Fiche de révision : Vitesse d’un point dans un repère

📋 Plan du Cours

1. Définition de la vitesse relative
2. Bases de projection et d’observation
3. Mouvement circulaire et bases identiques
4. Changement de base en dérivation
5. Invariance du vecteur vitesse

📖 1. Définition de la vitesse relative

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Vecteur allant de l’origine O₀ vers M.
• Vitesse relative : Dérivée temporelle du vecteur position O₀M relativement à la base d’observation B₀.

📝 Points essentiels

• Pour calculer la vitesse de M par rapport à R₀, il faut d’abord déterminer le vecteur position, puis écrire la définition de la vitesse et enfin choisir correctement la base de dérivation.

💡 Astuce mémo

Position → définition de la vitesse → dérivation

📖 2. Bases de projection et d’observation

🔑 Notions clés & Définitions

• Base d’observation : Base par rapport à laquelle le vecteur doit être dérivé pour calculer la vitesse relative.
• Base de projection : Base sur laquelle on exprime les composantes du vecteur étudié.

📝 Points essentiels

📌 La base de projection et la base d’observation peuvent être identiques ou différentes.

💡 Astuce mémo

Projection pour exprimer, observation pour dériver

📖 3. Mouvement circulaire et bases identiques

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple d’un point M astreint à se déplacer sur un cercle de rayon R, deux bases sont utilisées : B₀, associée au repère d’observation, et B₁, adaptée à la description du mouvement circulaire.

• Lorsque la base de projection est identique à la base d’observation, la dérivation du vecteur s’effectue directement dans cette base.

💡 Astuce mémo

Un point M tourne sur un cercle de rayon R autour de O₀

📖 4. Changement de base en dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur rotation : Rotation relative des deux bases, intervenant dans la formule de changement de base.

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque la base B₁ de projection diffère de la base B₀ d’observation, la dérivée vérifie $\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_0}=\left(\frac{d\vec F}{dt}\right)_{B_1}+\vec\Omega_{B_1/B_0}\wedge\vec F$.

Compléments

• Lorsque B₁ est obtenue à partir de B₀ par une rotation d’angle θ autour du vecteur e⃗z₀, le vecteur rotation est porté par e⃗z₀ et sa norme est la dérivée temporelle de θ.

💡 Astuce mémo

Base mobile → terme de rotation ajouté à la dérivée

📖 5. Invariance du vecteur vitesse

★ À maîtriser

📌 La vitesse d’un point par rapport à un repère est toujours le même vecteur, quelle que soit la base de projection choisie pour l’exprimer.

📌 Un vecteur exprimé dans la base B₁ ne devient pas un vecteur différent de ce même vecteur exprimé dans la base B₀.

Compléments

📌 Il n’est pas nécessaire de projeter un vecteur sur la base d’observation lorsque ses composantes sont plus simples dans une autre base.

📊 Tableaux de synthèse

Rôles des bases