Fiche de révision : Propriétés et graphique de la fonction carré

📋 Plan du Cours

1. Définition et valeurs de la fonction carré
2. Courbe représentative et symétrie de la fonction carré
3. Sens de variation de la fonction carré sur ℝ
4. Démonstration du sens de variation sur les intervalles positifs et négatifs
5. Application pratique des inégalités avec la fonction carré
6. Propriétés de la fonction carré comme fonction paire
7. Interprétation géométrique du sommet de la parabole

📖 1. Définition et valeurs de la fonction carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : Une fonction définie sur ℝ qui associe à chaque nombre réel le résultat de son élévation au carré, c'est-à-dire le produit du nombre par lui-même.
• Définition : La courbe représentative de la fonction ca

📝 Points essentiels

• Le tableau de valeurs de la fonction carré pour x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 est respectivement 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9.
• La fonction carré est définie sur ℝ par f(x) = x², associant à chaque réel son carré.

💡 À retenir

La fonction carré associe à chaque nombre réel son carré selon la formule f(x) = x², et ses valeurs pour x allant de -3 à 3 sont données par le tableau correspondant.

📖 2. Courbe représentative et symétrie de la fonction carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : La courbe graphique de la fonction carré, qui est une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec le sommet à l'origine.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est à l'origine O du repère.
• La fonction carré est paire, ce qui signifie que sa courbe admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

💡 À retenir

La courbe de la fonction carré est une parabole symétrique autour de l'axe vertical, avec le sommet à l'origine.

📖 3. Sens de variation de la fonction carré sur ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Comportement d'une fonction qui indique si ses valeurs augmentent ou diminuent lorsque la variable indépendante croît.
• Fonction carré : Fonction définie par f(x) = x², dont la courbe représentative est une parabole ayant pour sommet l'origine du repère.

📝 Points essentiels

• La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle ]-∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[.
• Sur les réels positifs, la fonction carré conserve l'ordre : si 0 ≤ u < v alors f(u) < f(v).
• On dit que la fonction carré est paire.

💡 À retenir

La fonction carré diminue strictement sur ]-∞ ; 0] et augmente strictement sur [0 ; +∞[, inversant l'ordre pour les négatifs et conservant l'ordre pour les positifs.

📖 4. Démonstration du sens de variation sur les intervalles positifs et négatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre » des réels : Relation qui permet de comparer deux nombres réels u et v, indiquant si u est inférieur, égal ou supérieur à v.

📝 Points essentiels

• On dit que la fonction carré est paire.

💡 À retenir

La fonction carré est décroissante sur les réels négatifs et croissante sur les réels positifs, ce qui s'explique rigoureusement par l'étude du signe de la différence f(v) - f(u) selon les intervalles considérés.

📖 5. Application pratique des inégalités avec la fonction carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Onction carré : Fonction mathématique qui associe à chaque nombre réel le produit de ce nombre par lui-même, avec un comportement qui conserve l'ordre des nombres positifs et inverse l'ordre des nombres négatifs.

📝 Points essentiels

• La fonction carré conserve l'ordre des nombres réels positifs : si 0 ≤ u < v alors u² < v².
• On peut comparer des carrés de nombres réels sans calculatrice en utilisant le sens de variation de la fonction carré.

💡 À retenir

Utiliser le comportement de la fonction carré, qui est strictement croissante sur les réels positifs et décroissante sur les réels négatifs, permet de comparer rapidement des carrés de nombres réels sans calculatrice.

📖 6. Propriétés de la fonction carré comme fonction paire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : fonction dont la valeur en l’opposé d’un réel est identique à sa valeur en ce réel, c’est-à-dire que pour tout x dans ℝ, f(-x) = f(x). Cette propriété traduit une symétrie spécifique du graphique de la fonction par rapport à l’axe des ordonnées.

• Symétrie axiale : propriété géométrique selon laquelle le graphique d’une fonction est symétrique par rapport à une droite verticale, ici l’axe des ordonnées. Elle résulte de la fonction étant paire, ce qui implique que ses valeurs sont identiques en des points symétriques par rapport à l’origine.

📝 Points essentiels

• La fonction carré, notée f(x) = x², possède la propriété de parité, ce qui signifie que pour tout réel x, on a f(-x) = f(x). En particulier, cela implique que la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l’axe vertical des ordonnées. Cette symétrie axiale se traduit graphiquement par un miroir placé sur cet axe, de sorte que chaque point (x, x²) a un point symétrique (-x, x²).

• De plus, cette propriété de parité explique que la fonction carré est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[. En effet, pour tout u et v dans cet intervalle avec u < v, on a f(v) - f(u) = v² - u² = (v - u)(v + u). Comme v - u > 0 et u + v > 0, le produit est positif, ce qui donne f(v) > f(u). La fonction conserve donc l’ordre sur cet intervalle.

• Ce comportement est symétrique sur l’intervalle ]-∞ ; 0[, où la fonction est décroissante lorsque l’on considère la variable négative, mais cette propriété n’est pas directement liée à la parité. La symétrie axiale est illustrée par le tableau suivant, qui schématise la variation de la fonction :

• | x | -∞ | 0 | +∞ |

• |-----|----|---|----|

• | f | ↓ | 0 | ↑ |

• Ce tableau montre que la fonction décroît sur ]-∞ ; 0[ (vers 0 en approchant de la gauche) et croît sur [0 ; +∞[ (à partir de 0 vers l’infini).

💡 À retenir

La fonction carré est un exemple fondamental de fonction paire, ce qui entraîne une symétrie de son graphique par rapport à l’axe des ordonnées. Cette propriété explique également que la fonction est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.

📖 7. Interprétation géométrique du sommet de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : point géométrique qui représente la position maximale ou minimale de la courbe d’une fonction quadratique, en particulier de la fonction carré. Il s’agit du point où la parabole change de concavité ou atteint son extremum.

• Point O, origine du repère : point de référence fixe dans un système de coordonnées cartésiennes, noté (0,0), où l’abscisse et l’ordonnée sont toutes deux nulles.

📝 Points essentiels

• Le sommet de la parabole représentant la fonction carré est le point O (0,0) dans le repère. Cela signifie que lorsque la fonction carré est centrée en l’origine, son point le plus bas ou le plus haut, selon la concavité, coïncide avec le point de coordonnées (0,0).

• Ce sommet correspond au minimum de la fonction carré, valeur minimale atteinte par f(x). En effet, la parabole associée à la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe vertical passant par le sommet. La valeur de la fonction en ce point est la plus petite possible, ce qui en fait le minimum local et global de la fonction.

💡 À retenir

Le sommet de la parabole, situé en (0,0) pour la fonction carré centrée, représente le point où la valeur de la fonction est la plus faible, constituant à la fois le point géométrique et la valeur minimale de la fonction. La position de ce sommet permet d’établir une correspondance directe entre la représentation graphique et la valeur algébrique minimale.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des variations de la fonction carré

Proprie9s de la fonction carre9

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la croissance et la de9croissance de la fonction sur un intervalle.
2. Oublier que la fonction carre9 est paire, ce qui implique une syme9trie par rapport e0 l'axe des ordonne9es.
3. Confondre le sommet de la parabole avec un point quelconque de la courbe.
4. Supposer que la fonction est strictement croissante sur tout e0 l'intervalle e0 cause de sa croissance sur [0, +0[.

✅ Checklist Examen

1. Savoir que la fonction carre9 est de9finie sur c9 tout e0 e9le9ments de c9R.
2. Connaeetre la formule de la fonction carre9 : f(x) = xb2.
3. Savoir que la courbe est une parabole syme9trique par rapport e0 l'axe des ordonne9es.
4. Connaeetre que le sommet de la parabole est en (0,0) pour la fonction centre9e.
5. Comprendre que la fonction est croissante sur [0, +0[ et de9croissante sur ]-0 ; 0].
6. Savoir que la fonction est paire, donc f(-x) = f(x).
7. Pouvoir utiliser le comportement de la fonction pour comparer des carre9s sans calculatrice.
8. Connaeetre la de9finition du sommet de la parabole comme point extreame.