QCM : Vitesse d’un point dans un repère — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on le vecteur position du point M par rapport au repère R₀ ?

C’est le vecteur allant de l’origine O₀ vers le point M
C’est la dérivée temporelle du vecteur allant de O₀ vers M
C’est le vecteur reliant deux positions successives de M
C’est le vecteur tangent à la trajectoire de M

C’est le vecteur allant de l’origine O₀ vers le point M

Explication

Le vecteur position O₀M relie l’origine O₀ au point M et indique sa localisation. Il ne faut pas le confondre avec la vitesse, qui correspond à une dérivée temporelle.

2. Quelle grandeur obtient-on en dérivant temporellement le vecteur position O₀M relativement à la base d’observation B₀ ?

La longueur de la trajectoire parcourue par M
La position instantanée de M dans le repère R₀
La distance entre l’origine O₀ et la trajectoire de M
La vitesse de M par rapport au repère R₀

La vitesse de M par rapport au repère R₀

Explication

La vitesse relative est définie comme la dérivée temporelle du vecteur position O₀M dans la base d’observation B₀. La position, elle, décrit la localisation de M sans mesurer directement son évolution temporelle.

3. Quelle démarche permet de calculer correctement la vitesse de M par rapport à R₀ ?

Déterminer la position, appliquer la définition de la vitesse, puis choisir la base de dérivation
Calculer la distance à l’origine, fixer une base mobile, puis exprimer la position finale
Choisir une base de projection, mesurer la trajectoire, puis identifier l’origine du repère
Déterminer la trajectoire, choisir une base quelconque, puis dériver sa longueur

Déterminer la position, appliquer la définition de la vitesse, puis choisir la base de dérivation

Explication

Le calcul suit trois étapes : déterminer le vecteur position, écrire la définition de la vitesse et choisir correctement la base de dérivation. La longueur de la trajectoire ou une base choisie sans justification ne suffit pas à définir la vitesse relative.

4. Quel est le rôle de la base d’observation B₀ dans le calcul de la vitesse relative ?

Elle sert de base par rapport à laquelle le vecteur est dérivé
Elle décrit la forme géométrique de la trajectoire suivie par M
Elle indique la distance entre le point M et l’origine O₀
Elle sert à exprimer les composantes du vecteur étudié

Elle sert de base par rapport à laquelle le vecteur est dérivé

Explication

La base B₀ associée au repère d’observation est la base de dérivation utilisée pour calculer la vitesse relative. Exprimer les composantes du vecteur relève plutôt de la base de projection.

5. À quoi sert une base de projection pour un vecteur étudié ?

À définir le repère par rapport auquel le vecteur est dérivé
À déterminer l’origine géométrique du repère d’observation
À exprimer les composantes de ce vecteur
À fixer la vitesse du point à chaque instant

À exprimer les composantes de ce vecteur

Explication

La base de projection permet d’exprimer les composantes du vecteur étudié. Elle ne définit pas nécessairement la base par rapport à laquelle la dérivation temporelle est effectuée.

6. Quelle relation peut exister entre la base de projection et la base d’observation ?

La base de projection doit être mobile quand l’autre est fixe
Elles doivent être orthogonales dans chaque situation
La base d’observation est toujours construite à partir de la trajectoire
Elles peuvent être identiques ou différentes

Elles peuvent être identiques ou différentes

Explication

Les deux bases remplissent des rôles distincts, mais elles peuvent néanmoins coïncider ou être différentes. Leur identité n’est donc pas imposée par la définition de ces bases.

7. Pour un point M se déplaçant sur un cercle de rayon R, quelles bases peuvent être utilisées pour décrire le mouvement ?

B₀, associée à la trajectoire, et une base fixe imposée par le rayon
B₀, associée à l’observation, et B₁, adaptée au mouvement circulaire
Une base unique, car un mouvement circulaire ne nécessite pas deux descriptions
B₁, associée à l’observation, et une base construite à partir de la vitesse

B₀, associée à l’observation, et B₁, adaptée au mouvement circulaire

Explication

L’exemple utilise B₀ pour le repère d’observation et B₁ pour adapter la description au mouvement circulaire. Le caractère circulaire de la trajectoire n’impose pas que B₁ soit la base d’observation B₀.

8. Que permet de faire l’identité entre la base de projection et la base d’observation ?

Déduire que la trajectoire du point est nécessairement circulaire
Remplacer le vecteur position par la longueur de la trajectoire
Éviter de définir le repère dans lequel le point est observé
Dériver directement le vecteur dans cette base

Dériver directement le vecteur dans cette base

Explication

Lorsque les deux bases sont identiques, la dérivation du vecteur peut être effectuée directement dans cette base. Une telle identité ne renseigne toutefois pas à elle seule sur la forme de la trajectoire.

9. Lorsque la base de projection B1B_1 diffère de la base d’observation B0B_0, quelle relation relie les dérivées de F⃗\vec F dans ces deux bases ?

(dF⃗dt)B0=(dF⃗dt)B1+Ω⃗B1/B0∧F⃗\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_0}=\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_1}+\vec\Omega_{B_1/B_0}\wedge\vec F
(dF⃗dt)B0=(dF⃗dt)B1−Ω⃗B1/B0∧F⃗\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_0}=\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_1}-\vec\Omega_{B_1/B_0}\wedge\vec F
(dF⃗dt)B1=(dF⃗dt)B0+Ω⃗B1/B0⋅F⃗\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_1}=\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_0}+\vec\Omega_{B_1/B_0}\cdot\vec F
(dF⃗dt)B0=Ω⃗B1/B0∧(dF⃗dt)B1+F⃗\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_0}=\vec\Omega_{B_1/B_0}\wedge\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_1}+\vec F

$$\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_0}=\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_1}+\vec\Omega_{B_1/B_0}\wedge\vec F$$

Explication

Le changement de base ajoute à la dérivée dans B1B_1 le terme de rotation Ω⃗B1/B0∧F⃗\vec\Omega_{B_1/B_0}\wedge\vec F pour obtenir la dérivée observée dans B0B_0. Le signe moins ou le produit scalaire ne correspondent pas à la formule de changement de base.

10. Que représente le vecteur rotation Ω⃗B1/B0\vec\Omega_{B_1/B_0} dans une formule de changement de base ?

La vitesse du point matériel MM par rapport à la base B0B_0
La rotation relative de la base B1B_1 par rapport à la base B0B_0
La variation temporelle des composantes de F⃗\vec F dans la base B0B_0
La position instantanée du point matériel MM dans la base B1B_1

La rotation relative de la base $$B_1$$ par rapport à la base $$B_0$$

Explication

Le vecteur rotation caractérise le mouvement relatif des deux bases et intervient dans la dérivée d’un vecteur exprimé dans une base mobile. Il ne décrit pas la vitesse du point MM, qui concerne le mouvement du point lui-même.

11. Un point MM possède une vitesse donnée par le vecteur v⃗\vec v ; que devient cette vitesse lorsqu’elle est exprimée dans une autre base de projection ?

Elle perd sa direction physique et conserve seulement ses composantes initiales
Elle acquiert un terme de rotation dès qu’une nouvelle base est utilisée
Elle devient un vecteur différent dont la norme dépend de la base choisie
Elle reste le même vecteur physique, même si ses composantes changent

Elle reste le même vecteur physique, même si ses composantes changent

Explication

La vitesse par rapport à un repère est un vecteur invariant, quelle que soit la base choisie pour l’exprimer. Une nouvelle base peut modifier les composantes, mais elle ne change pas le vecteur physique ni sa vitesse.

12. Pourquoi un même vecteur exprimé dans les bases B0B_0 et B1B_1 ne constitue-t-il pas deux vecteurs différents ?

Parce que les composantes restent identiques dans toutes les bases, tandis que sa norme varie
Parce que les composantes changent avec la base, tandis que le vecteur physique reste identique
Parce que l’expression dans une base mobile supprime la dépendance temporelle du vecteur
Parce que la base B1B_1 impose au vecteur la direction de la base B0B_0

Parce que les composantes changent avec la base, tandis que le vecteur physique reste identique

Explication

Les composantes sont des coordonnées dépendant de la base de représentation, alors que le vecteur géométrique décrit la même grandeur physique. Dire que les composantes restent identiques confond précisément le vecteur avec sa représentation.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 20 flashcards sur Vitesse d’un point dans un repère.

Qu'est-ce que le vecteur position du point M par rapport au repère R₀ ?

Le vecteur allant de l'origine O₀ vers M.

Comment se définit la vitesse du point M par rapport au repère R₀ ?

C'est la dérivée temporelle du vecteur position O₀M dans la base B₀.

Quelle est la première étape pour calculer la vitesse de M par rapport à R₀ ?

Déterminer le vecteur position de M.

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