Fiche de révision : Progressions arithmétique et géométrique en finance

📋 Plan du Cours

1. Progression arithmétique suite
2. Progression géométrique suite
3. Intérêt simple formule
4. Valeur acquise intérêt simple
5. Valeur actuelle intérêt simple
6. Calculs sur intérêts simples
7. Valeur acquise intérêts composés
8. Valeur actuelle intérêts composés
9. Comparaison intérêts simples et composés
10. Comptes courants et intérêts méthode directe
11. Comptes courants et intérêts méthode hambourgeoise
12. Escompte commercial valeur actuelle

📖 1. Progression arithmétique suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Progression arithmétique : Suite de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée r.
• Raison d'une progression arithmétique : Nombre constant r qui représente la différence entre deux termes consécutifs de la suite.
• Formule générale du terme d'une progression arithmétique : $U_n = U_0 + n \times r$, où $U_0$ est le premier terme, n le rang du terme, et r la raison.
• Somme des termes d'une progression arithmétique : $S_n = \frac{n}{2} \times (U_0 + U_{n-1})$, ou encore $S_n = n \times \left[ U_0 + \frac{(n-1)}{2} \times r \right]$.
• Propriétés spécifiques : La suite des termes forme une progression arithmétique, et la somme des n premiers termes peut s'exprimer par la formule $S_n = \frac{n}{2} \times (2U_0 + (n-1)r)$.

💡 À retenir

Une progression arithmétique est caractérisée par une différence constante entre ses termes, ce qui permet de calculer facilement n'importe quel terme ou la somme des premiers termes à l'aide de formules simples.

📖 2. Progression géométrique suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Progression géométrique : Suite de nombres dans laquelle le rapport entre deux termes consécutifs est constant, appelé raison 𝑞. Selon Pell (date non précisée), cette suite se caractérise par la formule du terme général 𝑈𝑛 = 𝑈₀ × 𝑞ⁿ, où 𝑈₀ est le premier terme.
• Raison d'une progression géométrique : Constante 𝑞 qui relie deux termes consécutifs, définie par 𝑈𝑛+1 / 𝑈𝑛 = 𝑞. Elle indique le facteur multiplicatif entre chaque terme.
• Formule générale de terme d'une progression géométrique : 𝑈𝑛 = 𝑈₀ × 𝑞ⁿ, avec 𝑈₀ le premier terme et 𝑞 la raison. Selon Pell (date non précisée), cette formule permet de calculer n'importe quel terme de la suite.
• Somme des termes d'une progression géométrique : La somme des 𝑛 premiers termes est donnée par 𝑆𝑛 = 𝑈₀ × (𝑞ⁿ - 1) / (𝑞 - 1), pour 𝑞 ≠ 1, selon Pell (date non précisée).
• Cas particuliers en mathématiques financières :
  • Si 𝑞 = 1 + 𝑡, la progression géométrique modélise la croissance par intérêts simples (voir section 3).
  • Si 𝑞 = (1 + 𝑡)⁻¹, elle représente la décroissance ou la valeur actualisée (voir section 6).

📖 3. Intérêt simple formule

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule fondamentale de l’intérêt simple :
  $I = \frac{C \times t \times n}{100}$
  où $I$ est l’intérêt, $C$ le capital, $t$ le taux annuel en %, et $n$ la durée en années.
  (Cours de Mathématiques financières, chapitre I)

• Taux annuel de placement :
  Le taux d’intérêt produit par un capital de 1 unité placé pendant un an. Par exemple, un intérêt de 0,08% sur 1 unité correspond à un taux annuel de 8%.
  (Savoir général en mathématiques financières)

• Intérêt proportionnel au capital :
  L’intérêt est directement proportionnel au montant du capital placé, c’est-à-dire qu’il varie en fonction de $C$. La formule montre cette dépendance.
  (Formule fondamentale, chapitre I)

• Durée exprimée en années, mois, jours :
  La durée $n$ peut être adaptée selon l’unité de temps :

  • En années : $n$ (en années)
  • En mois : $n/12$ (en années) avec formule $I = C \times t \times n/12$
  • En jours : $n/360$ (en années) avec formule $I = C \times t \times n/360$
    (Cours, chapitres sur durée et formules associées)

📝 Points essentiels

• La formule $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ permet de calculer l’intérêt simple en fonction du capital, du taux annuel, et de la durée.
• La durée $n$ doit être exprimée dans la même unité que le taux annuel pour que la formule soit cohérente.
• La durée en jours est généralement comptée sur une année de 360 jours, ce qui simplifie les calculs (voir formule $I = C \times t \times n/360$).
• La notion de taux annuel de placement est fondamentale : elle indique combien d’intérêt est généré par 1 unité monétaire en un an.
• La dépendance de l’intérêt au capital, au taux et à la durée est linéaire, ce qui facilite la résolution de problèmes inverses.

💡 À retenir

L’intérêt simple se calcule par une formule linéaire proportionnelle au capital, au taux annuel et à la durée, exprimée en années, mois ou jours selon le contexte.

📖 4. Valeur acquise intérêt simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur acquise (C') : Montant total accumulé à la fin d’un placement à intérêt simple, comprenant le capital initial et les intérêts produits, soit C' = C + I (voir formule de base).
• Intérêt simple (I) : Rémunération du capital prêté proportionnelle à la durée, au taux et au capital, calculée par I = C × t × n / 100 (formule fondamentale).
• Formule de la valeur acquise selon la durée :
  • En années : C' = C + (C × t × n) / 100
  • En mois : C' = C + (C × t × n) / 1200 (avec n en mois)
  • En jours : C' = C + (C × t × n) / 36 000 (avec n en jours) (voir section 3).
• Exemple de calcul : Pour un capital de 150 000 F placé à 5% pendant 80 jours, la valeur acquise est C' = 150 000 + (150 000 × 5 × 80) / 36 000 = 155 000 F.
• Représentation graphique : La valeur acquise est une fonction affine du capital, du taux et de la durée, représentée par y = a × x + b, où a correspond à l’intérêt et b au capital placé (voir section 3).

📝 Points essentiels

• La valeur acquise à intérêt simple est la somme du capital initial et des intérêts produits, calculée par C' = C + I.
• La formule de l’intérêt simple I = C × t × n / 100 permet de déterminer rapidement les intérêts en fonction du capital, du taux et de la durée.
• La durée n peut être exprimée en années, mois ou jours, avec des formules adaptées :
  • Années : n en années
  • Mois : n en mois, en utilisant n / 12 dans la formule
  • Jours : n en jours, en utilisant n / 36 000 dans la formule (voir section 3).
• La représentation graphique montre que l’intérêt est une fonction linéaire du capital, du taux et de la durée, tandis que la valeur acquise est une fonction affine.
• La formule de la valeur acquise permet aussi de calculer la date de placement ou de remboursement en fonction de la valeur finale, en utilisant la formule C' = C + (C × t × n) / 36 000.

💡 À retenir

La valeur acquise à intérêt simple correspond au capital initial augmenté des intérêts proportionnels à la durée, au taux et au montant, selon une formule linéaire ou affine.

📖 5. Valeur actuelle intérêt simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur actuelle à intérêt simple : La valeur présente d’un capital futur, calculée en déduisant les intérêts produits, implicitement liée à la formule du montant à intérêt simple. Elle correspond à la valeur du capital à une date antérieure, en tenant compte du taux d’intérêt et de la durée (voir section 3).
• Calcul de la valeur actuelle à partir de la valeur acquise et intérêts : La valeur actuelle (VA) se déduit de la valeur acquise (C') en soustrayant les intérêts I, selon la formule :
  $VA = C' - I$
  où I = C × t × n / 36 000 (voir section 4).
• Exemple de calcul de date de placement à partir de la valeur acquise : En utilisant la formule de l’intérêt simple, on détermine la date initiale du placement en connaissant la valeur finale, le taux, et la durée. Par exemple, si un capital placé à intérêt simple produit un certain montant après n jours, on peut remonter à la date de départ en résolvant l’équation pour n (voir section 4).
• Lien entre valeur actuelle et intérêts simples : La valeur actuelle est la somme du capital initial, ou valeur présente, avant accumulation des intérêts. Elle est directement reliée à la valeur acquise par la formule :
  $C' = C + I$
  où I est l’intérêt simple calculé selon la formule I = C × t × n / 36 000, ce qui montre que la valeur actuelle est la base du calcul de la valeur acquise (voir section 4).

📝 Points essentiels

• La valeur actuelle à intérêt simple est la valeur présente d’un capital qui produira des intérêts proportionnels à la durée, au taux, et au capital de départ, selon la formule :
  $VA = C' - I$
  avec I = C × t × n / 36 000.
• La formule de l’intérêt simple permet de calculer la valeur actuelle en remontant dans le temps à partir de la valeur acquise :
  $C = C' - I$
  où I est calculé en fonction du taux, de la durée, et du capital.
• La détermination de la date de placement à partir de la valeur acquise s’effectue en résolvant l’équation :
  $I = C \times t \times n / 36 000$
  pour n, en tenant compte du montant final, du taux, et du capital initial.
• La relation entre valeur actuelle et intérêts simples est linéaire, la valeur actuelle étant la base pour obtenir la valeur acquise en ajoutant les intérêts produits.

💡 À retenir

La valeur actuelle à intérêt simple correspond à la valeur présente d’un capital avant accumulation des intérêts, calculée en déduisant ces intérêts de la valeur acquise, permettant de remonter dans le temps pour déterminer la date de placement ou le capital initial.

📖 6. Calculs sur intérêts simples

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule I = C × t × n / 36000 : formule fondamentale pour calculer l’intérêt simple, où C est le capital, t le taux annuel, n la durée en jours, utilisée pour déterminer l’intérêt produit sur une période donnée (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• Calculs inverses : méthodes permettant de déterminer C, t ou n à partir de l’intérêt I, en réarrangeant la formule I = C × t × n / 36000 (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• Méthode de nombres et diviseurs fixes : technique de calcul de l’intérêt en utilisant des nombres et diviseurs constants liés au taux, facilitant le calcul rapide de l’intérêt pour des placements ou emprunts (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• Intérêt global pour plusieurs capitaux : somme des intérêts calculés séparément pour plusieurs capitaux placés au même taux et sur des durées différentes, en utilisant la formule I = Σ (C_i × n_i × t) / 36000 (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• Taux moyen pondéré : taux calculé pour une série de placements avec des montants, durées et taux différents, en utilisant la formule : T = (Σ C_i × t_i × n_i) / (Σ C_i × n_i) (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• Intérêt précompté et taux effectif : intérêt calculé au début du placement, où l’intérêt est déduit immédiatement du capital, et le taux effectif qui reflète le coût réel du placement en tenant compte de cet intérêt précompté (cours de Mathématiques financières, chapitre I).

📝 Points essentiels

• La formule I = C × t × n / 36000 permet de calculer l’intérêt simple en fonction du capital, du taux annuel et de la durée en jours, en considérant une année de 360 jours (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• Lorsqu’on connaît l’intérêt, on peut inverser la formule pour déterminer C, t ou n, en isolant la variable souhaitée (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• La méthode de nombres et diviseurs fixes facilite le calcul en utilisant des constantes liées au taux, permettant de déterminer rapidement l’intérêt pour des placements ou emprunts à court terme (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• Le calcul de l’intérêt global pour plusieurs capitaux permet d’obtenir la somme totale des intérêts générés par une série de placements ou emprunts, en additionnant les intérêts individuels (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• Le taux moyen pondéré est utile pour connaître le taux effectif d’une série de placements diversifiés, en tenant compte des montants, durées et taux de chaque placement (cours de Mathématiques financières, chapitre I).
• L’intérêt précompté correspond à une situation où l’intérêt est déduit dès le départ, ce qui influence le taux effectif de placement, souvent supérieur au taux nominal (cours de Mathématiques financières, chapitre I).

💡 À retenir

La formule I = C × t × n / 36000 est essentielle pour calculer rapidement l’intérêt simple, et les méthodes inverses ou de nombres fixes permettent d’adapter le calcul à différentes situations financières.

📖 7. Valeur acquise intérêts composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur acquise (VA) : Montant total accumulé à la fin d’un placement à intérêts composés, calculé par la formule VA = C × (1 + i)^n, où C est le capital initial, i le taux d’intérêt annuel, et n le nombre d’années (ou périodes).
• Tables financières (voir section 1) : Outils permettant de déterminer directement la valeur de (1 + i)^n pour différents taux et durées, facilitant ainsi le calcul de la valeur acquise sans effectuer l’opération manuellement.
• Intérêts composés (voir section 4) : Mode de calcul où les intérêts produits à chaque période sont réintégrés dans le capital, produisant à leur tour des intérêts, contrairement à l’intérêt simple.
• Exemple de calcul : Si un capital de 10 000 F est placé à 5% pendant 3 ans, la valeur acquise est VA = 10 000 × (1 + 0,05)^3 = 10 000 × 1,157625 = 11 576,25 F.

📝 Points essentiels

• La formule VA = C × (1 + i)^n permet de déterminer la valeur finale d’un placement à intérêts composés, en utilisant directement les tables financières pour connaître (1 + i)^n.
• La valeur (1 + i)^n se lit dans les tables financières (voir section 1), ce qui évite de faire des calculs complexes à chaque fois.
• La valeur acquise à intérêts composés est toujours supérieure à celle à intérêts simples pour la même durée, car les intérêts sont réinvestis et produisent eux-mêmes des intérêts.
• La formule de la valeur actuelle (voir section 4) est VA = C / (1 + i)^n, permettant de retrouver le capital initial à partir de la valeur acquise.
• La comparaison entre intérêts simples et composés montre que la croissance à intérêts composés suit une progression géométrique, tandis que celle à intérêts simples suit une progression arithmétique (voir section 4).

💡 À retenir

La valeur acquise à intérêts composés est calculée par la formule VA = C × (1 + i)^n, utilisant les tables financières pour simplifier le calcul, et elle reflète la croissance exponentielle du capital grâce au réinvestissement des intérêts.

📖 8. Valeur actuelle intérêts composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur actuelle (VA) : Montant qu’un capital C, placé à un taux d’intérêt i sur une durée n, aurait aujourd’hui, en utilisant la formule VA = C × (1 + i)^-n. Elle permet d’évaluer la valeur présente d’un montant futur en actualisant à la date présente.
• Intérêts composés : Mode de calcul où les intérêts produits par un capital sont réintégrés dans celui-ci, produisant à leur tour des intérêts, conformément à la formule VA = C × (1 + i)^-n. (source : cours de Mathématiques financières)
• Lien entre VA et valeur acquise (VAc) : La valeur actuelle est la valeur présente d’un capital futur (valeur acquise), qui s’obtient en actualisant cette valeur à l’aide du taux i sur la durée n. La formule VA = VAc / (1 + i)^n illustre cette relation.

📝 Points essentiels

• La formule VA = C × (1 + i)^-n permet de calculer la valeur présente d’un capital C futur, placé ou reçu après n années, à un taux d’intérêt composé i. Elle exprime l’actualisation en tenant compte de la capitalisation des intérêts.
• La valeur actuelle est inversement proportionnelle à la valeur acquise : plus la valeur future est éloignée, plus la VA est faible, en raison de la majoration de (1 + i)^n.
• La formule s’applique pour des placements à long terme, où la capitalisation des intérêts est significative. Elle est dérivée des principes de la formule d’intérêt composé, où chaque période voit croître le capital selon (1 + i)^n.
• La valeur acquise (VAc) à la fin de la période est liée à la VA par la relation VAc = VA × (1 + i)^n. La VA est donc la valeur actualisée de cette valeur future, permettant de comparer des montants versés ou reçus à différentes dates.

💡 À retenir

La valeur actuelle à intérêts composés, VA = C × (1 + i)^-n, permet d’évaluer la valeur présente d’un montant futur en actualisant à la date présente, en tenant compte de la capitalisation des intérêts sur la durée.

📖 9. Comparaison intérêts simples et composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Progression arithmétique (voir section 1) : Suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est constante, appelée raison r. Exemple : Uₙ+1 = Uₙ + r. La valeur acquise à intérêts simples suit cette progression avec une raison proportionnelle au capital, taux et durée.

• Progression géométrique (voir section 2) : Suite de nombres où le rapport entre deux termes consécutifs est constant, appelé raison q. Exemple : Uₙ+1 = q × Uₙ. La valeur acquise à intérêts composés suit cette progression avec une raison (1 + i)ⁿ.

• Valeur acquise (voir section 4 & 8) : Montant final d’un capital après placement, à intérêts simples ou composés. À intérêts simples : C' = C + I. À intérêts composés : VA = C × (1 + i)ⁿ.

• Conditions de dominance (voir section 6) : Pour n > 1, la valeur acquise à intérêts composés (VAC) est supérieure à celle à intérêts simples (VAS). Pour n < 1, VAS > VAC.

• Représentation graphique comparative : La suite des valeurs acquises à intérêts simples forme une progression arithmétique, tandis que celles à intérêts composés forment une progression géométrique. La courbe de VAC croît plus rapidement que VAS lorsque n augmente.

📝 Points essentiels

• La progression arithmétique (intérêts simples) implique une croissance linéaire de la valeur acquise, avec une raison proportionnelle à C, t, n. La formule : VAS = C + (C × t × n) / 36 000.

• La progression géométrique (intérêts composés) entraîne une croissance exponentielle, avec une raison (1 + i)ⁿ. La formule : VAC = C × (1 + i)ⁿ.

• La comparaison entre VAS et VAC dépend de n : pour n > 1, VAC > VAS ; pour n < 1, VAS > VAC.

• La représentation graphique montre que la valeur à intérêts composés dépasse rapidement celle à intérêts simples, illustrant l’effet de la capitalisation.

💡 À retenir

La croissance à intérêts composés est exponentielle, dépassant la croissance linéaire à intérêts simples dès que la durée du placement devient significative. La progression géométrique (intérêts composés) devient alors plus avantageuse pour le capital.

📖 10. Comptes courants et intérêts méthode directe

🔑 Notions clés & Définitions

• Compte courant : Compte bancaire où les opérations portent intérêts, avec une date de valeur associée à chaque opération, permettant de suivre le solde en tenant compte des intérêts créditeurs ou débiteurs (voir section 11).
• Intérêts : Rémunération du capital prêté, dépendant du montant, de la durée et du taux de placement en usage sur le marché financier. Selon le type de placement, ils peuvent être calculés à intérêts simples ou composés (voir section 3).
• Méthode directe : Technique de calcul des intérêts où chaque opération est analysée par différence de dates de valeur, en utilisant la formule 𝐼 = 𝐶𝑡𝑛 36 000 ou la méthode de nombres et diviseurs fixes, pour déterminer l’intérêt sur un intervalle précis (voir section 11).
• Calcul par nombre et diviseurs fixes : Approche consistant à exprimer l’intérêt en utilisant un nombre fixe (𝐶𝑛) et un diviseur (36 000) basé sur la durée en jours, permettant de simplifier le calcul des intérêts créditeurs ou débiteurs (voir section 11).
• Gestion des taux créditeur et débiteur : La différence entre le taux appliqué aux opérations créditeurs (gains) et débiteurs (coûts), avec souvent un taux créditeur inférieur ou égal au taux débiteur, pour calculer précisément les intérêts selon la nature de l’opération (voir section 11).

📝 Points essentiels

• La méthode directe classe les opérations par date croissante, en calculant l’intérêt sur chaque intervalle entre la date de valeur d’une opération et la suivante, en utilisant la formule 𝐼 = 𝐶𝑡𝑛 36 000.
• La formule 𝐼 = 𝑁/𝐷, avec 𝑁 = 𝐶𝑛 (montant des capitaux multiplié par le nombre de jours) et 𝐷 = 36 000 (diviseur fixe basé sur 360 jours), permet de simplifier le calcul des intérêts créditeurs ou débiteurs.
• La gestion des taux créditeur et débiteur est essentielle pour déterminer la rémunération ou le coût réel des opérations, notamment en cas de taux réciproques ou différenciés.
• La méthode hambourgeoise, complémentaire à la méthode directe, calcule l’intérêt sur le solde de chaque période entre deux dates de valeur successives, permettant une connaissance précise de la situation en cours de période.

💡 À retenir

La méthode directe, en utilisant la formule 𝐼 = 𝐶𝑡𝑛 36 000 ou la technique des nombres et diviseurs fixes, permet un calcul précis et efficace des intérêts sur un compte courant en tenant compte des opérations et des taux applicables, tout en facilitant la gestion des intérêts créditeurs et débiteurs.

📖 11. Comptes courants et intérêts méthode hambourgeoise

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de la méthode hambourgeoise : Technique de calcul des intérêts sur un compte courant où l’intérêt est déterminé par le solde entre chaque date de valeur successive, permettant de connaître la situation en cours de période. Elle consiste à recalculer périodiquement le solde en tenant compte des opérations et à appliquer les intérêts sur chaque solde intermédiaire.
• Calcul des intérêts sur le solde entre dates de valeur successives : Méthode consistant à déterminer l’intérêt en multipliant le solde du compte par le taux et la durée (en jours) séparant deux dates de valeur, puis en divisant par 36 000. Elle permet d’obtenir une mesure précise de la rémunération pour chaque intervalle.
• Avantage de la méthode : Elle offre une vision précise de la situation du compte à tout moment, en intégrant les opérations successives, ce qui facilite la gestion et le suivi en cours de période. Elle permet également de calculer avec exactitude les intérêts dus à chaque étape.
• Exemple détaillé de calcul d’intérêts : La méthode consiste à calculer l’intérêt pour chaque période entre deux dates de valeur en utilisant la formule :
  $I = \text{Solde} \times \text{Taux} \times \frac{\text{Jours}}{36 000}$
  puis à additionner ces intérêts pour obtenir le total à la fin de la période.
• Calcul du solde intermédiaire : Après chaque opération, on actualise le solde en tenant compte du débit ou crédit, et on calcule l’intérêt sur ce nouveau solde jusqu’à la prochaine date de valeur.

📝 Points essentiels

• La méthode hambourgeoise permet de suivre en temps réel la situation du compte, en recalculant à chaque opération le solde et les intérêts correspondants.
• Elle repose sur le principe que chaque opération modifie le solde, qui sert de base pour le calcul des intérêts jusqu’à la prochaine date de valeur.
• La formule de calcul des intérêts sur chaque intervalle est :
  $I = \text{Solde} \times t \times \frac{\text{Jours}}{36 000}$
  où $t$ est le taux annuel en pourcentage.
• La méthode facilite la gestion des comptes courants en permettant une répartition précise des intérêts, même en cas de nombreuses opérations.
• Elle est préférée pour sa capacité à représenter fidèlement la situation en cours de période, contrairement à la méthode directe qui ne considère que la date de clôture.

💡 À retenir

La méthode hambourgeoise est une technique précise de calcul des intérêts basée sur le solde entre chaque date de valeur, permettant de suivre en temps réel la situation du compte et d’obtenir un calcul exact des intérêts dus à chaque étape.

📖 12. Escompte commercial valeur actuelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet de commerce : Titre de crédit à court terme, caractérisé par son échéance et sa valeur nominale (VN). Il peut être escompté auprès d’un banquier avant son échéance pour obtenir une somme inférieure à la valeur nominale.
• Valeur nominale (VN) : Montant inscrit sur l’effet de commerce, représentant la somme à payer à l’échéance.
• Escompte commercial : Montant d’intérêt calculé sur la valeur nominale de l’effet pour la durée séparant la date de l’échéance, selon la formule e = VN × t × n / 36 000 (source : Cours de Mathématiques financières +).
• Valeur actuelle commerciale (VA) : Valeur de l’effet à une date antérieure à l’échéance, obtenue en diminuant la valeur nominale de l’escompte, soit VA = VN - e.
• Éléments de l’agio : Composantes du coût pour le bénéficiaire, comprenant l’escompte, les commissions (endos, bordereau, acceptation, manipulation, spéciale), et la TVA.

📝 Points essentiels

• L’effet de commerce peut être escompté avant son échéance, ce qui permet au bénéficiaire d’obtenir une somme inférieure à la valeur nominale, correspondant à l’intérêt du banquier (escompte).
• La formule de l’escompte e = VN × t × n / 36 000 permet de calculer l’intérêt en fonction de la valeur nominale, du taux d’escompte t et du nombre de jours n séparant la remise de l’effet de son échéance.
• La valeur actuelle commerciale (VA) est simplement la valeur nominale diminuée de l’escompte : VA = VN - e.
• L’agio inclut également diverses commissions et taxes, qui constituent le coût total pour le bénéficiaire lors de l’opération d’escompte.
• La pratique du bordereau de remise à l’escompte consiste à établir un document récapitulatif avec toutes les valeurs, échéances, et éléments de coûts, pour le calcul de la valeur nette créditée.

💡 À retenir

L’escompte commercial permet à un bénéficiaire d’un effet de commerce de recevoir une somme immédiate inférieure à la valeur nominale, cette différence correspondant à l’intérêt du banquier, calculé selon la formule e = VN × t × n / 36 000. La valeur actuelle commerciale est la valeur de l’effet à une date antérieure, après déduction de cet escompte.

📊 Tableau de synthèse comparatif : Progressions arithmétique et géométrique

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la formule du terme général : $U_n = U_0 + n \times r$ (arithmétique) avec $U_n = U_0 \times q^n$ (géométrique).
2. Oublier que la somme arithmétique utilise la moyenne des termes $(U_0 + U_{n-1})/2$.
3. Confondre la raison $r$ (arithmétique) et le ratio $q$ (géométrique) ou leur utilisation dans les formules.
4. Ne pas faire attention à l’unité de temps dans le calcul des intérêts ou des valeurs acquises (années, mois, jours).
5. Confondre intérêt simple et intérêt composé, notamment dans la formule de la valeur acquise.
6. Erreur dans le calcul de la valeur actuelle : ne pas soustraire correctement les intérêts ou utiliser la mauvaise formule.
7. Mauvaise utilisation des formules de somme pour progression géométrique quand $q$ est proche de 1 ou égal à 1.

✅ Checklist d'examen

1. Connaître la définition d’une progression arithmétique et la formule du n-ième terme selon Perroux.
2. Savoir calculer la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique.
3. Connaître la définition d’une progression géométrique et la formule du n-ième terme selon Pell.
4. Savoir calculer la somme des n premiers termes d’une progression géométrique.
5. Maîtriser la formule de l’intérêt simple : $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ (Chapitre I, Mathématiques financières).
6. Savoir calculer la valeur acquise à intérêt simple : $C' = C + I$.
7. Savoir déterminer la valeur actuelle à intérêt simple en déduisant les intérêts de la valeur acquise.
8. Connaître la formule de la valeur acquise : $C' = C \times (1 + \frac{t \times n}{100})$.
9. Être capable de convertir la durée en années, mois, jours dans le cadre du calcul d’intérêts simples.
10. Maîtriser la formule de la valeur actuelle dans le contexte des intérêts simples, notamment pour remonter à la date de placement.
11. Connaître la différence entre intérêts simples et intérêts composés, notamment dans le contexte des calculs de valeur acquise et valeur actuelle.
12. Savoir appliquer la méthode directe et la méthode hambourgeoise pour le calcul des intérêts sur comptes courants.