QCM : Convexité et dérivation (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Sur un intervalle, que peut-on conclure si f’(x)>0f’(x)>0 pour tout xx de cet intervalle ?

La fonction ff est constante sur cet intervalle.
La fonction ff est décroissante sur cet intervalle.
La fonction ff est concave sur cet intervalle.
La fonction ff est croissante sur cet intervalle.

La fonction $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée strictement positive traduit une fonction croissante sur l’intervalle considéré. Une dérivée négative conduirait au contraire à une décroissance.

2. Une fonction vérifie f’(x)<0f’(x)<0 sur l’intervalle [2;5][2;5]. Quelle est sa variation sur cet intervalle ?

Elle est convexe sur [2;5][2;5].
Elle est décroissante sur [2;5][2;5].
Elle est croissante sur [2;5][2;5].
Elle est constante sur [2;5][2;5].

Elle est décroissante sur $$[2;5]$$.

Explication

Lorsque la dérivée est négative sur un intervalle, la fonction y est décroissante. La croissance correspondrait à une dérivée positive.

3. Quelle équation représente la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse aa ?

y=f(a)x+f’(a)y=f(a)x+f’(a)
y=f’(a)(x−a)+f(a)y=f’(a)(x-a)+f(a)
y=f’(x)(a−x)+f(a)y=f’(x)(a-x)+f(a)
y=f(a)(x−a)+f’(a)y=f(a)(x-a)+f’(a)

$$y=f’(a)(x-a)+f(a)$$

Explication

La tangente en l’abscisse aa a pour pente f’(a)f’(a) et passe par le point de coordonnées (a,f(a))(a,f(a)), d’où cette équation. L’expression utilisant f(a)f(a) comme pente inverse ces deux rôles.

4. Comment définit-on la dérivée seconde d’une fonction ff ?

C’est la dérivée de ff évaluée au point d’abscisse xx.
C’est la dérivée de ff multipliée par sa dérivée première.
C’est la fonction obtenue en dérivant deux fois la variable xx.
C’est la dérivée de f’f’, notée f’’=(f’)’f’’=(f’)’.

C’est la dérivée de $$f’$$, notée $$f’’=(f’)’$$.

Explication

La dérivée seconde s’obtient en dérivant la dérivée première, ce qui s’écrit f’’=(f’)’f’’=(f’)’. La dérivée de ff elle-même correspond à f’f’, et non à f’’f’’.

5. Si une fonction deux fois dérivable vérifie f’’(x)≥0f’’(x)\geq0 sur un intervalle, quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

Elle est convexe.
Elle est décroissante.
Elle est concave.
Elle est constante.

Elle est convexe.

Explication

Une dérivée seconde positive ou nulle indique que la fonction est convexe sur l’intervalle considéré. La concavité est associée à une dérivée seconde négative ou nulle.

6. Que peut-on conclure lorsque f’’(x)≤0f’’(x)\leq0 sur un intervalle ?

La fonction ff est concave sur cet intervalle.
La fonction ff est convexe sur cet intervalle.
La fonction ff est affine sur cet intervalle.
La fonction ff est croissante sur cet intervalle.

La fonction $$f$$ est concave sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée seconde négative ou nulle caractérise la concavité de la fonction sur l’intervalle. La convexité correspond à la condition opposée, f’’(x)≥0f’’(x)\geq0.

7. Qu’est-ce qu’un point d’inflexion sur une courbe ?

Un point où la courbe possède une dérivée nulle.
Un point où la courbe atteint nécessairement un maximum.
Un point où la courbe change de convexité.
Un point où la courbe coupe nécessairement l’axe des abscisses.

Un point où la courbe change de convexité.

Explication

Un point d’inflexion est caractérisé par un changement de convexité de la courbe. La condition f’’(x)=0f’’(x)=0 peut fournir un candidat, mais elle ne suffit pas à elle-même.

8. Quelle démarche permet de déterminer correctement les points d’inflexion d’une fonction ?

Calculer la tangente, résoudre f’(a)=1f’(a)=1, puis vérifier sa pente.
Calculer f’’f’’, résoudre f’’(x)=0f’’(x)=0, puis vérifier le changement de signe.
Calculer ff, résoudre f(x)=0f(x)=0, puis vérifier les valeurs positives.
Calculer f’f’, résoudre f’(x)=0f’(x)=0, puis vérifier la croissance.

Calculer $$f’’$$, résoudre $$f’’(x)=0$$, puis vérifier le changement de signe.

Explication

Les solutions de f’’(x)=0f’’(x)=0 sont des candidats, et le changement de signe de f’’f’’ confirme le changement de convexité. Résoudre f’(x)=0f’(x)=0 recherche plutôt des points stationnaires.

9. Une dérivée seconde passe de négative à positive en un point. Comment évolue la convexité de la fonction ?

La fonction reste convexe des deux côtés.
La fonction passe de concave à convexe.
La fonction passe de convexe à concave.
La fonction reste concave des deux côtés.

La fonction passe de concave à convexe.

Explication

Une dérivée seconde négative correspond à une concavité, tandis qu’une dérivée seconde positive correspond à une convexité. Le changement de signe indiqué décrit donc le passage de concave à convexe.

10. Quelle inégalité traduit la position d’une fonction convexe par rapport à sa tangente au point d’abscisse aa ?

f(x)≤f(a)+f’(a)(x−a)f(x)\leq f(a)+f’(a)(x-a)
f(x)≥f(a)+f’(a)(x−a)f(x)\geq f(a)+f’(a)(x-a)
f(x)=f(a)+f’(x)(x−a)f(x)=f(a)+f’(x)(x-a)
f(x)≥f’(a)+f(a)(x−a)f(x)\geq f’(a)+f(a)(x-a)

$$f(x)\geq f(a)+f’(a)(x-a)$$

Explication

Pour une fonction convexe, la courbe se situe au-dessus de ses tangentes, ce qui donne l’inégalité indiquée. Pour une fonction concave, l’inégalité est inversée.

11. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=xf(x)=\sqrt{x} sur son domaine de définition ?

f’(x)=12xf’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
f’(x)=1x2f’(x)=\frac{1}{x^2}
f’(x)=x−1f’(x)=\sqrt{x-1}
f’(x)=2xf’(x)=2\sqrt{x}

$$f’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Explication

La dérivée de x\sqrt{x} est 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}. L’expression 1x2\frac{1}{x^2} correspond à l’opposé de la dérivée de 1x\frac{1}{x}, et non à celle de la racine carrée.

12. Si h(x)=3u(x)+v(x)h(x)=3u(x)+v(x), quelle expression donne correctement sa dérivée ?

h’(x)=u’(x)v’(x)h’(x)=u’(x)v’(x)
h’(x)=3u’(x)v’(x)h’(x)=3u’(x)v’(x)
h’(x)=3u’(x)+v’(x)h’(x)=3u’(x)+v’(x)
h’(x)=3u(x)+v’(x)h’(x)=3u(x)+v’(x)

$$h’(x)=3u’(x)+v’(x)$$

Explication

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées, et un facteur constant reste multiplié par la dérivée de la fonction. Le produit des dérivées correspondrait à une règle différente et ne s’applique pas à cette somme.

13. Pour f(x)=u(x)v(x)f(x)=u(x)v(x), quelle règle faut-il appliquer pour calculer f’(x)f’(x) ?

f’(x)=u’(x)v’(x)f’(x)=u’(x)v’(x)
f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)v(x)2f’(x)=\frac{u’(x)v(x)+u(x)v’(x)}{v(x)^2}
f’(x)=u’(x)v(x)−u(x)v’(x)f’(x)=u’(x)v(x)-u(x)v’(x)
f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)

$$f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)$$

Explication

La règle du produit additionne les deux termes obtenus en dérivant chacun des facteurs à tour de rôle. La présence d’un dénominateur au carré caractérise plutôt la règle du quotient.

14. Si f(x)=u(x)v(x)f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} avec v(x)≠0v(x)\ne 0, quelle formule permet de calculer sa dérivée ?

f’(x)=u’(x)−v’(x)v(x)f’(x)=\frac{u’(x)-v’(x)}{v(x)}
f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)v(x)2f’(x)=\frac{u’(x)v(x)+u(x)v’(x)}{v(x)^2}
f’(x)=u’(x)v(x)−u(x)v’(x)v(x)2f’(x)=\frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{v(x)^2}
f’(x)=u’(x)v(x)−u(x)v’(x)f’(x)=u’(x)v(x)-u(x)v’(x)

$$f’(x)=\frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{v(x)^2}$$

Explication

La règle du quotient place une soustraction au numérateur et le carré du dénominateur en dessous. L’addition au numérateur correspond à une confusion avec la règle du produit.

15. Pour déterminer les variations d’une fonction, quelle démarche est appropriée ?

Calculer les valeurs de ff, puis comparer les images sans étudier les dérivées.
Calculer f’f’, étudier son signe, puis construire le tableau de variations.
Résoudre f’’(x)=0f’’(x)=0, puis vérifier un changement de signe de f’’f’’.
Calculer f’’f’’, étudier son signe, puis conclure sur la convexité.

Calculer $$f’$$, étudier son signe, puis construire le tableau de variations.

Explication

Les variations se déduisent du signe de la dérivée première, qui permet ensuite de construire le tableau de variations. L’étude du signe de f’’f’’ sert à analyser la convexité et la concavité.

16. Quelle méthode permet d’étudier la convexité ou la concavité d’une fonction ?

Calculer f’’f’’, étudier son signe, puis conclure sur la convexité ou la concavité.
Calculer les images de plusieurs points, puis relier les résultats par une courbe.
Résoudre f’(x)=0f’(x)=0, puis comparer les valeurs de la fonction.
Calculer f’f’, étudier son signe, puis construire le tableau de variations.

Calculer $$f’’$$, étudier son signe, puis conclure sur la convexité ou la concavité.

Explication

La convexité et la concavité sont étudiées à partir du signe de la dérivée seconde. Le signe de f’f’ intervient dans l’étude des variations, et non directement dans celle de la convexité.

17. Quelle vérification est nécessaire après avoir trouvé une solution de f’’(x)=0f’’(x)=0 pour identifier un point d’inflexion ?

Vérifier que f’f’ conserve un signe constant au voisinage de cette valeur.
Vérifier que la fonction atteint un maximum local en cette valeur.
Vérifier que la fonction est définie par une expression affine autour de cette valeur.
Vérifier que f’’f’’ change de signe au voisinage de cette valeur.

Vérifier que $$f’’$$ change de signe au voisinage de cette valeur.

Explication

Un point d’inflexion nécessite un changement de signe de f’’f’’, qui traduit un changement de convexité. La résolution de f’’(x)=0f’’(x)=0 fournit une valeur candidate, mais elle ne suffit pas à elle seule.

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Que signifie f'(x)>0 sur un intervalle pour la fonction f ?

f est croissante sur cet intervalle.

Que signifie f'(x)<0 sur un intervalle pour la fonction f ?

f est décroissante sur cet intervalle.

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a ?

y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

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