Fiche de révision : Produit scalaire : notions et applications

📋 Plan du Cours

1. Expressions du produit scalaire en coordonnées
2. Produit scalaire via projeté orthogonal
3. Formule trigonométrique du produit scalaire
4. Propriétés bilinéaires et formules associées
5. Orthogonalité et produit scalaire nul
6. Vecteur normal et équation cartésienne de droite

📖 1. Expressions du produit scalaire en coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère où les axes sont perpendiculaires et unitaires, ce qui permet d’utiliser directement la formule des coordonnées du produit scalaire.
• Produit scalaire en coordonnées : Le produit scalaire de deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé se calcule par la somme des produits des coordonnées correspondantes.

📝 Points essentiels

• Si $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ sont dans un repère orthonormé, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.
• Le calcul se fait en additionnant $x\times x'$ puis $y\times y'$ sans autre transformation.
• Exemple : $(3;2)\cdot(-1;4)=3\times(-1)+2\times4=-3+8=5$.
• La formule en coordonnées s’applique directement quand le repère est orthonormé, sans passer par un angle.
• Le produit scalaire obtenu est un nombre réel qui peut être positif, nul ou négatif selon les coordonnées.

💡 Astuce mémo

Formule réflexe : même position des coordonnées → on multiplie puis on additionne (ligne par ligne).

📖 2. Produit scalaire via projeté orthogonal

🔑 Notions clés & Définitions

• Projeté orthogonal : Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point d’intersection avec la perpendiculaire issue du point.
• Pied de la hauteur : Le pied de la hauteur d’un triangle est le point où la hauteur issue d’un sommet coupe le côté opposé, et il correspond à un projeté orthogonal.
• Demi-droite : Une demi-droite est une portion de droite issue d’un point, définie dans un seul sens, utile pour déterminer le signe d’un produit scalaire via les longueurs orientées.

📝 Points essentiels

• Si $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(AC)$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AH\cdot AC$.
• Si $H\in[AC]$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AH\times AC$ (signe positif).
• Si $H\notin[AC]$ mais sur l’autre portion, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AH\times AC$ (signe négatif).
• Dans le triangle $ABC$, si $H$ est le pied de la hauteur issue de $C$, alors $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ (selon la configuration donnée).
• Exemple : avec $C\in AB$, $AH=4$ et $AB=5$, on obtient $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AH=5\times4=20$.

💡 Astuce mémo

Projeté orthogonal → produit scalaire = (longueur sur la droite) × (longueur de la base), avec le signe selon la demi-droite.

📖 3. Formule trigonométrique du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle de deux vecteurs : L’angle de deux vecteurs de même origine est noté $\theta(\vec u;\vec v)$ et sert à relier produit scalaire et cosinus.
• Cosinus de l’angle : Le cosinus de l’angle entre deux vecteurs mesure leur orientation relative et intervient directement dans la formule du produit scalaire.
• Produit scalaire trigonométrique : Le produit scalaire peut s’exprimer à partir des normes des vecteurs et du cosinus de l’angle entre eux.

📝 Points essentiels

• Pour des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de même origine, l’angle est noté $\theta(\vec u;\vec v)$.
• La formule trigonométrique est $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\vec u;\vec v)$.
• Dans un triangle équilatéral $ABC$, si $A'$ est le milieu de $BC$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$.
• Dans un triangle équilatéral, l’angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ vaut $60^\circ$, donc $\cos60^\circ=\tfrac12$.
• Si $AB=AC=a$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a\times a\times\tfrac12=\tfrac12 a^2$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire = normes × cos : $\text{(longueur)}\times\text{(longueur)}\times\cos(\text{angle})$.

📖 4. Propriétés bilinéaires et formules associées

🔑 Notions clés & Définitions

• Bilinéarité : La bilinéarité signifie que le produit scalaire est linéaire par rapport à chacun de ses deux vecteurs.
• Symétrie du produit scalaire : La symétrie indique que l’ordre des vecteurs n’a pas d’effet sur la valeur du produit scalaire.
• Formule avec $\|\vec u+\vec v\|^2$ : Une identité relie le produit scalaire à la différence des carrés des normes de $\vec u+\vec v$, $\vec u$ et $\vec v$.
• Formule avec $\|\vec u-\vec v\|^2$ : Une autre identité exprime le produit scalaire à partir des carrés des normes de $\vec u$ et $\vec v$ et de $\vec u-\vec v$.

📝 Points essentiels

• Pour tout $\vec u,\vec v,\vec w$ et tout $k\in\mathbb R$, $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$.
• Pour tout $k\in\mathbb R$, $\vec u\cdot(k\vec v)=k(\vec u\cdot\vec v)$.
• Le produit scalaire est symétrique : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$.
• Identité : $\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big)$.
• Identité : $\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big)$.
• Identité : $\vec u\cdot\vec v=\tfrac14\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big)$.

💡 Astuce mémo

Bilinéarité : on distribue comme pour une multiplication, et la symétrie permet d’inverser les vecteurs.

📖 5. Orthogonalité et produit scalaire nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires, ce qui se traduit par un produit scalaire nul.
• Produit scalaire nul : Un produit scalaire nul caractérise l’orthogonalité entre les deux vecteurs dans ce cadre.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs sont orthogonaux si les droites qui les supportent sont perpendiculaires et réciproquement.
• Si $\vec u\perp\vec v$, alors $\vec u\cdot\vec v=0$.
• L’orthogonalité se détecte donc par le calcul du produit scalaire.
• Le critère $\vec u\cdot\vec v=0$ sert aussi à conclure à l’orthogonalité dans les exercices.
• Le produit scalaire nul est un cas particulier des formules trigonométriques où $\cos(\vec u;\vec v)=0$.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité ⇔ produit scalaire nul : $\perp$ se lit comme $\cdot=0$.

📖 6. Vecteur normal et équation cartésienne de droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal : Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul porté par la droite et qui décrit sa direction.
• Équation cartésienne de droite : Une équation cartésienne de droite s’écrit sous la forme $ax+by+c=0$ et encode la position de la droite dans le plan.
• Coordonnées d’un vecteur directeur : Les coordonnées d’un vecteur directeur peuvent être déduites des coefficients de l’équation cartésienne via la relation donnée dans le cours.

📝 Points essentiels

• Un vecteur normal $\vec n$ à une droite $d$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$.
• Deux droites du plan sont perpendiculaires si un vecteur normal de l’une est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.
• Si une droite $(d)$ a pour vecteur directeur $\vec i(\beta)$, alors un vecteur normal $\vec n$ vérifie $\vec i\cdot\vec n=0$.
• Pour une équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $a,b$ non simultanément nuls, un vecteur normal est $\vec n(a;b)$.
• Les coordonnées d’un vecteur directeur de $(d)$ sont donc $(-b;a)$.
• Méthode : pour une droite passant par $A(5;-1)$ avec $\vec n(2;3)$, on obtient $2x-3y+c=0$ puis $c=-13$, donc $2x-3y-13=0$.

💡 Astuce mémo

Équation → normal : $ax+by+c=0$ donne directement $\vec n(a;b)$, puis tu imposes le point pour trouver $c$.

📊 Tableaux de synthèse

Deux façons de calculer un produit scalaire

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la formule en coordonnées avec une situation non orthonormée : la formule $xx'+yy'$ n’est donnée que pour un repère orthonormé.
2. Oublier le signe dans la méthode du projeté orthogonal : le produit scalaire change selon que $H$ appartient ou non à $[AC]$.
3. Utiliser la formule trigonométrique sans vérifier que l’angle considéré correspond bien aux vecteurs de même origine.
4. Mélanger les identités bilinéaires avec les formules en normes : les identités à base de carrés utilisent $\|\cdot\|^2$ et $\vec u\pm\vec v$.
5. Croire que $\vec u\cdot\vec v=0$ signifie toujours des vecteurs nuls : ici, c’est le critère d’orthogonalité.
6. Pour l’équation cartésienne, inverser normal et directeur : le cours donne $\vec n(a;b)$ pour $ax+by+c=0$ et $(-b;a)$ pour le directeur.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer $\vec u\cdot\vec v$ en repère orthonormé à partir de $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$.
2. Savoir utiliser la relation avec le projeté orthogonal : identifier $H$, choisir le bon signe selon l’appartenance à $[AC]$, puis calculer $AH\times AC$.
3. Savoir appliquer la formule trigonométrique $\vec u\cdot\vec v=\|u\|\|v\|\cos(\vec u;\vec v)$ quand l’angle est connu.
4. Savoir utiliser les propriétés bilinéaires et la symétrie : distribution, multiplication par un scalaire, échange des vecteurs.
5. Savoir reconnaître l’orthogonalité via le produit scalaire nul : conclure $\vec u\perp\vec v$ ou $\vec u\cdot\vec v=0$.
6. Savoir passer d’une équation cartésienne $ax+by+c=0$ à un vecteur normal $\vec n(a;b)$ et à un vecteur directeur $(-b;a)$.
7. Savoir déterminer l’équation d’une droite à partir d’un point et d’un vecteur normal en remplaçant le point pour trouver $c$.