’angle : 5×4×cos⁡(60∘)=20×12=105\times4\times\cos(60^\circ)=20\times\frac12=10. Le sinus donnerait une autre valeur, l’addition des normes ne respecte pas la formule et un produit scalaire nul correspondrait ici à un angle droit.

7. Quelle description caractérise le produit scalaire de deux vecteurs formant un angle θ\theta, avec 0<θ<π0<\theta<\pi ?

Un nombre égal au produit des normes par le sinus de l’angle
Un nombre algébrique égal au produit des normes par le cosinus de l’angle
Un vecteur perpendiculaire au plan des deux vecteurs
Un vecteur parallèle à la droite de projection

Un nombre algébrique égal au produit des normes par le cosinus de l’angle

Explication

Le produit scalaire est un nombre algébrique obtenu en multipliant les normes des vecteurs par le cosinus de l’angle qui les sépare. Un vecteur perpendiculaire au plan et la formule faisant intervenir le sinus relèvent du produit vectoriel, tandis que la projection est un vecteur.

8. Un vecteur unitaire e⃗\vec e dirige une droite, et un vecteur V⃗\vec V a pour produit scalaire avec e⃗\vec e la valeur −3-3. Quelle est la projection de V⃗\vec V sur cette droite ?

−3e⃗-3\vec e
−3-3
3e⃗3\vec e
∥V⃗∥e⃗\|\vec V\|\vec e

$$-3\vec e$$

Explication

La projection vectorielle est donnée par V⃗δ=(V⃗⋅e⃗)e⃗\vec V_\delta=(\vec V\cdot\vec e)\vec e ; le produit scalaire valant −3-3, elle est donc −3e⃗-3\vec e. 3e⃗3\vec e perd le signe, tandis que −3-3 est un scalaire et non le vecteur projeté.

9. Dans un repère direct, on sait que A⃗∧B⃗=C⃗\vec A\wedge\vec B=\vec C. Quelle relation obtient-on en inversant l’ordre des deux vecteurs ?

B⃗∧A⃗=C⃗\vec B\wedge\vec A=\vec C
A⃗∧B⃗=−C⃗\vec A\wedge\vec B=-\vec C
B⃗∧A⃗=−C⃗\vec B\wedge\vec A=-\vec C
B⃗∧A⃗=0⃗\vec B\wedge\vec A=\vec 0

$$\vec B\wedge\vec A=-\vec C$$

Explication

Inverser l’ordre des facteurs du produit vectoriel inverse son orientation : B⃗∧A⃗=−C⃗\vec B\wedge\vec A=-\vec C. L’égalité avec C⃗\vec C suppose à tort la commutativité, et l’inversion ne change pas l’expression initiale ni ne la rend nulle.

10. Quelle structure définit un repère cartésien dans l’espace à trois dimensions ?

Une origine et deux vecteurs de base orthogonaux
Trois points et une base orthonormée de deux vecteurs
Une origine et trois vecteurs de base quelconques
Une origine et une base orthonormée de trois vecteurs

Une origine et une base orthonormée de trois vecteurs

Explication

Un repère cartésien tridimensionnel est défini par une origine et une base orthonormée de trois vecteurs. Une base quelconque n’est pas nécessairement orthonormée, et deux vecteurs ne suffisent pas en trois dimensions.

11. Dans un repère cartésien, un vecteur V⃗\vec V a pour projections sur les vecteurs de base e⃗x,e⃗y,e⃗z\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z les valeurs 2,−1,42,-1,4. Quelle est sa décomposition ?

V⃗=2e⃗x+e⃗y+4e⃗z\vec V=2\vec e_x+\vec e_y+4\vec e_z
V⃗=2e⃗x−4e⃗y+e⃗z\vec V=2\vec e_x-4\vec e_y+\vec e_z
V⃗=2e⃗x−e⃗y+4e⃗z\vec V=2\vec e_x-\vec e_y+4\vec e_z
V⃗=−e⃗x+2e⃗y+4e⃗z\vec V=-\vec e_x+2\vec e_y+4\vec e_z

$$\vec V=2\vec e_x-\vec e_y+4\vec e_z$$

Explication

La décomposition utilise chaque projection comme coefficient du vecteur de base correspondant : V⃗=2e⃗x−e⃗y+4e⃗z\vec V=2\vec e_x-\vec e_y+4\vec e_z. L’option avec +e⃗y+\vec e_y perd le signe de la projection, tandis que les autres permutent les coefficients.

12. Dans un repère cartésien, A⃗=(1,3,−2)\vec A=(1,3,-2) et B⃗=(4,−1,2)\vec B=(4,-1,2). Quelle valeur obtient-on pour leur produit scalaire ?

55
−11-11
99
−3-3

$$-3$$

Explication

Le produit scalaire vaut 1×4+3×(−1)+(−2)×2=4−3−4=−31\times4+3\times(-1)+(-2)\times2=4-3-4=-3. La valeur 55 provient d’une addition simple des composantes, et −11-11 correspond à une erreur de signe sur le dernier produit.

13. Dans une base cartésienne directe, A⃗=(1,2,0)\vec A=(1,2,0) et B⃗=(0,3,4)\vec B=(0,3,4). Quelles sont les composantes de A⃗∧B⃗\vec A\wedge\vec B ?

(0,−4,3)(0,-4,3)
(8,4,3)(8,4,3)
(8,−4,3)(8,-4,3)
(−8,4,−3)(-8,4,-3)

$$(8,-4,3)$$

Explication

Les composantes sont AyBz−AzBy=8A_yB_z-A_zB_y=8, AzBx−AxBz=−4A_zB_x-A_xB_z=-4 et AxBy−AyBx=3A_xB_y-A_yB_x=3. Changer l’ordre des vecteurs inverse le signe des trois composantes; remplacer les différences par des sommes fausse notamment la composante selon y.

14. Pour A⃗=(1,0,0)\vec A=(1,0,0), B⃗=(0,2,0)\vec B=(0,2,0) et C⃗=(0,0,3)\vec C=(0,0,3), quelle valeur donne le calcul du produit mixte par composantes ?

66
−6-6
22
00

$$6$$

Explication

La formule donne 1(2×3−0)−0+0=61(2\times3-0)-0+0=6. La valeur n’est pas le produit scalaire de A⃗\vec A et B⃗\vec B, et l’ordre direct choisi donne un résultat positif.

15. Un point a pour coordonnées polaires ρ=5\rho=5 et φ=60∘\varphi=60^\circ. Quelles sont ses coordonnées cartésiennes (x,y) (x,y) ?

(52,532)\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)
(12,32)\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
(532,52)\left(\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2}\right)
(−52,−532)\left(-\frac{5}{2},-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)

$$\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$$

Explication

Les relations sont x=ρcos⁡φx=\rho\cos\varphi et y=ρsin⁡φy=\rho\sin\varphi ; avec cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac12 et sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, on obtient les coordonnées indiquées. L’échange sinus-cosinus donne l’autre paire de valeurs, tandis que l’omission de ρ\rho oublie le facteur 5.

16. Dans un repère cartésien de l’espace, un point MM a pour coordonnées (2,−3,4)(2,-3,4). Quelle expression donne son vecteur position OM→\overrightarrow{OM} ?

−2e⃗x+3e⃗y−4e⃗z-2\vec e_x+3\vec e_y-4\vec e_z
13e⃗ρ+4e⃗z\sqrt{13}\vec e_\rho+4\vec e_z
2e⃗x+4e⃗y−3e⃗z2\vec e_x+4\vec e_y-3\vec e_z
2e⃗x−3e⃗y+4e⃗z2\vec e_x-3\vec e_y+4\vec e_z

$$2\vec e_x-3\vec e_y+4\vec e_z$$

Explication

En coordonnées cartésiennes, OM→=xe⃗x+ye⃗y+ze⃗z\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z ; les coordonnées 2,−3,42,-3,4 sont donc les coefficients des trois vecteurs de base correspondants. La permutation des composantes confond les axes, et l’expression avec e⃗ρ\vec e_\rho relève d’une écriture cylindrique.

17. Un point de l’espace a pour coordonnées cartésiennes (3,4,7)(3,4,7). Quelle est l’expression de son vecteur position en coordonnées cylindriques ?

5e⃗ρ+7e⃗z5\vec e_\rho+7\vec e_z
5e⃗ρ5\vec e_\rho
7e⃗ρ+5e⃗z7\vec e_\rho+5\vec e_z
74e⃗ρ+7e⃗z\sqrt{74}\vec e_\rho+7\vec e_z

$$5\vec e_\rho+7\vec e_z$$

Explication

En coordonnées cylindriques, ρ=x2+y2=32+42=5\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 et la coordonnée verticale reste z=7z=7 ; ainsi OM→=ρe⃗ρ+ze⃗z\overrightarrow{OM}=\rho\vec e_\rho+z\vec e_z. La norme spatiale inclut à tort zz dans le rayon, tandis que l’expression sans e⃗z\vec e_z néglige la hauteur.

18. Pour un point de coordonnées cartésiennes (0,2,2)(0,2,2), quel triplet (r,θ,φ) (r,\theta,\varphi) satisfait les relations sphériques données, avec θ\theta mesuré par rapport à l’axe vertical ?

(22,45∘,90∘)\left(2\sqrt2,45^\circ,90^\circ\right)
(2,45∘,90∘)\left(2,45^\circ,90^\circ\right)
(22,45∘,45∘)\left(2\sqrt2,45^\circ,45^\circ\right)
(22,90∘,45∘)\left(2\sqrt2,90^\circ,45^\circ\right)

$$\left(2\sqrt2,45^\circ,90^\circ\right)$$

Explication

Le rayon vaut r=02+22+22=22r=\sqrt{0^2+2^2+2^2}=2\sqrt2. Comme tan⁡θ=x2+y2z=1\tan\theta=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}=1, θ=45∘\theta=45^\circ, et φ\varphi est l’angle azimutal correspondant à x=0,y>0x=0,y>0, soit 90∘90^\circ. Intervertir les angles confond leurs définitions, et prendre r=2r=2 oublie la coordonnée verticale.

19. Une voiture suit une route courbe et parcourt 12 km, tandis que son point d’arrivée se trouve à 9 km de son point de départ en ligne droite. Que représente l’abscisse curviligne parcourue ?

La distance entre l’arrivée et l’origine du repère choisi
La distance en ligne droite entre départ et arrivée, soit 9 km
La longueur parcourue le long de la route, soit 12 km
Le rayon du cercle tangent à la route au point d’arrivée

La longueur parcourue le long de la route, soit 12 km

Explication

L’abscisse curviligne mesure la distance parcourue le long de la trajectoire, comme un compteur kilométrique : elle vaut donc 12 km dans cette situation. La distance de 9 km est la séparation directe des extrémités, et non la longueur du chemin suivi.

20. En un point d’une trajectoire, on connaît le vecteur unitaire tangent e⃗τ\vec e_\tau et le vecteur unitaire normal e⃗n\vec e_n. Quelle direction définit le vecteur binormal de la base de Frenet ?

e⃗n∧e⃗τ\vec e_n\wedge\vec e_\tau
e⃗n\vec e_n
e⃗τ\vec e_\tau
e⃗τ∧e⃗n\vec e_\tau\wedge\vec e_n

$$\vec e_\tau\wedge\vec e_n$$

Explication

Le vecteur binormal est défini par e⃗B=e⃗τ∧e⃗n\vec e_B=\vec e_\tau\wedge\vec e_n ; avec les vecteurs tangent et normal, il forme le trièdre de Serret-Frenet. Inverser l’ordre du produit vectoriel change le sens du vecteur, et e⃗n\vec e_n ou e⃗τ\vec e_\tau désigne une autre direction de la base.

21. Pour étudier la trajectoire d’un satellite autour de la Terre, on assimile le satellite à un point matériel. Quelle justification rend cette modélisation pertinente ?

Sa trajectoire est nécessairement rectiligne.
Ses dimensions sont négligeables devant celles de sa trajectoire.
La durée de son mouvement est négligeable devant celle de son orbite.
Sa masse est négligeable devant celle de la Terre.

Ses dimensions sont négligeables devant celles de sa trajectoire.

Explication

Un objet peut être modélisé comme un point matériel lorsque ses dimensions sont négligeables par rapport à celles de sa trajectoire. La masse négligeable confond taille et masse, la durée concerne une autre grandeur, et la rectilinéarité n’est pas un critère.

22. Dans une expérience, la position d’un cycliste par rapport à un arbre change au fil des secondes. Quelle conclusion définit son mouvement par rapport à cet arbre ?

Sa forme par rapport à l’arbre varie au cours du temps.
Sa position varie sans qu’un autre objet soit choisi comme référence.
Sa position par rapport à l’arbre varie au cours du temps.
Sa vitesse par rapport à l’arbre varie au cours du temps.

Sa position par rapport à l’arbre varie au cours du temps.

Explication

Le mouvement correspond à la variation au cours du temps de la position d’un objet par rapport à un autre objet. Un changement de forme ou de vitesse n’est pas la définition du mouvement, et celle-ci est relative à un objet de référence.

23. Une équipe décrit le mouvement d’un robot en prenant le sol comme système physique de référence. Quel terme désigne le sol dans cette description ?

Le référentiel.
Le point matériel.
La trajectoire.
Le repère.

Le référentiel.

Explication

Le référentiel est le système physique par rapport auquel le mouvement est décrit. Le repère est le système géométrique associé, tandis que le point matériel est l’objet étudié et la trajectoire décrit son chemin.

24. Un laboratoire définit une longueur à partir de la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant une durée déterminée. Quelle durée correspond à un mètre ?

1299 792 458\frac{1}{299\,792\,458} seconde.
299 792 458299\,792\,458 secondes.
102710^{27} secondes.
9 192 631 7709\,192\,631\,770 secondes.

$$\frac{1}{299\,792\,458}$$ seconde.

Explication

Le mètre est défini comme la longueur parcourue par la lumière pendant 1299 792 458\frac{1}{299\,792\,458} seconde. La valeur inverse de cette durée, le nombre associé à la définition de la seconde et une échelle cosmique ne donnent pas la définition du mètre.

25. En mécanique classique, deux observateurs décrivent une expérience depuis des référentiels différents. Quelle hypothèse sur le temps utilisent-ils ?

Le temps dépend du référentiel choisi par chaque observateur.
La position est universelle et identique dans les deux référentiels.
Le temps est universel et identique dans les deux référentiels.
Chaque référentiel possède une durée propre à l’expérience.

Le temps est universel et identique dans les deux référentiels.

Explication

En mécanique classique, le temps est universel et identique dans tous les référentiels. Rendre le temps relatif au référentiel confond cette hypothèse avec le caractère relatif de la description du mouvement; la position, elle, n’est pas affirmée universelle.

26. Quelle durée définit la seconde à partir de la transition entre deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133 ?

La durée de 299 792 458 périodes de cette transition.
La durée de 9 192 631 770 transitions par seconde.
La durée de 9 192 631 770 périodes de cette transition.
La durée de 9 192 631 770 périodes d’une transition de l’état excité.

La durée de 9 192 631 770 périodes de cette transition.

Explication

La seconde correspond à la durée de 9 192 631 770 périodes de la transition entre deux niveaux hyperfins de l’état fondamental du césium 133. Le nombre 299 792 458 intervient dans la définition du mètre, tandis que les autres choix modifient la notion de période ou l’état atomique.

27. Un point matériel occupe successivement plusieurs positions au cours de son mouvement. Quel ensemble géométrique forme sa trajectoire ?

La longueur totale du chemin parcouru par le point
La variation de position du point par unité de temps
Le vecteur reliant l’origine au point à un instant donné
Le lieu géométrique des positions successives du point

Le lieu géométrique des positions successives du point

Explication

La trajectoire est le lieu géométrique des points successivement occupés par le point matériel. La longueur parcourue correspond à une distance, le vecteur reliant l’origine est le vecteur position, et la variation de position par unité de temps décrit la vitesse.

28. À un instant donné, quel vecteur représente la position d’un point matériel MM par rapport à l’origine OO ?

Le vecteur tangent à la trajectoire en MM
La dérivée temporelle de la position de MM
OM→(t)=r⃗(t)\overrightarrow{OM}(t)=\vec r(t)
La longueur du chemin parcouru jusqu’à MM

$$\overrightarrow{OM}(t)=\vec r(t)$$

Explication

Le vecteur position relie l’origine OO au point matériel MM à l’instant considéré. Le vecteur tangent décrit une direction locale, la longueur du chemin est une distance, et la dérivée temporelle de la position est la vitesse.

29. En coordonnées cylindriques, un point subit un déplacement infinitésimal avec dρ=0d\rho=0, dφ≠0d\varphi\ne0 et dz=0dz=0. Dans quelle direction est orienté ce déplacement élémentaire ?

Selon e⃗φ\vec e_\varphi, avec une composante de valeur ρ dφ\rho\,d\varphi
Selon e⃗φ\vec e_\varphi, avec une composante de valeur dφd\varphi
Selon e⃗ρ\vec e_\rho, avec une composante de valeur dφd\varphi
Selon e⃗z\vec e_z, avec une composante de valeur ρ dφ\rho\,d\varphi

Selon $$\vec e_\varphi$$, avec une composante de valeur $$\rho\,d\varphi$$

Explication

Avec dρ=0d\rho=0 et dz=0dz=0, la formule cylindrique se réduit à dOM→=ρ dφ e⃗φd\overrightarrow{OM}=\rho\,d\varphi\,\vec e_\varphi, tangent à la trajectoire. Omettre le facteur ρ\rho donne une amplitude erronée, tandis que e⃗z\vec e_z et e⃗ρ\vec e_\rho désignent d’autres directions.

30. En coordonnées sphériques, un point se déplace avec dr=0dr=0, dθ=0d\theta=0 et dφ≠0d\varphi\ne0. Quelle expression donne son déplacement élémentaire ?

r dθ e⃗θr\,d\theta\,\vec e_\theta
dr e⃗rdr\,\vec e_r
r dφ e⃗φr\,d\varphi\,\vec e_\varphi
rsin⁡θ dφ e⃗φr\sin\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi

$$r\sin\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi$$

Explication

Lorsque seul l’angle azimutal varie, le déplacement sphérique vaut rsin⁡θ dφ e⃗φr\sin\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi. L’expression r dφ e⃗φr\,d\varphi\,\vec e_\varphi oublie le facteur sin⁡θ\sin\theta; les termes en dθd\theta et drdr correspondent à d’autres variations.

31. Un mobile est décrit en coordonnées polaires par ρ(t)\rho(t) et ϕ(t)\phi(t). À un instant donné, ρ˙=2\dot\rho=2 et ρϕ˙=5\rho\dot\phi=5. Quelle est alors son expression de vitesse dans la base polaire ?

2e⃗ρ+5e⃗ϕ+z˙e⃗z2\vec e_\rho+5\vec e_\phi+\dot z\vec e_z
5e⃗ρ+2e⃗ϕ5\vec e_\rho+2\vec e_\phi
2e⃗ρ+5e⃗ϕ2\vec e_\rho+5\vec e_\phi
2e⃗ρ+ϕ˙e⃗ϕ2\vec e_\rho+\dot\phi\vec e_\phi

$$2\vec e_\rho+5\vec e_\phi$$

Explication

En coordonnées polaires, v⃗=ρ˙ e⃗ρ+ρϕ˙ e⃗ϕ\vec v=\dot\rho\,\vec e_\rho+\rho\dot\phi\,\vec e_\phi; les valeurs données conduisent donc à 2e⃗ρ+5e⃗ϕ2\vec e_\rho+5\vec e_\phi. Intervertir les termes échange les directions, omettre ρ\rho modifie le terme angulaire, et une composante verticale ne fait pas partie de l’expression polaire.

32. Un mobile suit une trajectoire décrite par l’abscisse curviligne s(t)s(t), avec s˙=3 m/s\dot s=3\,\mathrm{m/s}. Quelle sont sa vitesse vectorielle dans la base de Frenet et la norme de cette vitesse ?

v⃗=3e⃗τ\vec v=3\vec e_\tau et ∥v⃗∥=s˙ e⃗τ\|\vec v\|=\dot s\,\vec e_\tau
v⃗=−3e⃗τ\vec v=-3\vec e_\tau et ∥v⃗∥=3 m/s\|\vec v\|=3\,\mathrm{m/s}
v⃗=ρ˙e⃗ρ\vec v=\dot\rho\vec e_\rho et ∥v⃗∥=3 m/s\|\vec v\|=3\,\mathrm{m/s}
v⃗=3e⃗τ\vec v=3\vec e_\tau et ∥v⃗∥=3 m/s\|\vec v\|=3\,\mathrm{m/s}

$$\vec v=3\vec e_\tau$$ et $$\|\vec v\|=3\,\mathrm{m/s}$$

Explication

En coordonnées curvilignes, v⃗=s˙ e⃗τ\vec v=\dot s\,\vec e_\tau et sa norme vaut s˙\dot s; avec s˙=3 m/s\dot s=3\,\mathrm{m/s}, les deux résultats sont ceux indiqués. La norme est un scalaire, un signe opposé inverserait le sens de la vitesse, et ρ\rho appartient à une description radiale plutôt que curviligne.

33. La vitesse d’un mobile passe de 2 m s−12\,\mathrm{m\,s^{-1}} à 14 m s−114\,\mathrm{m\,s^{-1}} en 4 s4\,\mathrm{s}. Quelle est son accélération moyenne sur cet intervalle ?

14 m s−214\,\mathrm{m\,s^{-2}}
3 m s−23\,\mathrm{m\,s^{-2}}
−3 m s−2-3\,\mathrm{m\,s^{-2}}
12 m s−212\,\mathrm{m\,s^{-2}}

$$3\,\mathrm{m\,s^{-2}}$$

Explication

L’accélération moyenne est la variation de vitesse divisée par la durée : (14−2)/4=3 m s−2(14-2)/4=3\,\mathrm{m\,s^{-2}}. Le résultat négatif inverse la variation, 12 m s−212\,\mathrm{m\,s^{-2}} omet la division par le temps et 14 m s−214\,\mathrm{m\,s^{-2}} confond vitesse finale et accélération.

34. Un mobile suit une trajectoire courbe à vitesse de valeur constante. Quelle composante de son accélération est liée au changement de direction de sa vitesse ?

La vitesse instantanée
L’accélération moyenne
La composante tangentielle
La composante normale

La composante normale

Explication

L’accélération normale est liée au changement de direction de la vitesse, tandis que l’accélération tangentielle correspond à la variation de sa valeur algébrique. La composante tangentielle concerne cette variation de valeur, et la vitesse instantanée ainsi que l’accélération moyenne ne sont pas les composantes recherchées.

35. La position d’un mobile en coordonnées cartésiennes est donnée par x(t)=t2x(t)=t^2, y(t)=3t2y(t)=3t^2 et z(t)=5tz(t)=5t. Quelle est son accélération à l’instant considéré ?

2e⃗x+6e⃗y+5e⃗z2\vec e_x+6\vec e_y+5\vec e_z
2e⃗x+5e⃗z2\vec e_x+5\vec e_z
2te⃗x+6te⃗y+5e⃗z2t\vec e_x+6t\vec e_y+5\vec e_z
2e⃗x+6e⃗y2\vec e_x+6\vec e_y

$$2\vec e_x+6\vec e_y$$

Explication

En coordonnées cartésiennes, chaque composante de l’accélération est la dérivée seconde de la coordonnée correspondante : x¨=2\ddot x=2, y¨=6\ddot y=6 et z¨=0\ddot z=0. Les termes en tt correspondent aux dérivées premières, la composante en zz est nulle puisque z(t)z(t) est linéaire, et l’expression sans composante en yy l’omet.

36. En coordonnées polaires, un mobile a ρ=2 m\rho=2\,\mathrm{m} constant et ϕ(t)=t2\phi(t)=t^2. Quelle est son accélération à t=1 st=1\,\mathrm{s} ?

−8e⃗ρ+2e⃗ϕ  m s−2-8\vec e_\rho+2\vec e_\phi\;\mathrm{m\,s^{-2}}
−8e⃗ρ+4e⃗ϕ  m s−2-8\vec e_\rho+4\vec e_\phi\;\mathrm{m\,s^{-2}}
−8e⃗ρ+4te⃗ϕ  m s−2-8\vec e_\rho+4t\vec e_\phi\;\mathrm{m\,s^{-2}}
0e⃗ρ+4e⃗ϕ  m s−20\vec e_\rho+4\vec e_\phi\;\mathrm{m\,s^{-2}}

$$-8\vec e_\rho+4\vec e_\phi\;\mathrm{m\,s^{-2}}$$

Explication

La formule polaire donne une composante radiale −ρϕ˙2=−2(2)2=−8-\rho\dot\phi^2=-2(2)^2=-8 et une composante angulaire ρϕ¨=2(2)=4\rho\ddot\phi=2(2)=4, car ρ˙=0\dot\rho=0. Une composante radiale nulle oublie le terme centripète, le coefficient angulaire 22 oublie le facteur deux, et 4t4t conserve à tort une dépendance temporelle après évaluation à t=1 st=1\,\mathrm{s}.

37. Un mobile parcourt une trajectoire de rayon de courbure R=4 mR=4\,\mathrm{m} avec une abscisse curviligne s(t)=3t2s(t)=3t^2. Quelle est la composante normale de son accélération à t=2 st=2\,\mathrm{s} ?

36 m s−236\,\mathrm{m\,s^{-2}}
12 m s−212\,\mathrm{m\,s^{-2}}
19 m s−2\frac{1}{9}\,\mathrm{m\,s^{-2}}
9 m s−29\,\mathrm{m\,s^{-2}}

$$36\,\mathrm{m\,s^{-2}}$$

Explication

La composante normale vaut s˙2/R\dot s^2/R. Ici s˙=6t=12 m s−1\dot s=6t=12\,\mathrm{m\,s^{-1}} à t=2 st=2\,\mathrm{s}, donc an=122/4=36 m s−2a_n=12^2/4=36\,\mathrm{m\,s^{-2}}. La valeur 1212 correspond à l’accélération tangentielle, 99 omet le carré de la vitesse et 1/91/9 inverse le rapport.

38. Pour modéliser une cycloïde dans un repère cartésien, quelle paire d’équations paramétriques doit-on utiliser ?

x(t)=R(1−cos⁡(ωt)),y(t)=R(ωt−sin⁡(ωt))x(t)=R(1-\cos(\omega t)),\quad y(t)=R(\omega t-\sin(\omega t))
x(t)=R(ωt−cos⁡(ωt)),y(t)=R(1−sin⁡(ωt))x(t)=R(\omega t-\cos(\omega t)),\quad y(t)=R(1-\sin(\omega t))
x(t)=R(ωt−sin⁡(ωt)),y(t)=R(1−cos⁡(ωt))x(t)=R(\omega t-\sin(\omega t)),\quad y(t)=R(1-\cos(\omega t))
x(t)=Rsin⁡(ωt),y(t)=R(1−cos⁡(ωt))x(t)=R\sin(\omega t),\quad y(t)=R(1-\cos(\omega t))

$$x(t)=R(\omega t-\sin(\omega t)),\quad y(t)=R(1-\cos(\omega t))$$

Explication

La cycloïde est paramétrée par une coordonnée horizontale comprenant le terme linéaire ωt\omega t et le sinus, et une coordonnée verticale faisant intervenir le cosinus. Remplacer le cosinus vertical par un sinus, omettre le terme linéaire ou intervertir les coordonnées correspond à des erreurs distinctes.

39. Un mouvement circulaire décentré est modélisé en coordonnées polaires, avec aa et ω\omega constants. Quelle loi radiale et quelle loi angulaire décrivent ce mouvement ?

ρ=acos⁡ϕ,ϕ=ωt\rho=a\cos\phi,\quad \phi=\omega t
ρ=a,ϕ=ωt\rho=a,\quad \phi=\omega t
ρ=asin⁡ϕ,ϕ=ωt\rho=a\sin\phi,\quad \phi=\omega t
ρ=acos⁡(ωt),ϕ=ω\rho=a\cos(\omega t),\quad \phi=\omega

$$\rho=a\cos\phi,\quad \phi=\omega t$$

Explication

Le mouvement circulaire décentré suit la loi polaire ρ=acos⁡ϕ\rho=a\cos\phi, tandis que l’angle évolue selon ϕ=ωt\phi=\omega t. Un rayon constant correspond au cercle centré, le sinus modifie la loi radiale, et la dernière proposition place incorrectement la dépendance temporelle.

40. Un solide est formé par trois vecteurs non coplanaires dont le produit mixte vaut −24 cm3-24\,\mathrm{cm}^3. Quel est le volume du parallélépipède construit sur ces vecteurs ?

−24 cm3-24\,\mathrm{cm}^3
12 cm312\,\mathrm{cm}^3
48 cm348\,\mathrm{cm}^3
24 cm324\,\mathrm{cm}^3

$$24\,\mathrm{cm}^3$$

Explication

Le volume est la valeur absolue du produit mixte : ∣−24∣=24 cm3|-24|=24\,\mathrm{cm}^3. La réponse négative conserve à tort le signe, tandis que 1212 et 4848 correspondent à une division ou à une multiplication injustifiée par deux.

41. Une durée de vie mesurée est de 10−25 s10^{-25}\,\mathrm s. À quel repère de l’échelle des temps présentée cette durée correspond-elle ?

Une durée d’environ 4,35×10−17 s4{,}35\times10^{-17}\,\mathrm s
Une longueur de 10−25 m10^{-25}\,\mathrm m
La durée de vie des bosons
L’âge de l’Univers

La durée de vie des bosons

Explication

L’échelle associe 10−25 s10^{-25}\,\mathrm s à la durée de vie des bosons, tandis que l’âge de l’Univers est d’environ 4,35×1017 s4{,}35\times10^{17}\,\mathrm s. La valeur avec exposant négatif confond les ordres de grandeur, et l’option en mètres confond durée et longueur.

42. Un véhicule suit une trajectoire courbe de rayon R=20 mR=20\ \text{m} à la vitesse de 12 m⋅s−112\ \text{m·s}^{-1}. Quelle est la norme de son accélération normale ?

7,2 m⋅s−27{,}2\ \text{m·s}^{-2}
240 m⋅s−2240\ \text{m·s}^{-2}
0,6 m⋅s−20{,}6\ \text{m·s}^{-2}
0 m⋅s−20\ \text{m·s}^{-2}

$$7{,}2\ \text{m·s}^{-2}$$

Explication

L’accélération normale vaut v2/Rv^2/R, donc 122/20=7,2 m⋅s−212^2/20=7{,}2\ \text{m·s}^{-2}. La valeur 0,60{,}6 omet le carré de la vitesse, 240240 inverse le rapport, et une accélération tangentielle n’est pas déterminée par ces seules données.

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Qu’étudie la mécanique ?

Les représentations du mouvement des objets et les causes qui le provoquent, le modifient ou l’empêchent.

Quels objets étudie la mécanique du point ?

Des objets de dimensions très petites, assimilables à des points.

Que représentent respectivement la statique, la cinématique, la dynamique et la cinétique ?

L’équilibre, le mouvement, les causes du mouvement et la géométrie des masses.

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