Fiche de révision : Racines carrées et ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Définition de la racine carrée
2. Propriétés fondamentales des racines
3. Calculs avec les racines carrées
4. Rationalisation des dénominateurs
5. Ensembles et encadrements numériques
6. Nature des nombres et irrationnels

📖 1. Définition de la racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : L’unique nombre positif dont le carré est égal à a, pour a positif ou nul, et elle se note √a.

★ À maîtriser

📌 Les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée dans les nombres réels.

Compléments

• Le symbole √ est appelé radical.

• Les nombres 1, 4, 9 et 16 sont des carrés parfaits, car ils sont respectivement les carrés de 1, 2, 3 et 4.

📌 √2 est une valeur exacte, tandis que 1,414213562... est une valeur approchée de √2.

💡 Astuce mémo

Visualiser la racine carrée comme le nombre positif placé à la base d’un carré d’aire a.

📖 2. Propriétés fondamentales des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout nombre a positif ou nul, $(\sqrt{a})^2=a$.

📐 Formule - Pour tout nombre réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

Compléments

• On a √(3²) = √9 = 3 et √((-5)²) = √25 = 5 = -(-5).

💡 Astuce mémo

√(a²) vaut a si a est positif, mais -a si a est négatif.

📖 3. Calculs avec les racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous nombres positifs a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$.

📐 Formule - Pour tous nombres positifs a et b avec b différent de zéro, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📌 Pour tous nombres strictement positifs a et b, $\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b$, car la racine carrée d’une somme n’est pas égale à la somme des racines carrées.

Compléments

• On a √2 × √18 = √36 = 6.

• On a √45 = √(9×5) = 3√5 et √(9/16) = 3/4.

• La simplification de √45 + 2√5 - 5√20 donne -5√5.

💡 Astuce mémo

Les produits et quotients se séparent, mais une somme sous radical ne se sépare pas.

📖 4. Rationalisation des dénominateurs

★ À maîtriser

• Pour éliminer un radical isolé au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par ce radical.

• Pour éliminer un radical dans le dénominateur d’un binôme, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du binôme.

Compléments

• La rationalisation de 3/√5 donne 3√5/5.

💡 Astuce mémo

Radical seul : multiplier par le radical ; binôme : multiplier par le conjugué.

📖 5. Ensembles et encadrements numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre qui s’écrit sous la forme a/b, avec a et b des entiers relatifs et b différent de zéro.
• Entiers naturels : L’ensemble des entiers positifs et de zéro.
• Entiers relatifs : L’ensemble des entiers positifs, négatifs et de zéro.
• Nombres décimaux : Un nombre qui s’écrit sous la forme a/10^n, avec a un entier relatif et n un entier naturel.
• Nombres réels : L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
• Encadrement décimal : Un encadrement décimal de x à 10^{-n} près consiste à trouver deux nombres décimaux a et b tels que a ≤ x ≤ b et b-a = 10^{-n}; b-a est l’amplitude de l’encadrement.

📝 Points essentiels

• Les inclusions entre les ensembles de nombres sont $N\subset Z\subset D\subset Q\subset R$.

💡 Astuce mémo

N s’inclut dans Z, puis D, Q et enfin R.

📖 6. Nature des nombres et irrationnels

★ À maîtriser

📌 Pour déterminer la nature d’un nombre, on cherche le plus petit ensemble auquel il appartient parmi N, Z, D, Q et R.

• Pour montrer que 1/3 n’est pas décimal par l’absurde, on suppose qu’il s’écrit a/10^n, puis on obtient 10^n = 3a, ce qui est impossible puisque 10^n n’est pas un multiple de 3.

• Pour montrer que √2 n’est pas rationnel par l’absurde, on suppose √2 = p/q sous forme irréductible, puis on obtient p² = 2q² et une contradiction car p et q seraient tous deux divisibles par 10.

Compléments

• Le nombre -84/14 = -6 appartient à Z, tandis que 3,14 appartient à D et 3,5 × 10² = 350 appartient à N.

💡 Astuce mémo

Supposer une écriture décimale ou rationnelle conduit à une contradiction.