QCM : Projection d’un vecteur sur une base — 4 questions

Question 1

1. Quelle caractéristique définit une base orthonormée directe de l’espace ?

Elle contient trois vecteurs deux à deux orthogonaux, unitaires et orientés directement.

Elle contient trois vecteurs orthogonaux de normes quelconques et orientés directement.

Elle contient trois vecteurs parallèles, unitaires et orientés dans une même direction.

Elle contient trois vecteurs unitaires formant des angles quelconques et orientés directement.

Explication

Une base orthonormée directe associe l’orthogonalité deux à deux, la norme $1$ et une orientation directe. Une base seulement orthogonale peut contenir des vecteurs dont les normes diffèrent de $1$ .

Answer

Elle contient trois vecteurs deux à deux orthogonaux, unitaires et orientés directement.

Question 2

2. Comment note-t-on la base orthonormée directe représentée dans le cours ?

B=(\vec n_x,\vec n_y,\vec n_z)

B=(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)

B=(\vec u,\vec v,\vec w)

B=(\vec i,\vec j,\vec k)

Explication

La base représentée est notée $B=(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)$ . Les autres notations peuvent désigner d’autres bases, mais elles ne correspondent pas à la notation donnée ici.

Answer

$$B=(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)$$

Question 3

3. Que signifie projeter un vecteur sur une base ?

Le recomposer à partir de trois composantes déjà déterminées dans les directions de la base.

Le décomposer en trois vecteurs colinéaires aux vecteurs de la base, dont la somme vaut le vecteur initial.

Le mesurer selon trois directions quelconques, sans imposer de relation entre les vecteurs obtenus.

Le remplacer par trois vecteurs perpendiculaires entre eux, dont la somme vaut le vecteur initial.

Explication

La projection consiste à rechercher trois composantes colinéaires aux vecteurs de la base, puis à les considérer comme une décomposition du vecteur initial. La recomposition inverse part de composantes connues pour reconstruire ce vecteur.

Answer

Le décomposer en trois vecteurs colinéaires aux vecteurs de la base, dont la somme vaut le vecteur initial.

Question 4

4. Quelle succession d’étapes permet de construire la projection d’un vecteur sur une base ?

Déterminer trois vecteurs colinéaires à ceux de la base, puis les additionner pour retrouver le vecteur initial.

Additionner trois vecteurs quelconques, puis rechercher une base à laquelle leur somme serait colinéaire.

Déterminer trois vecteurs perpendiculaires au vecteur initial, puis les soustraire pour obtenir ses composantes.

Recomposer d’abord le vecteur à partir de composantes connues, puis identifier les directions de la base.

Explication

La construction repose sur la détermination de trois vecteurs colinéaires aux directions de la base, suivie de leur addition afin de retrouver le vecteur de départ. La dernière proposition décrit plutôt une démarche inverse, partant de composantes déjà disponibles.

Answer

Déterminer trois vecteurs colinéaires à ceux de la base, puis les additionner pour retrouver le vecteur initial.

QCM : Projection d’un vecteur sur une base — 4 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit une base orthonormée directe de l’espace ?

2. Comment note-t-on la base orthonormée directe représentée dans le cours ?

3. Que signifie projeter un vecteur sur une base ?

4. Quelle succession d’étapes permet de construire la projection d’un vecteur sur une base ?

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