Fiche de révision : Projection d’un vecteur sur une base

📋 Plan du Cours

1. Base orthonormée directe
2. Construction des projections vectorielles
3. Projection par angles et rotations

📖 1. Base orthonormée directe

🔑 Notions clés & Définitions

• Base orthonormée directe : Ensemble de trois vecteurs orthogonaux deux à deux, chacun étant de norme égale à 1, et orientés suivant une direction directe.

📝 Points essentiels

• La base orthonormée directe représentée dans le cours est notée $B=(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)$.

💡 Astuce mémo

ON : orthogonaux et normés

📖 2. Construction des projections vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection sur une base : Opération consistant à trouver trois vecteurs colinéaires aux vecteurs de la base dont la somme redonne le vecteur de départ.

★ À maîtriser

• La projection d’un vecteur sur une base se construit en déterminant trois vecteurs colinéaires aux vecteurs de la base, puis en les additionnant pour retrouver le vecteur initial.

Compléments

• La règle du parallélogramme permet de représenter graphiquement l’addition de vecteurs utilisée pour recomposer le vecteur de départ.

💡 Astuce mémo

Décomposer puis recomposer

📖 3. Projection par angles et rotations

★ À maîtriser

📌 Le cosinus d’un angle est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse, tandis que le sinus est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse.

• Deux bases orthonormées directes peuvent être déduites l’une de l’autre par une rotation d’un angle θ autour d’un vecteur commun.

📐 Formule — Pour un angle θ, le côté adjacent vérifie $\text{côté adjacent}=\text{hypoténuse}\times\cos\theta$.

📐 Formule — Pour un angle θ, le côté opposé vérifie $\text{côté opposé}=\text{hypoténuse}\times\sin\theta$.

Compléments

• Dans le cours, les bases $B_0=(\vec e_{x0},\vec e_{y0},\vec e_{z0})$ et $B_1=(\vec e_{x1},\vec e_{y1},\vec e_{z1})$ sont étudiées comme deux bases orthonormées directes liées par une rotation.

• L’exemple final représente un point M situé sur un cercle de rayon R, avec un angle θ et des coordonnées dans deux bases différentes.

💡 Astuce mémo

Angle connu → composantes calculées