Fiche de révision : Puissances et racines

📋 Plan du Cours

1. Calculs sur les fractions
2. Puissances et propriétés
3. Notation scientifique

📖 1. Calculs sur les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{a}+\frac{b}{a}=\frac{a+b}{a}$ et $\frac{a}{d}-\frac{b}{d}=\frac{a-b}{d}$.

📐 Formule — La multiplication et la division de fractions vérifient $\frac{a}{c}\times\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}$ et $\frac{a}{c}\div\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\times\frac{d}{b}=\frac{ad}{cb}$.

• Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut d’abord les mettre au même dénominateur, puis appliquer $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad}{cd}+\frac{bc}{dc}=\frac{ad+bc}{cd}$.

Compléments

📐 Formule — La mise au même dénominateur transforme $\frac{a}{c}$ en $\frac{ad}{cd}$ et $\frac{b}{d}$ en $\frac{bc}{dc}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur → opération sur les numérateurs

📖 2. Puissances et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Produit de n facteurs identiques égaux à a, où a est un entier relatif et n un entier naturel non nul.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les cas particuliers sont $a^1=a$, $a^0=1$ pour a non nul, $0^p=0$ pour p non nul et $1^p=1$ pour tout p.

📐 Formule — Les opérations sur les puissances vérifient $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ et $(a^n)^p=a^{n\times p}$.

📐 Formule — Les propriétés de distributivité des puissances sont $(a\times b)^n=a^n\times b^n$, $a^{-1}=\frac{1}{a}$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

• Les exemples de calculs avec parenthèses montrent que $(−3)^4$ est le produit de quatre facteurs égaux à −3, tandis que $−3^4$ ne possède pas de parenthèses autour de la base négative.

💡 Astuce mémo

Parenthèses : (-3)^4 n'est pas -3^4

📖 3. Notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Écriture sous la forme $a\times10^n$, avec $1\leq a<10$ et n un entier relatif.

★ À maîtriser

• La simplification $4^{35}\times4^{-32}=4^3$ utilise l'addition des exposants de deux puissances de même base.

Compléments

• La puissance d'une puissance se simplifie selon $(3^7)^2=3^{14}$.

• Le produit de puissances de même base se simplifie notamment par $2^3\times2^5=2^8$ et $3^3\times3^{22}=3^{25}$.

💡 Astuce mémo

Un nombre entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10