Fiche de révision : Convexité et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Dérivée et variations
2. Dérivée seconde et convexité
3. Point d’inflexion et tangentes
4. Règles de dérivation
5. Méthodes d’étude

📖 1. Dérivée et variations

★ À maîtriser

📌 Si f’(x)>0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.

📌 Si f’(x)<0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.

📐 Formule - La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f’(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

• La condition f’(x)=0 peut correspondre à un extremum local.

💡 Astuce mémo

f’ positive : montée ; f’ négative : descente

📖 2. Dérivée seconde et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée de f’, soit $f’’=(f’)’$.

★ À maîtriser

📌 Si f est deux fois dérivable et si $f’’(x)\geq0$, alors f est convexe sur l’intervalle considéré.

📌 Si $f’’(x)\leq0$, alors f est concave sur l’intervalle considéré.

Compléments

📌 Une fonction convexe a une dérivée f’ croissante.

• La fonction f(x)=x^2 est convexe sur ℝ car f’’(x)=2>0.

📌 Une fonction concave a une dérivée f’ décroissante.

• La fonction f(x)=-x^2 est concave sur ℝ car f’’(x)=-2<0.

💡 Astuce mémo

f’’ positive : courbe vers le haut ; f’’ négative : courbe vers le bas

📖 3. Point d’inflexion et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Un point où la courbe change de convexité.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer un point d’inflexion, on calcule f’’, on résout f’’(x)=0, puis on vérifie que f’’ change de signe.

• Si f’’ passe de négatif à positif, la fonction passe de concave à convexe, tandis que si f’’ passe de positif à négatif, elle passe de convexe à concave.

• Si f est convexe, sa courbe est située au-dessus de ses tangentes et vérifie $f(x)\geq f(a)+f’(a)(x-a)$.

• Si f est concave, sa courbe est située en dessous de ses tangentes et vérifie $f(x)\leq f(a)+f’(a)(x-a)$.

💡 Astuce mémo

Changement de signe de f’’ → changement de convexité → point d’inflexion

📖 4. Règles de dérivation

★ À maîtriser

📐 Formule - Les dérivées usuelles comprennent $(x^n)’=nx^{n-1}$, $(e^x)’=e^x$, $(\ln x)’=\frac{1}{x}$, $(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ et $\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2}$.

📐 Formule - La dérivée d’une somme et celle d’un produit par une constante vérifient $(u+v)’=u’+v’$ et $(ku)’=ku’$.

📐 Formule - Si $f(x)=u(x)v(x)$, alors $f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)$.

📐 Formule - Si $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ avec v(x)≠0, alors $f’(x)=\frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{v(x)^2}$.

📐 Formule - Si f(x)=g(u(x)), alors la dérivée d’une fonction composée est $f’(x)=u’(x)\times g’(u(x))$.

Compléments

• Pour f(x)=xe^x, on obtient f’(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x.

• Pour f(x)=e^{3x+2}, on obtient $f’(x)=3e^{3x+2}$, et pour f(x)=\ln(2x+1), on obtient $f’(x)=\frac{2}{2x+1}$.

💡 Astuce mémo

Somme, produit, quotient, composée

📖 5. Méthodes d’étude

📝 Points essentiels

• Pour étudier les variations, on calcule f’, on détermine le signe de f’, puis on construit le tableau de variations.

• Pour étudier la convexité, on calcule f’’, on détermine le signe de f’’, puis on conclut à la convexité ou à la concavité.

📌 Pour trouver un point d’inflexion, il faut résoudre f’’(x)=0 puis vérifier le changement de signe de f’’.

💡 Astuce mémo

Dériver → étudier le signe → conclure

📊 Tableaux de synthèse

Signe des dérivées et forme de la courbe